例谈年高考圆锥曲线一题多解 论文

例谈2022年高考圆锥曲线一题多解散思维，有利于课堂教学质量的提升。本文结合2022高考圆锥曲线题目探究一题多解。关键词：高考数学 圆锥曲线一题多解2022年新高考Ⅰ卷中的圆锥曲线习题进行一题多解，以供参考。例年全国卷甲卷）设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)过F的直线交C于M，N两点。当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3。(1)求C的方程；(2)设直线与C的另-一个交点分别为的倾斜角分别为，。则当-取得最大值时，求直线AB的方程。解题过程：(1)直线MD垂直于x轴时，|MF|=3，易得p=2，抛物线C的方程为：y2=4x；(2)方法一：线参法y2 y2 y2 y2根据题意设M(1，y1)，N(2，y2)，A(3，y3)，B，(4，y4)。设直线MN的方程4 4 4 4my1为x=my+1，由

，得到y2-4my-4=0，=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4。y24xty2设直线MD的方程为x=ty+2，由2y4x

=16t2+32＞0，y1y3=-8，4 4 4 4 1则kMN= kAB= = =y2

y3y41

y3y4

2(y2) 2的倾斜角分别为，，kAB=tan= kMN=tan。当-取得最大2 tantan k 1值时(0， tan(-)= = =1 ≤2k2 1tantan2221 1222

12k2k = 。当且仅当 =2k，k= 时取等号，此时kAB= 214 k 2 22k222设直线AB的方程为x=

2yny2-4 y-4n=0，=32+16n＞0，y24x2y3y4=-4n=4y1y2=-16，则n=4，则直线AB的方程为x= y+4。2方法二：点参法y2因M、F、N三点共线，则kMF=kFN， 12

y=22 ，整理得到：(y1-y2)(y1y2+4)=0，=214

y214因y1-y2≠0，则y1y2=-4。同方法一中的（*）4 y2

4xyy

4xyy因直线AB的方程为y-y3= (x-3)，整理得到y= 34= 34=y3y4 4

y3y4

2(y2)4x4yy

4x1622 12= ，即，直线AB的方程为x= y+4。222(y2)

2(y2) 2x2 y2例年高考天津卷）已知椭圆C： + =1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点a2 b23|BF|3为为A，上顶点为点B， = 。|AB| 2（1）求椭圆C的离心率；3l和椭圆C有唯一交点l交y轴于点的面积为 ，求椭圆C的标准方程。3解题过程：36|BF|36（1）由椭圆定义以及 = ，容易得到椭圆C的离线率e= 。|AB| 2 3（2）方法一：常规法3y2a2根据题意设直线l的方程为y=kx+m，则N(0，m)，由

得到：ykxm(1+3k2)x2+6kmx+3m2-a2=0，因直线l和椭圆C=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-a2)=0，m得到xM=- 33m33

13k2

13k2

1 3km)2+( k=± 的面积为 13k2

13k2 3

2 13k23，解得m2=4，又由3m2=a2(1+3k2)，可得2a2=12，a2=6，则椭圆C3x2 y2即， + =1。6 2方法二：求导法a2x23设M(x0，y0)，椭圆C的方程为：x2+3y2=a2。当y0＞0时，点a2x23x x x则y'=- M处直线l的斜率为k=- 0 =-0y0＜0时，axa2ax33

2 23 0 3

3y0x x直线l的斜率k=-0。直线l的方程为y-y0=-0(x-x0)，整理得到：x0x+3yy0=x0+3y0=a，3y0

3y0

2 2 2a2 a2 a2点N(0， +y0=( )=( )-3y0

2 2 23y0

2 2 23y0a2a22a2a2a22a2)(6y0-ay0= 0＜ -a=± ，22 2 223 3 6 22 31 a a 3由△MON的面积为 ，可得 ×|

3，解得a2=6，即，椭圆C)2 3(a 2)6x2 y2+ =1。6 2x2 y2例C： - la2 a21交C于P、Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。(1)求l的斜率；2(2)若tan∠PAQ=2 ，求△PAQ的面积。2解题过程：(1)解法一：常规法x2 y2由点A(2，1)在双曲线C： - =1(a＞1)上，代入易得a2=2，双曲线Ca2 a21x2-y2=1。由题意可知直线l的斜率存在，方程设为y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由2x2y21

4km

2(m22 x1+x2= ，ykxm2m

4k

12k2

12k2y1+y2= 的斜率之和为12k2 12k2y1

y11 +2 2

x22化简得到：8k2+4k-4+4m(k+1)=0，即，(k+1)(2k-1+m)=0，则k=-1或m=1-2k。当m=1-2k时，直线l：y=kx+m=k(x-2)+1，过点A(2，1)与题意不符，因此k=-1。解法二：平移法假设将点A(2，1)平移到A'(0，0)，直线l平移后的方程为：mx+ny=1，则双曲线C平(x2)2移后的方程为： (y1)21，整理得到x2+4x-2y2-4y=0，即，-x2+2y2+(4y-2y2 ykx2 x

A'P

'+k

A'Q

4(mn)'= =0，4n2即，m=n，则平移后的直线斜率为-1，则平移前的也为-1，即，k=-1。解法三：同构法x2 x24

(x2)(x

2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1-y1=1，则1 -y1+1=0，即，1 1 -(y1-2 22 2 2y1

1 x2

1 x2

1 x21 = (1 (1 kBP= (2 2

2 1

2 1

2 y21y1

1x21 (2

)0的斜率之和为 0，可得

x12

2y21

，整理得到：y1

1x22

(1 )0x22

21y2y2)2(x1x2)x260y2y2)2(x1x2)x260

，4(y1-y2)+4(x1-x2)=0，kPQ=-1，即，k=-1。(2)略。变式训练习题：x2 y2习题C： -

5F和点a2 b25C的方程；（2）经过点F的直线l和双曲线C的右支交于点P5y25的坐标，若不存在，说明理由。答案：（1）x2- =1；（2）存在，P( ，0)。4 5x2 y2 1习题C： + =1(a＞b＞0)的离线率为 C右焦点并垂直于xa2 b2 2轴的直线PM和椭圆C交于P、M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）3的面积为 Cl和椭圆C交于A、B两点（A、B异29于点PA和PB的斜率之积为- ，求点P到直线l距离的最大值。答案：（1）485x2 y285+ =1；（2） 。4 3 42x2 y22习题E： + a2 b2EE的右焦点做相互垂直的两条直线E16交于