高中数学《几何概型》课件

几何概型（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

复习1.古典概型2.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数

问题：（1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？（2）若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？它们的相同点和不同点分别是什么？怎样求问题2的概率？创设情境引入新课0123456789

取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?

问题1问题情境解：记“剪得两段彩带都不小于3m”为事件A.

把彩带三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于绳子上各点被剪断是等可能的，且中间一段的长度等于彩带的.

某列岛周围海域面积约为17万平方公里，如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？解：记“钻出石油”为事件A，则

问题2

有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.

问题3解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,事件A发生的概率

（2）试验的概率是如何求得的？（1）类比古典概型,说明以上三个试验有什么共同点？探究

借助几何图形的长度、面积、体积的比值分析事件A发生的概率.

①试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；②每个基本事件的发生都是等可能的.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability)，简称几何概型。特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同P(A)=构成事件A的测度(区域长度、面积或体积)试验的全部结果所构成的测度(区域长度、面积或体积)记为：几何概型的概率公式：有限性等可能性几何概型古典概型同异等可能性无限性数学理论：

将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型．古典概型的本质特征：1、样本空间中样本点个数有限，2、每一个样本点都是等可能发生的．几何概型的本质特征：3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．

1、有一个可度量的几何图形S；2、试验E看成在S中随机地投掷一点；问题：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值不小于2”的概率。古典概型P=3/4（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值不小于2”的概率。123几何概型P=2/34总长度3

问题2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值和一个y的值，求“x–y≥1”的概率。1234x1234y古典概型-1作直线x-y=1P=3/8问题2（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值和一个y的值，求“x–y≥1”的概率。1234x1234y几何概型-1作直线x-y=1P=2/9ABCDEF例1

取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

解：记“豆子落入圆内”为事件A，例2

在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？解：记“取出10mL麦种，其中含有病种子”为事件A，

麦锈病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可视为区域d，所有种子可视为区域D.则有答：含有麦锈病种子的概率是.例3在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？ABCC’M

在AB上截取AC′=AC.当点M位于线段AC′内，AM<AC，故线段AC′即为区域d，于是

答：AM小于AC的概率为

由于点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D.解：记“在斜边AB上任取一点，AM<AC”为事件A,

CAB练习：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM<AC的概率有多大？

C’M在AB上截取AC′=AC,则∠ACC′=60°.

答：这时AM小于AC的概率为.

由于射线CM随机地落在∠ACB内部,故可以认为射线CM落在∠ACB内部任一位置都是等可能的.解：记“在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M

，AM<AC”为事件A,

练习题:2.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率.3.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.1.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为．生活应用

练：已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即能乘上车的概率.012345678910解：记“乘客到达站台立即能乘上车”为事件A,

由于乘客随机地到达站台，故可以认为乘客在10min内到达站台是等可能的.

当乘客在地铁停留的1min内到达站台时，可以立即乘上车.答：乘客到达站台能立即乘上车的概率是.

例2

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为yABCD试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD事件A包含的区域为阴影部分S阴影部分=这是一个几何概型则，P(A)=练两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，当且仅当—≤x—y≤，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点，则可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示要使两人能在约定时间范围内相见满足的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型．3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝

生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：(1)要注意实际问题中的可能性的判断；(2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．(2009·山东高考)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为(

)【解析】在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos的值位于[0,1]区间，若使cos的值位于[0，]区间，取到的实数x应在区间内，根据几何概型的计算公式可知P=【答案】

A1．在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．解：记A={弦长超过圆内接正三角形边长}．如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧上时，|BE|＞|BC|，而劣弧长恰为圆周长的由几何概型的概率公式有P(A)＝

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(3)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．

本题第（1）问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第（2）问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及（x—2）2+(y—2)2≤4的点的个数即可.【解】(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x—2)2+(y—2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率P2＝2．例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋y2≥4的概率．解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．故所求概率例3．甲、乙两人约定上午7∶00至8∶00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7∶20，7∶40，8∶00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率．解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则，即甲乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，必须满足或或即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，即甲、乙同乘一车的概率为古典概型几何概型相同区别求解方法基本事件个数的有限性基本事件发生的等可能性基本事件发生的等可能性基本事件个数的无限性七、课堂小结几何概型的概率公式.列举法几何测度法P(A)=构成事件A的测度(区域长度、面积或体积)试验的全部结果所构成的测度(区域长度、面积或体积)

用几何概型解决实际问题的方法.(1)选