2022-2023学年湖北省武汉西藏中学高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉西藏中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、选择题（共12题，共60分）1.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，，解得，.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程是；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，故选D.2.已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗曲线右焦点为，周长，要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=，故选B.3.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离〖答案〗B〖解析〗化简圆到直线的距离，又两圆相交.选B.4.数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，是首项为，公差为的等差数列，所以，则.故选：B.5.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.6.在等差数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由等差数列的性质可得故选：A.7.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）A.21种 B.315种 C.153种 D.143种〖答案〗D〖解析〗由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.8.在的二项展开式中,x的系数为()A.10 B.-10 C.40 D.-40〖答案〗D〖解析〗∵,∴当时,.∴,故选D.9.若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A.10 B.20 C.30 D.40〖答案〗B〖解析〗因为的展开式的二项式系数之和为，所以可得，的展开式为，常数项为，故选:B.10.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗展开式的通项为，取，，系数为.故选：A.11.设函数，已知集合为的极值点，，若存在实数，使得集合中恰好有个元素，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗集合表示函数在椭圆的内部或边界上的最值点的集合，而最值点一定在直线上，且当时，由得，的周期，因为存在实数，使得集合中恰好有个元素，故，解得，故选：A.12.已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，因为，所以，且，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，取得最小值，，，，①当时，函数单调递增，，即，解得：，不成立；②当时，，即，解得：或，不成立；③当时，函数单调递减，，即，解得：，成立.综上可知：.故选：B.二、填空题（共4题，共20分）13.已知点列，其中．是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…．记．则_____；_____．〖答案〗〖解析〗是线段的中点，,故，又，故；，即，故是以为首项，为公比的等比数列，即，由，得：，将上面所有式子相加得：，故.故〖答案〗为：；.14.等差数列的前项和为，，则______.〖答案〗7〖解析〗.故〖答案〗为：7.15.已知组合数，则______．〖答案〗〖解析〗因为组合数，所以，故〖答案〗为：.16.某一大型购物广场有“喜茶”和"沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去"沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率__________．〖答案〗0.65〖解析〗某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：第一种情况：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为：；第二种情况：第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为：；所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶概率为，故〖答案〗为：0.65.三、解答题（共6题，共70分）17.在二项式的展开式中，求：（1）展开式的第四项；（2）展开式的常数项；（3）展开式的各项系数的和．解：（1）二项式的展开式的通项为，所以第四项．（2）二项展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为．（3）令，得展开式的各项系数的和为．18.有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是、、、，求以下的概率：（1）4人中至少有2人合格的概率；（2）4人中恰好只有2人合格的概率.解：（1）4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{没有合格，只有1人合格}，由题意，1、没有合格的概率为，2、只有1人合格的概率为，∴4人中至少有2人合格的概率为；（2）4人中恰好只有2人合格，则其概率为：.19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）函数定义域为R，，当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，所以的递减区间为，递增区间为和.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减,因此，在区间上的最大值为，而，，即有，所以在区间上的最大值为，最小值为.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．（1）解：函数的定义域为，且，，因为，，故所求的切线方程为，即．（2）证明：由（1）可知为上的增函数．因为，，所以存在唯一的使．从而有，．因为时，；时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以．21.已知抛物线C经过点，且其对称轴为x轴.（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明．解：（1）因为抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，且经过第四象限，设抛物线C的方程为，又抛物线经过点，所以，解得，于是抛物线C的方程为．（2）以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．证明如下：由得．由于，设，则，．由于，，所以，即．设以AB为直径的圆的圆心为，则，即，于是．由于抛物线C的准线l的方程为，所以圆心M到准线l的距离等于，又以AB为直径的圆的半径为，所以，以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．22.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点．求证：为的中点．（1）解：由题设，得解得，．所以椭圆的方程为．（2）证明：由题意，设直线的方程为．由得．由，得．设，，则，．①当时，直线的方程为．令，得点的横坐标．同理可得点的横坐标．．因为，所以．所以为的中点．②当时，，．直线的方程为，可求得．所以直线的方程为，从而．此时依然有．综上，为的中点．湖北省武汉西藏中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、选择题（共12题，共60分）1.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，，解得，.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程是；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，故选D.2.已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗曲线右焦点为，周长，要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=，故选B.3.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离〖答案〗B〖解析〗化简圆到直线的距离，又两圆相交.选B.4.数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，是首项为，公差为的等差数列，所以，则.故选：B.5.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.6.在等差数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由等差数列的性质可得故选：A.7.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）A.21种 B.315种 C.153种 D.143种〖答案〗D〖解析〗由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.8.在的二项展开式中,x的系数为()A.10 B.-10 C.40 D.-40〖答案〗D〖解析〗∵,∴当时,.∴,故选D.9.若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A.10 B.20 C.30 D.40〖答案〗B〖解析〗因为的展开式的二项式系数之和为，所以可得，的展开式为，常数项为，故选:B.10.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗展开式的通项为，取，，系数为.故选：A.11.设函数，已知集合为的极值点，，若存在实数，使得集合中恰好有个元素，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗集合表示函数在椭圆的内部或边界上的最值点的集合，而最值点一定在直线上，且当时，由得，的周期，因为存在实数，使得集合中恰好有个元素，故，解得，故选：A.12.已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，因为，所以，且，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，取得最小值，，，，①当时，函数单调递增，，即，解得：，不成立；②当时，，即，解得：或，不成立；③当时，函数单调递减，，即，解得：，成立.综上可知：.故选：B.二、填空题（共4题，共20分）13.已知点列，其中．是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…．记．则_____；_____．〖答案〗〖解析〗是线段的中点，,故，又，故；，即，故是以为首项，为公比的等比数列，即，由，得：，将上面所有式子相加得：，故.故〖答案〗为：；.14.等差数列的前项和为，，则______.〖答案〗7〖解析〗.故〖答案〗为：7.15.已知组合数，则______．〖答案〗〖解析〗因为组合数，所以，故〖答案〗为：.16.某一大型购物广场有“喜茶”和"沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去"沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率__________．〖答案〗0.65〖解析〗某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：第一种情况：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为：；第二种情况：第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为：；所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶概率为，故〖答案〗为：0.65.三、解答题（共6题，共70分）17.在二项式的展开式中，求：（1）展开式的第四项；（2）展开式的常数项；（3）展开式的各项系数的和．解：（1）二项式的展开式的通项为，所以第四项．（2）二项展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为．（3）令，得展开式的各项系数的和为．18.有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是、、、，求以下的概率：（1）4人中至少有2人合格的概率；（2）4人中恰好只有2人合格的概率.解：（1）4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{没有合格，只有1人合格}，由题意，1、没有合格的概率为，2、只有1人合格的概率为，∴4人中至少有2人合格的概率为；（2）4人中恰好只有2人合格，则其概率为：.19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）函数定义域为R，，当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，所以的递减区间为，递增区间为和.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减,因此，在区间上的最大值为，而，，即有，所以在区间上的最大值为，最小值为.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．（1）解：函数的定义域为，且，，因为，，故所求的切线方程为，即．（2）证明：由（1）可知为上的增函数．因为，，所以存在唯一的使．从而有，．因为时，；时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以．21.已知抛物线C经过点，且其对称轴为x轴.（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明．解：（1）因为抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，且经过第四象限，设抛物线C的方程为，又抛物线经过点，所以，解得，于是抛物线C的方程为．（2）以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．证明如下：由得．由于，设，则，．由于，