证明1234(湘教九年级上册)

证明本课内容本节内容2.4

什么叫作证明？说一说

从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明．

于是我们在证明一个命题时，首先要分清命题的条件是什么，结论是什么，把条件作为已知的内容，把结论作为求证的内容；

其次要从已知条件出发，运用概念的定义、公理和已经证明过的定理，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立.

这个推理的过程就是证明的过程．

注意：证明的每一步都要有根据．举例例1证明：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角相等，同旁内角互补．已知：直线AB，CD被直线MN所截，如图2-3，∠1=∠2．

求证：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∠7=∠2，∠5=∠4，∠5与∠2互补，∠7与∠4互补．

图2-3证明:∵

∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，(平角的定义)∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.(等量代换)又∵∠1=∠2，(已知)∴∠3=∠4.(等量减等量，差相等)∵∠1=∠7，∠2=∠8，(对顶角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠8.(等量代换)同理可证∠5=∠6．图2-3∵∠1=∠7，(对顶角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠2.(等量代换)同理可证∠5=∠4．∵∠1+∠5=180°，∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，(等量代换)即∠2与∠5互补．

同理可证

∠7与∠4互补．

图2-3例2证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

已知：如图2-4，∠1是△ABC的一个外角，∠A，∠B是和它不相邻的内角，∠2是和它相邻的内角．

求证：∠1=∠A+∠B．图2-4举例证明:∵∠1+∠2=180°，(平角的定义)∠A+∠B+∠2=180°，(三角形的内角和定理)∴∠1=180°-∠2，(等量减等量，差相等)∠A+∠B=180°-∠2，(等量减等量，差相等)从而∠1=∠A+∠B．(等量代换)图2-4练习1.证明：两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么另一对内错角也相等，并且同位角相等．

已知：如图，AB、CD被MN所截，∠7=∠2．求证：∠5=∠4，∠1=∠2．证明:∵∠7+∠5=180°，∠2+∠4=180°，∴∠7+∠5=∠2+∠4.又∵∠7=∠2，∴∠5=∠4.∵∠1=∠7，∴

∠1=∠2.2.证明：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．已知：∠1是△ABC的外角，∠A，∠B是和它不相邻的内角.

求证：∠1>∠A，∠1>∠B..证明：∵∠1+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB

=180°，∴∠1=∠A+∠B.∴∠1>∠A，∠1>∠B3.利用平行线的性质定理Ⅰ(即，两直线平行，同位角相等)，证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．已知：AB∥CD，且AB，CD与直线MN相交于M，N.求证：∠1=∠2，∠3=∠4.证明：∵AB∥CD，∴∠2=∠5.

又∠1=∠5，∴∠1=∠2.

同理可证：∠3=∠4.说一说

角平分线有什么性质？

角平分线上任意一点到角两边的距离相等．

我们曾经在本套教材七年级下册第5章的5.5节用轴反射证明了这条性质.现在我们用另一种方法来证明它.

举例例3

证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等．

图2-5已知：如图2-5，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E．求证：PD=PE．证明:在△OPD与△OPE中，∵∠1=∠2，(已知)∠ODP=∠OEP=90°，(已知)OP=OP，∴△OPD≌△OPE．(角角边)从而PD=PE.(全等三角形的对应边相等)图2-5做一做

在教材七年级下册第5章的5.6节中，我们用轴反射证明了“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.你能给出另一种证明方法吗？请你完成下面的证明：

例4

证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．

图2-6证明:已知：如图2-6，在△ABC中，∠B=∠C.

求证：AB=AC.证明作边BC上的高AD.

在△ABD与△ACD中，∵

=

，(

)

=

=

，(

)

=

，()∴△ABD≌△ACD.(

)从而AB=AC.

(

)∠B∠C已知∠ADB∠ADC90°凡直角都相等ADADAAS同边相等对应边相等图2-6D练习1.证明：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．

已知：点P为AOB内一点，且PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，PN=PM.求证：P在∠AOB的平分线上.证明：连接OP.在Rt△OPM和Rt△OPN中，∵PN=PM，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN.∴∠AOP=∠BOP，∴OP为∠AOB的平分线，∴

P在∠

AOB的平分线上.2.证明：每个内角都等于60°的三角形是等边三角形．

已知：△ABC

中，∠A，∠B，∠C为60°，求证：△ABC为等边三角形.ABC证明：∵∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC.∴△ABC为等边三角形.3.已知：如图2-7，△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB

的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．提示:过点P作PN⊥AF于N，PM⊥BC于M，PD⊥AE于D，再利用角的平分性质证PN=PD，则P在∠A的平分线上.图2-7DNM证明：（角平分线上任意一点到角两边的距离相等.）作PN⊥AF于点N，PM⊥BC于点M，PD⊥AE于点D∵P在∠EBC的平分线上,又在∠FCB的平分线上∴PM=PD

PM=PN∴PD=PN（等量代换）∴P在∠BAC的平分线上如图2-8，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O，过点O作一条直线分别与边AB，DC交于点E，F.

OE=OF吗？你能给出证明吗？动脑筋OE=OF.图2-8证明:∵

AB∥DC，(平行四边形的定义)图2-8∴∠1=∠2.(两直线平行，内错角相等)在△OAE与△OCF中，∵∠1=∠2，∠3=∠4，(对顶角相等)OA=OC，(平行四边形的对角线互相平分)∴△OAE≌△OCF.(角边角)从而OE=OF.(全等三角形的对应边相等)

做一做

你能利用“平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心”这条性质，来证明上题结论OE=OF吗？图2-8举例例4

已知：如图2-9，在△ABC中，边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，连接DF，FE.图2-9

求证：（1）四边形BEFD是平行四边形；

（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.图2-9

（1）四边形BEFD是平行四边形；证明:∵DF是△ABC的一条中位线，∴DF∥BC，DF=BC.(三角形中位线定理)

同理FE∥AB，FE=AB．因此四边形BEFD是平行四边形.(平行四边形的定义)

（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.证明:由于平行四边形的对边相等，因此四边形BEFD的周长等于做一做已知：如图2-10，在△ABC中，D，E，F分别是边

AB，AC，BC的中点，连接DE，AF．求证：AF与DE互相平分．

图2-10证明:连接

，∵

，∴

.(

)同理

.

因此四边形

是

.(

)从而

.(

)

DF，EFE，F分别为AC，BC的中点EF∥AB中位线定理DF∥ACADFE平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形DE与AF互相平分平行四边形两对角线互相平分图2-10结论由此我们可以得到下面的结论：

三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.练习1.证明：平行四边形的两条对角线的交点到一组对边的距离相等．

已知：平行四边形ABCD的对角线AC与BD

相交于O，EF过O，且EF⊥AB于E，

EF⊥CD于F.求证：OE=OF.证明：在△OCF和△OAE中，∠1=∠2，

∠4=∠3，AO=OC，△OCF≌

△OAE.OE=OF.2.证明：四个角都相等的四边形是矩形.

提示:利用四边形的内角和为360°，证每一个角为90°.因为每个角都为直角的四边形是矩形.说一说

等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？相等.

举例例5证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等．已知：如图2-11，在等腰梯形ABCD中，上底DC的中点为E，连接EA，EB．求证：EA=EB．证明:

在△ADE与△BCE中，图2-11∵AD=BC，(等腰梯形的定义)DE=CE，(已知)∠D=∠C，(等腰梯形在同一底上的两个角相等)∴△ADE≌△BCE.(边角边)

从而EA=EB.(全等三角形的对应边相等)做一做

剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一条边的垂直平分线，从三条折痕看出，它们是否相交于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明这个猜测为真吗？

证明思路是：去证三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂直平分线上.

举例例6已知：如图2-12，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点O．求证：点O在边AC的垂直平分线上．证明连接OA，OB，OC．∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.(垂直平分线的性质定理)

同理OC=OB.

因此OA=OC.(等量代换)

从而点O在线段AC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)图2-12结论从例6立即得到:

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

举例例7证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线必相交.

已知：如图2-13，直线AB，CD被直线MN所截，同旁内角∠1和∠2不互补.

求证：直线AB与CD相交.

图2-13证明假如直线AB与CD不相交，图2-13则它们没有公共点，从而AB∥CD.于是∠1与∠2互补(两直线平行，同旁内角互补).这与已知条件矛盾.因此直线AB与CD相交.

结论

像例7那样，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.

练习1.已知：在△ABC中，∠A与∠B的平分线相交于点O.

求证：点O在∠C的平分线上.

证明:过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F.∵O在∠A的平分线上，∴OD=OE.同理OE=OF，OD=OF，∴

O在∠C的平分线上.2.从第1题中，你能得出什么结论呢？

答：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.1.已知：在△ABC中，∠A与∠B的平分线相交于点O.

求证：点O在∠C的平分线上.

3.证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线必相交．已知：AB，CD被直线MN所截，同位角∠1，∠2不相等.求证：AB与CD相交.证明：假如直线AB与CD不相交，则它们无公共点，从而AB∥CD，于是∠1=∠2，与已知矛盾.

因此AB与CD必相交.小结与复习

本章介绍欧几里得开创的公理化方法，以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题(即定理)也可以作为判断其他命题的真假的依据.

叙述一件事情的句子(陈述句)，如果要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题.

对一个概念的特征性质的描述叫作这个概念的定义.概念是在对客观现象的观察中，抓住主要特征抽象出来的，这个主要特征就是这个概念的定义.

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题.如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题．

在“如果……，那么……”形式的命题中，“如果”连接的部分是条件，“那么”连接的部分是结论.

从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.

找出一个例子，它符合命题的条件，但它不符合命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例．

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么称这两个命题是互逆的命题，其中的一个叫作另一个的逆命题．

一个命题为真不能保证它的逆命题为真，有可能它的逆命题为假．

公理是指人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据.

定理是指已经判断为真的命题.它也可以作为判断其他命题的真假的依据.

把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则：直观，易于为大家所公认；够用；尽可能少；相互之间不闹矛盾等．

根据上述原则并且考虑到同学们的实际情况，我们编写的这套教材到目前为止选择了十个真命题作为公理，详见本章2.3节．

如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理．

从命题的条件出发，运用定义、公理和已证明过的定理，经过推理，证明命题的结论成立，这种证明方法称为综合法．

先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．

在证明一个命题为真时，关键是通过分析所要证明的结论和已知条件，找出证明思路．

在证明过程中，应当每一步都有根据，不能凭直观和想当然．

熟练地掌握已经学过的定理、概念的定义和公理，是做好证明题的前提条件．中考试题例1