2022-2023学年江苏省苏州市高二下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市2022-2023学年高二下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫未黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知M，N是全集U的非空子集，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为M，N是全集U的非空子集，且，所以韦恩图为：由韦恩图可知，A不正确；B正确；C不正确；D不正确.故选：B.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，则，所以“”是“”的充分条件；若，则，只有当时，才能推出，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.所以，切线方程为.作出图象，解可得，.解可得，.所以，.故选：C.4.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①；②，则这些数学专著至少有（）A.9本 B.10本 C.11本 D.12本〖答案〗A〖解析〗因为，，不妨先令，则，此时由于，，不合要求，舍去；令，则，此时，，满足要求，故这些数学专著至少有本.故选：A.5.已知定义在上的函数从x到的平均变化率为，则的单调增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，.设，则.由可得，，所以，即时，有.根据导数的概念，可知时，有.所以，的单调增区间是.故选：C.6.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型（其中e＝2.71828…）拟合，设，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64由上表可得回归方程，则m的值约为（）A.2 B.7.4 C.1.96 D.6.9〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，将代入可得，且，所以，又因为，即，所以.故选:B.7.已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，，，根据条件概率可知，.故选：A.8.已知实数a，b，c满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，令，则，当时，，所以在递增，因为，所以，所以，所以，即，由，得，则，因为，所以，，所以，所以，所以，即，综上，故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X服从二项分布，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗随机变量X服从二项分布，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.10.已知函数及其导数的定义域均为R，则下列结论正确的有（）A.若为奇函数，则为偶函数B.若为奇函数，则为奇函数C.若为奇函数，则为偶函数D.若为偶函数，则为偶函数〖答案〗BC〖解析〗对于A项，由已知可得，设，则，所以为奇函数，故A项错误；对于B项，因为，为奇函数，所以有，即，整理可得，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，由已知可得，根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，所以，所以为偶函数，故C项正确；对于D项，由已知可得，根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，所以，所以奇函数，故D项错误.故选：BC.11.已知函数，，则下列结论正确的有（）A.当时，在处取得极小值B.当时，有且只有一个零点C.若恒成立，则D.若恒成立，则〖答案〗ABD〖解析〗选项A、B：当时，，当，单调递减；当，单调递增；故在处取得极小值，故A正确；又因为，所以，有且只有一个零点，故B正确；选项C、D:恒成立，当时，；当时，即恒成立，构造函数，，令，，在单调递减，又，所以，所以在上单调递减，，综上可得，故C错误；函数，函数单调递减，则，故有,即；即恒成立，时，;，，又，所以选项D正确；故选：ABD.12.现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（）A.2张有奖券分给同一个人的概率是B.2张有奖券分给不同的人的概率是C.2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为D.2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为〖答案〗BD〖解析〗对于A项，将10张没有奖的奖券按照1，3，3，3分成三组，不同的分法种数为，然后分配给4个人的分法为，所以，2张有奖券分给同一个人的概率是，故A项错误；对于B项，由A可得，2张有奖券分给不同的人的概率是，故B项正确；对于C项，由A可知，2张有奖券都分给丙的概率是；2张有奖券都分给丁的概率是；若2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁，将10张没有奖的奖券按照2，2，3，3分成四组，不同的分法种数为，然后分配给4个人的分法为，所以，2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是，所以，2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为，故C项错误；对于D项，因为2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是，同理可得，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为，故D项正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值：________．〖答案〗3（〖答案〗不唯一，3的正整数倍即可）〖解析〗的展开式的通项公式为，要想展开式中存在常数项，则要有解，即，为3的正整数倍即可故〖答案〗为：3（〖答案〗不唯一，3的正整数倍即可）.14.某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第________个项目中的成绩排名最靠后，在第________个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百717581854.92.13.64.3〖答案〗四二〖解析〗项目一：由已知可得，，，则；项目二：由已知可得，，，则；项目三：由已知可得，，，则；项目四：由已知可得，，，则.根据正态分布的性质可得，，所以，小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前．故〖答案〗为：四；二.15.已知，，，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，当且仅当，即，又，所以，时，等号成立.故的最小值为.故〖答案〗为：.16.已知不等式对任意恒成立，则的最大值为________．〖答案〗2〖解析〗因为不等式对任意恒成立，所以，对任意恒成立，由可得，即，令，则，当时，，函数单调递增，显然不恒成立，不合题意，当时，由，可得，函数单调递减，由可得，函数单调递增，所以，即，所以，由，可得，即，因为函数单调递增，且，所以，当时，，即，所以的最大值为2.故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数．（1）求的极小值；（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）由已知可得，.由可得，或.由可得，，所以上单调递减；由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值.（2）由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减.又，，，所以，在区间上，在处取得最小值2，在处取得最大值6.18.设，其中，．（1）当n=9时，求的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为，求n的值．解：（1）令可得，.令可得，，所以.（2）设第项的系数之比为.展开式的通项公式，.则，整理可得，解得.19.已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的列联表．选择课程A选择课程B总计男生150女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，．0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）由男生250名，女生200名，结合表中数据，列联表如图所示，选择课程A选择课程B总计男生100150250女生50150200总计150300450，所以有的把握认为选择课程与性别有关.（2）按分层抽样计算抽取10名男生中，选择课程A的人数为，则X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为X0123P.20.已知函数满足．当时，．（1）若，求的值；（2）当时，都有，求的取值范围．解：（1）又因为当时，，所以，，因为，所以，即，显然，所以，所以，得.（2）由得，当时，，，因为当时，都有，所以当时，，解得，又因为，所以在上恒成立，方法1：=1\*GB3①当时，的对称轴，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，所以，解得，因为，所以不存在；②当时，的对称轴，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，所以，解得，解得，因为，所以；③当时，的对称轴，在上为减函数，在上的最小值为，最大值为，所以值域为，所以，解得，因为，所以不存在满足要求.综上所述：的取值范围为.方法2：必要性探路缩小的范围，减少讨论.由题意知，对，都有，所以，解得，则的对称轴，所以当时，在上的最小值为，最大值为，值域为，所以，解得，解得，又因为，所以.故的取值范围为.21.十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，且各局比赛胜负相互独立．（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．解：（1）甲经过六局比赛获胜的概率为，甲经过七局比赛获胜，则前六局有一局乙胜，第7局甲获胜，概率，故甲至多经过七局比赛获胜的概率为；（2）对弈双方赛满局后，甲获胜的概率为，则甲至少获胜的局数为局，故，同理可得，因为，故，则，同理，对乙来说，结论一样，故n越大，某一方赢得比赛的概率越大.22.已知函数与函数有相同的最小值．（1）求实数a的值；（2）求不等式的解集．解：（1）由已知可得，定义域为，且.定义域为R，.若，则恒成立，所以在上单调递减，显然没有最小值，不满足题意，所以.由可得，.当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，.由可得，.当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.由已知可得，，即.设，，则.设，则.由，可得.当时，有，所以，即在上单调递减；当时，有，所以，即在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，恒成立，所以在上单调递增.又，所以，在上有唯一解.即解方程，可得.（2）由（1）知，，不等式可化为.令，则.①当时，有，所以，所以恒成立，不满足题意；②当时，由（1）可知，最小值为0，所以，即.所以，，所以，在上单调递增.又，所以，的解集为.综上所述，的解集为.所以，不等式的解集为.江苏省苏州市2022-2023学年高二下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫未黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知M，N是全集U的非空子集，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为M，N是全集U的非空子集，且，所以韦恩图为：由韦恩图可知，A不正确；B正确；C不正确；D不正确.故选：B.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，则，所以“”是“”的充分条件；若，则，只有当时，才能推出，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.所以，切线方程为.作出图象，解可得，.解可得，.所以，.故选：C.4.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①；②，则这些数学专著至少有（）A.9本 B.10本 C.11本 D.12本〖答案〗A〖解析〗因为，，不妨先令，则，此时由于，，不合要求，舍去；令，则，此时，，满足要求，故这些数学专著至少有本.故选：A.5.已知定义在上的函数从x到的平均变化率为，则的单调增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，.设，则.由可得，，所以，即时，有.根据导数的概念，可知时，有.所以，的单调增区间是.故选：C.6.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型（其中e＝2.71828…）拟合，设，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64由上表可得回归方程，则m的值约为（）A.2 B.7.4 C.1.96 D.6.9〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，将代入可得，且，所以，又因为，即，所以.故选:B.7.已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，，，根据条件概率可知，.故选：A.8.已知实数a，b，c满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，令，则，当时，，所以在递增，因为，所以，所以，所以，即，由，得，则，因为，所以，，所以，所以，所以，即，综上，故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X服从二项分布，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗随机变量X服从二项分布，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.10.已知函数及其导数的定义域均为R，则下列结论正确的有（）A.若为奇函数，则为偶函数B.若为奇函数，则为奇函数C.若为奇函数，则为偶函数D.若为偶函数，则为偶函数〖答案〗BC〖解析〗对于A项，由已知可得，设，则，所以为奇函数，故A项错误；对于B项，因为，为奇函数，所以有，即，整理可得，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，由已知可得，根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，所以，所以为偶函数，故C项正确；对于D项，由已知可得，根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，所以，所以奇函数，故D项错误.故选：BC.11.已知函数，，则下列结论正确的有（）A.当时，在处取得极小值B.当时，有且只有一个零点C.若恒成立，则D.若恒成立，则〖答案〗ABD〖解析〗选项A、B：当时，，当，单调递减；当，单调递增；故在处取得极小值，故A正确；又因为，所以，有且只有一个零点，故B正确；选项C、D:恒成立，当时，；当时，即恒成立，构造函数，，令，，在单调递减，又，所以，所以在上单调递减，，综上可得，故C错误；函数，函数单调递减，则，故有,即；即恒成立，时，;，，又，所以选项D正确；故选：ABD.12.现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（）A.2张有奖券分给同一个人的概率是B.2张有奖券分给不同的人的概率是C.2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为D.2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为〖答案〗BD〖解析〗对于A项，将10张没有奖的奖券按照1，3，3，3分成三组，不同的分法种数为，然后分配给4个人的分法为，所以，2张有奖券分给同一个人的概率是，故A项错误；对于B项，由A可得，2张有奖券分给不同的人的概率是，故B项正确；对于C项，由A可知，2张有奖券都分给丙的概率是；2张有奖券都分给丁的概率是；若2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁，将10张没有奖的奖券按照2，2，3，3分成四组，不同的分法种数为，然后分配给4个人的分法为，所以，2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是，所以，2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为，故C项错误；对于D项，因为2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是，同理可得，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为，故D项正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值：________．〖答案〗3（〖答案〗不唯一，3的正整数倍即可）〖解析〗的展开式的通项公式为，要想展开式中存在常数项，则要有解，即，为3的正整数倍即可故〖答案〗为：3（〖答案〗不唯一，3的正整数倍即可）.14.某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第________个项目中的成绩排名最靠后，在第________个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百717581854.92.13.64.3〖答案〗四二〖解析〗项目一：由已知可得，，，则；项目二：由已知可得，，，则；项目三：由已知可得，，，则；项目四：由已知可得，，，则.根据正态分布的性质可得，，所以，小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前．故〖答案〗为：四；二.15.已知，，，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，当且仅当，即，又，所以，时，等号成立.故的最小值为.故〖答案〗为：.16.已知不等式对任意恒成立，则的最大值为________．〖答案〗2〖解析〗因为不等式对任意恒成立，所以，对任意恒成立，由可得，即，令，则，当时，，函数单调递增，显然不恒成立，不合题意，当时，由，可得，函数单调递减，由可得，函数单调递增，所以，即，所以，由，可得，即，因为函数单调递增，且，所以，当时，，即，所以的最大值为2.故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数．（1）求的极小值；（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）由已知可得，.由可得，或.由可得，，所以上单调递减；由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值.（2）由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减.又，，，所以，在区间上，在处取得最小值2，在处取得最大值6.18.设，其中，．（1）当n=9时，求的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为，求n的值．解：（1）令可得，.令可得，，所以.（2）设第项的系数之比为.展开式的通项公式，.则，整理可得，解得.19.已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的列联表．选择课程A选择课程B总计男生150女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，．0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）由男生250名，女生200名，结合表中数据，列联表如图所示，选择课程A选择课程B总计男生100150250女生50150200总计150300450，所以有的把握认为选择课程与性别有关.（2）按分层抽样计算抽取10名男生中，选择课程A的人数为，则X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为X0123P.20.已知函数满足．当时，．（1）若，求的值；（2）当时，都有，求的取值范围．解：（1）又因为当时，，所以，，因为，所以，即，显然，所以，所以，得.（2）由得，当时，，，因为当时，都有，所以当时，，解得，又因为，所以在上恒成立，方法1：=1\*GB3①当时，的对称轴，所以