等腰三角形的性质(九中宋俊)

等腰三角形本课内容本节内容2.3动脑筋如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,

AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得△ABC.说一说定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，

腰和底边的夹角叫做底角.探究任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图,作△ABC关于顶角平分线AD

所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线

；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段

；点B的像是点C，点C的像是点

；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线

对称.ABABBAD探究由于点D的像是点D,因此线段DB的像是线段

，从而AD是底边BC上的

.由于射线DB的像是射线DC,射线DA的像是射线

,因此∠BDA=∠CDA=

°,从而AD是底边BC上的

.由于射线BA的像是射线CA,射线BC的像是射线

,因此∠B

∠C.DC中点DA90高CB=性质1等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.性质2等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）．在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）几何语言：性质3等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）．在△ABC中，AB=AC,点D在BC上1、∵AD⊥BC∴∠

=∠

，

=

.

2、∵AD是中线，∴

⊥

，∠

=∠

.3、∵AD是角平分线，∴

⊥

，

=

.几何语言：BADCADBDCDBDCDBADCADADBCADBC如图（1）在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°,则∠B=,∠C=

.变式练习：1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A=50°,则∠B=

，∠C=.2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A=120°则∠B=

，∠C=

.做一做72°72°65°65°30°30°做一做在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△

ABC各角的度数.

解：设∠A=x°

∵AD=BD∴∠A=∠ABD=x°∠BDC=2x°∵BD=BC∴∠BDC=∠C=2x°∵AB=AC∴∠C=∠ABC=2x°∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180即x=36∠A=36°∠ABC=∠C=72°想一想如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC,从而∠C＝∠A＝∠B．由三角形内角和定理可得：∠A＝∠B＝∠C＝60°．等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.结论由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.举例例2

已知：如图,在△ABC

中,

AB=AC,点D,

E在边BC上,且AD=AE.求证：BD=CE.证明：作AF⊥BC,垂足为点F∵AB=ACAD=AE∴BF=CF

DF=EF，∴BF

－DF=CF

－EF，即BD=CE.解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上的高或作底边上的中线是一种常用的辅助线.如图

的三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂,调整架身,使点A恰好在铅垂线上．(1)

AD与BC是否垂直,试说明理由;(2)这时BC处于水平位置,为什么?议一议小结与复习本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?思考已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠DBC=∠A.中考试题例

已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=900∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450∠CAD=∠CBD=450∴∠CAE=∠BCG又BF⊥CE∴∠CBG+∠BCF=900又∠ACE+∠BCF=900∴∠ACE=∠CBG又AC=BC，∴△AEC≌△CGB（ASA)∴AE=CG中考试题（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直CE,垂足为H,交CD的延长线于点M（如图②）,找出图中与BE相等的线段,并说明.求证:BE=CM中考试题证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED∴∠CMA+∠MCH=900∠BEC+∠MCH=900∴∠CMA=∠BEC又AC=BC，∠ACM=∠CBE=450∴△BCE≌△CMA（ASA)∴BE=CMF解：作AF⊥BC于