定积分的计算方法与技巧

定积分的计算方法与技巧

摘要在数学分析学科中，微积分一般是作为重要分支而存在，而在相关领域，定积分的计算一般是其中的重要组成部分。在进行数学分析的时候，所使用的到的有限积分方法不仅是进行分析时候的基础，而且也是学习的重点之一。它们在解答决数学问题和实际问题上运用相当广泛。本文分析并解答释了与之相关的几种计算方法和技巧，由此得到一些有用的启示。它使我们能够掌握到相关问题的基本解答，灵活应用可以用来解答决相关问题的解答决技巧。【关键词】定积分；解答题技巧；函数

AbstractInthefieldofmathematicalanalysis,calculususuallyexistsasanimportantbranch,andinrelatedfields,thecalculationofdefiniteintegralisgenerallyanimportantpart.Thefiniteintegralmethodusedinmathematicalanalysisisnotonlythebasisofanalysis,butalsooneofthekeypointsoflearning.Theyarewidelyusedinsolvingmathematicalandpracticalproblems.Thispaperanalyzesandexplainsseveralcalculationmethodsandtechniquesrelatedtothem,andsomeusefulinspirationsareobtained.Itenablesustograspthebasicsolutionofrelatedproblems,flexibleapplicationcanbeusedtosolverelatedproblems.【Keywords】Definiteintegral;Problemsolvingskills;Function

目录摘要 2Abstract 31前言 52定积分概述 52.1定积分的概念 52.2定积分的性质 62.3定积分的发展历程 62.4定积分在不同学科中的应用 93定积分学习困难的原因分析 134定积分解答题技巧 154.1定义法计算定积分 154.2微积分基本公式计算定积分 154.3换元法计算定积分 154.4分部积分法计算定积分 164.5由定积分的几何意义计算定积分 164.6根据被积函数的几何对称性计算定 164.7利用二重积分求出定积分 174.8组合积分法求出定积分 174.9利用级数求出定积分 18结语 18参考文献 20致谢 22

1前言定积分是高等数学的重要内容之一。这也是积分计算中的主要问题。定积分的计算更复杂，更困难。因此，在实际的教学过程中，大多数教师认识到学生非常擅长计算积分点，对定积分的概念不太重视。所以，在学习定积分的过程中，人们往往会被其表面的现象掩盖，忽略了其中蕴含的而深刻思想，使学生没有完全达到勤学思考的目的，仅仅是一味地死记公式，硬背书本的例题，这样就算学会其术，但是不得其神。所以，在这个基础上，本文对定积分的相关计算方法和技巧进行了研究，希望解决上述问题，提升学生学习兴趣和掌握知识的能力。在回答这些问题之前，我们首先看看高等数学教学的定位，因此有必要找到计算积分的技巧和方法。2定积分概述2.1定积分的概念在一般情况下，可以设置在上的时候是出现连续情况的，可以使用将来进行划分，分成个区间，每个的长度就是（），在每一个上选取一个点，由此可以作出：假如可以接近于（也就是说）并且无限的时候，以上的可以看出无限趋近于，那么就可以说为在上面存在的一个定积分。可以写成：在这其中，成为一个重要的被积函数，积分变量就是，被视为是积分区间，是其中的上限，那么是下限。由此可见：（1）、实际上是一个常数，也就是不断趋近的（的时候）称为，而不是称为。（2）使用定义来进行求出解答的方法主要是：①先进行分割：等分；②近似来代替：选取；③求出出和：；④由此取得极限：（3）其中的几何意义主要为：；另一种物理意义为：；过程中有变力做功2.2定积分的性质第一个性质第二个性质（其中k是不为0的常数）第三个性质第四个性质2.3定积分的发展历程定积分的概念来源于找到平面图的面积等一些实际问题。定积分的概念萌生于古代数学家的作品之中。例如，在古希腊，阿基米德使用求出和法来计算公元前240年左右抛物面弓的面积和其他数字。在公元263年的时候，刘徽的圆形切割技术也是同样的想法。从历史上看，整体概念的形成早于差异化。但在Newton和Leibniz（17世纪下半叶）的工作之前，定积分的结果是孤立的，分散的，积分的积分理论不能建立。（1）准备阶段随着数学起源文明的发展数学开始散发出不可抗拒的魅力。整个十六世纪，整个思想都围绕着“正交问题”的发展。它包括两个方面:一是寻找。平面图的面积和曲面面包的体积，另外一个就是静态力学中物体的重量和液体的压力。德国天文学家和数学家Kepler在他着名的著作《Novastereometriado-liorumvinariorum》中认为，给定的几何图形是由无限小的无穷小数字组成的。以特定的方式，这些小号码的面积或体积被添加到该区域或体积中。他是第一位数学家。在十七世纪，无限小方法被用于正交方法。法国数学家Fermat和Pascal利用“分裂与寻求出”的观点和无穷小的本质，无限小的方法当时被数学家广泛使用。（2）创立阶段它主要包括17世纪下半叶牛顿和莱布尼茨的整合概念和18世纪整合概念的发展。牛顿和莱布尼茨几乎同时进入微积分门。积分的主要发展是牛顿·莱布尼茨微积分的基本定理。它是在17世纪发现的。这个定理说明了积分和微分之间的联系。在这方面，差异更易于组合，并可用于计算点。微积分的基本定理尤其允许求解更广泛的类。同样重要的是，牛顿莱布尼茨已经发展了一个全面的数学框架。由于计算名称，它可以准确地分析出现在连续案例区域中的函数。这个框架最终成为现代微积分的象征。Newton从1664年开始学习微积分。早期微积分通常称为无穷小分析，因为微积分基于无限小概念。所谓的无穷小并不是我们现在正在讨论的零极限变量，但它并不清楚。从Newton“流动法”的角度来看，“流动法”是最重要的一点。这个想法是称为出现连续情况变量“流量”，并且流量的微小变化称为“瞬时”，即“无限小”。这些变量的变化率被称为“流量”。流量的数量由一个小点表示，如，，变量和的流量，他指出在给定点的切线斜率的比例是流向流的流的数量，所以导数的是的数量而不是的数量，也就是说与当前的数量相等.Leibniz于1673年开始研究微积分。他在他的数学笔记中指出，曲线的正切取决于纵坐标和横坐标之间的差异（当这些差异成为无穷小时时）。这个象限取决于横坐标中无限小矩形和无限小矩形的总和，莱布尼茨开始。确认可逆性的计算和求出和的差异,用曲线上相邻点的垂直坐标之间的差值,把它表示为所有这些差异的总和,之中指出：""代表着和,代表着差。这也就是今天微积分的演变。（3）完成阶段在一开始的19世纪初期，微积分的发展相当缓慢，到了九十年代，微积分的理论基础基本上是通过Bolzano，Cauchy，Weierstrass，Dedekind等数学家的努力完成的。积分的定义""不可以理解答为一个和式,而是.不断减小的时候,能在最后达到某一个极限值,就是在上面的一个定积分.Cauchy定义了,证明了在上出现连续情况时,在上出现连续情况，可导,同时.Cauchy证明了彼此之间只相差一个常数,因此,他将之写成：,并由此推出了Newton-Leibniz公式.在此基础上，我们严格证明了微积分的基本定理并给出了最准确的形式。定积分是一个基本概念，也是一个基本概念。整体思维是将产品整体分解答为零。定积分的极限相关概念不仅仅在数学领域得到运用，还涉及到物理实验、工程测算等方面，所以研究相关方面的内容具有较强的实际意义。本文研究了变速直线运动距离的实际问题。通过使用极限法，整个局部线性化将被线性化并且曲线被直接替换。有限出现连续情况离散性将发生变化，这就推动了定积分的概念发展。我们也可以理解成，定积分具有一种提供思考方法的功能，这种功能往往会使人们打开思路，是思维变得更加开阔。2.4定积分在不同学科中的应用（1）定积分在分析中的应用例1求出.解答：由于可以取得为,,那么,.因此：原来的式子.例2求出.分析：这一题可以看成是在上，所存在和式的一个极限.解答：.（2）定积分在几何中的应用1)求出平面图形的面积例3如图1,计算由所围成阴影部分的面积.图1分析：首先就需要参考算式中的方程，观察这个方程是一个曲线方程，然后再根据曲线方程在纸上绘出其大致的形状，然后通过图形的范围进行作答。在此基础上确定曲线的位置关系，最终得到阴影部分面积。解答：由可以得出相关交点为（）,（）,所以所求出图形的面积为.（2）求出立体图形的体积例4如图2,求出围绕轴，旋转一周之后，所形成的物体的体积.解答：如图2，因为,所得到的体积是由弯曲的三角形AOB围绕轴旋转形成的旋转物体的体积的2倍。，所以绕轴，旋转之后而成的体积为.（3）定积分在物理中的应用1）力的作功问题例5有个圆形的水桶，高是6米，底面的半径长为三米,现在在里面盛满水,如果要把里面的水吸出来，需要作多少功？图3图3解答：作轴如图3，按照题目的意思，是需要把水全部吸收出来,所以设水的深度为，是为其中变量,这个变量的有效范围为,而举行的重力就可以用（KN）表示。接下来，通过设备把水洗出来，所做的功就是（KN）,进而，我们可以得到（KJ）.(2)求出引力的问题例6一种长度为，质量为的长均质细杆，其中的质点垂直于垂直线，相距细杆为有一质量的质点，我们试着去发现细杆对质点的万有引力。解答:位于轴上的,质点就是在轴上的点,,当很小的时候其中的质量就是,于是它对的引力就是,由于不能直接通过求导数，从而得出答案，所以，只能将进行分解，具体到轴与轴上进行解答,可得,.由于位于其中的中垂线智商,也就是,又,因此得到其中的合力就是.4定积分在经济学中的应用在经济管理学的专业知识中，这个部分的应用有很多都是与数学想通的，有时候通过数学的方式去进行解题效率会更快一些。

例7现在知道的条件是产品总量的变化率为（件/天）,现在要求出第一天到第四天的产品产量问题。解答：首先需要设定一个总产量,在第天它的变化率恰巧达到了,另外，他还会随着时间的不断变化而发生改变,那现在有在区间内满足条件：

所以在区间内部（件）

例8在产品生产的过程中，我们生产个产品，那么我们需要的成本就是,在成本中的固定成本为元,如果产品的单价标价为500元.在都能卖完的情况下怎样生产利润最大化呢？

解答：根据,然后使用公司可以得到

,

所以

.又因为,所以

.假设,也就是:,得到.

因此150个的时候,利润最大.定积分的概念和微积分的基本公式不仅在数学史上占有重要地位，而且在科学思想史上也发挥着重要作用。微积分的发展和使用是数学界的一个巨大的成绩，恩格斯曾经评价道：微积分就是人类思想的胜利，是一个非常重要的工具。它广泛应用于科学技术和自然科学的各个分支，如数学研究，计算序列的极限，以及不平等的证明。物理学的应用可以看作是定积分最重要的应用之一。正是由于定积分的出现和发展，才有可能准确地测量和计算物理学，如气象学，轨迹计算和运动状态分析。3定积分学习困难的原因分析当然，我们应该找出原因，分析原因，找出原因，并采取措施解决这一困境。数学家们把他们的微积分建立在算术、代数和欧几里得几何的基础上。微积分是所有数学中最微妙的学科。不难想象我们在简单领域中发现的陷阱。不难想象微积分中的一系列概念和逻辑结构会使数学家非常头痛。微积分不仅使用函数的概念，而且引入了两个新的更复杂的概念:差分和积分。所以，除了需要处理数字之外，他们还需要一个逻辑基础，而在17世纪最伟大的数学家们开始处理这两个概念，如开普勒、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨等。它们中的每一个或者使用纯几何推理，或者使用纯代数。推论，或两者兼而有之。该方法定义了每个贡献，并计算微分和定积分。然而，牛顿和莱布尼茨的小零值的初始比例和最终比例不能建立合理的逻辑基础，也不能有意避免任何问题。或者无动于衷。例如，虽然基础科学还不清楚，但很难区分质量和无穷大，因为科学决定应该基于自己的证据，但在实践中证明它是正确和有效的，因为帕斯卡在他的思想中书“，我们不仅通过推理了解真相，而且从后一个来源，我们知道基本原理，在这一点上，推理与心智不兼容，基于智力和直觉，所有结论都建立了。尽管18世纪的每一位数学家都为微积分逻辑做出了努力，或者至少表达了他们的观点，但其中一两个是正确的，但是他们的努力并没有多大用处。在十八世纪末，微积分和其他分支基于微积分进行分析。逻辑基本上是完全混乱的。在十九世纪，数学变得更加自相矛盾。虽然在描述和预测物理现象方面取得了超过预期的成就，但正如18世纪人们所指出的那样，大量的数学结构没有逻辑基础，不可能保证数学是正确的。这是对法国数学家科斯进行严格分析的第一步。柯西决定把微积分建立在数字的基础上。为什么是基于数字？因为牛顿的英国人试图对几何进行严格的计算，他们失败了。对柯西来说，几何学显然不是权利的基础。柯西把微积分巧妙地放在极限概念中，正确的方法受到数学家们的称赞。1820年，柯西研究了极限的定义，创造性地运用极限理论对微积分中的定理进行了严格的证明，使微积分理论更加坚实。与此同时，柯西成为微积分基金会的第一个巨人。但柯西的工作有两个主要缺点。一个是：他的极限定义使用描述性语言“无限接近”和“随机小”不够准确。德国数学家威尔斯德雷亚斯给出了“E-Delta”方法和“E-Delta”方法，以准确地描述系列的极限和基于算术概念的微积分。其次，他的单调有界定理的证明依赖于几何直觉。因此，微积分理论已经走过了2000多年的发展历程。这表明这一理论的发展和接受并不顺利。今天的学生很难理解答案并不奇怪。因为他们不理解这样计算的原理和意义，他们只能靠死记硬背解题的过程，这就很难实现。所以，有必要对其进行深入的研究。定积分的概念涉及无穷和极限的概念，以及一些抽象符号的引入。学生要理解这两个方面有很多障碍。对功能，图像和抽象功能的不完全理解也是学生理解定积分概念的障碍。4定积分解答题技巧4.1定义法计算定积分理论上，定义方法是无所不能的，但是当一个函数非常复杂时，如果定义方法比较困难，那么定义方法会比较麻烦，所以当函数比较简单时，或者当定义方法难以计算定积分微积分的基本定理和定积分的几何意义，定积分通过定积分的定义来计算。但定义方法是找出最基本的方法，这是以下所有方法的基础。4.2微积分基本公式计算定积分定积分和不定积分二者虽然仅仅差了一个字，但是其实从内在上来看，并没有什么巨大的关联性。但是在某种情况下，就可以变成联系紧密的两个概念。例如，当他们都存在时，我们就可以利用微积分的知识对二者建立数学联系，然后通过一些求函数积分的方式对其进行求解。但是也不是在任何时候都管用。如果在使用过程中，出现函数f（x）不满足可积条件的情况，这时Newton－Leibniz是不能使用的。例如，这种做法是错误的，因为在［－1，1］上x=0为的无穷间断点，因此不能使用Newton－Leibniz。4.3换元法计算定积分定积分的变换方法有第一和第二换元法。它比具有不定积分的可变元素方法具有更丰富的内容。除了改变积分形式之外，更容易找到原始函数，并且积分的下界也改变了，从而改变了积分的域。此外，定积分的变换方法使我们能够获得一些特殊的技巧来计算积分值或获得许多固定的积分变换公式。4.4分部积分法计算定积分关键是要比较设定点和功能的优点，而在整体过程中，它通常是第一位的。当我们使用组件集成时，我们经常使用迂回的概念。例1求出解答：4.5由定积分的几何意义计算定积分这是形状和数字组合的体现。定积分的几何意义用于计算积分，而定积分表示的几何图形通常需要或分成若干规则。利用几何意义解决定积分问题，可以以不同方式解决问题，灵活解决问题，快速准确回答问题。例2求出解答4.6根据被积函数的几何对称性计算定计算该积分的几何对称性的一般积分问题在区间中点区间上具有奇偶对称性，且区间上奇偶函数对称区间上的定积分。这里我们以积分对称间隔nage函数为例。例3求出解答令，因此被积函数为奇函数，所以I=0。4.7利用二重积分求出定积分例4求出解答由于所以令f(x，y)=xy，显然在［0，1］×［a，b］上出现连续情况。所以：4.8组合积分法求出定积分我们得到一个类似于积分的结构，并将积分与原始积分相结合。我们通过求解方程得到积分方法。我们称之为组合积分法。该组合方法形式多样，应用广泛。这里有两个比较简单的例子。例5求出解答构造辅助积分4.9利用级数求出定积分在计算定积分的过程中，我们需要用一些特殊的方法来进行更复杂的定积分。它为解决一系列的系列问题提供了一种新的方法，但对学生的综合分析能力要求更高。例7求出f(1/2)解答因此结语在高等教学的数学课程教学中，定积分由于其抽象的理解和较高的基础要求，一直都是学生学习的一个困难学科。而定积分具有非常重要的作用，它具有非常强大的实用性和现实性。同时，也是相关其他知识的一个基础知识，只有掌握定积分，才能继续对其他方面的数学问题进行解答。利用奇数和奇数的性质，周期性，分解和答案以及定积分的几何意义，简化了学生在定积分计算中遇到的困难。

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