利用-稳定秩条件证明厄米特1k-群的稳定性

利用-稳定秩条件证明厄米特1k-群的稳定性

为了证明阿迪曼1k组的稳定性，a.bak和唐国平在文献中引入了一种新的稳定等级条件，即-稳定等级条件。这种新的稳定等级条件弱于绝对稳定等级条件和绝对稳定等级条件。它的使用不仅可以证明和推广以前的结果，而且可以极大地简化以前的证明过程。唐国平在文献中证明了这组基本子群的正式性、二次空间的消去性以及乙一克-石群的稳定性。在这项工作中，我们使用稳定等级的条件来证明子群u（m，i，）的正式性。1q的自同构群假设在具有单位元1的结合环A上定义一个对合,即一一映射*:aa*,满足(a+b)*=a*+b*(ab)*=a*b*,a**=a.取ε∈Cen(A)满足ε*ε=1.设Λ是A的加法群的一个子群,满足(1)对任意的a∈A有a*Λa⊆Λ;我们称Λ为型参,而(A,Λ)叫型环.令M是一个右(有限生成投射)A-模.如中,定义型环(A,Λ)上的二次型空间(M,q)的自同构群(即酉群)U(M)为取M中迷向元e(|e|q=0)且与u∈M正交,取|u|q中元r,M到M的Eichler变换τ(e,u,r)∈U(M)由τ(e,u,r)(x)=x+u(e,u)q-eε*(u,x)q-eε*r(e,x)q定义.它满足下面的常用关系:设(A,Λ)是型环,I是环A的一个理想,满足I*=I.令ΛI表示加群(A,+)的由{a-a*ε|a∈I}∪{a*λa|a∈A,λ∈Λ}生成的子群.设Γ是加群(A,+)的一个子群且满足下列条件:定义1称型环(A,Λ)满足Λ-稳定秩条件ΛSm,如果环A满足稳定秩条件Sm且对任意的么模向量,存在(m+1)×(m+1)矩阵γ∈Λm+1,使得是么模向量.型环(A,Λ)的Λ-稳定秩ΛS(A,Λ)定义为满足ΛSk的最小正整k.引理1设e1,f1,e2,f2是(M,q)中的互相正交的双曲对,则引理2假设(M,q)是型环(A,Λ)上的二次型空间而且它的Witt指数ind(q)≥ΛS(A,Λ)+1,则对于任意的双曲对e,f,EU<e,f>(M)分别传递地作用在模M中给定长的所有q-么模向量的集合上以及所有双曲对的集合上.从而EU<e,f>(M)与e,f的选择无关且在U(M)中正规.2eum,i,-----的u-m,----的u-m,---的法定集合定理1设型环(A,Λ)满足Λ-稳定秩条件,(M,q)是型环(A,Λ)上的二次型空间且它的Witt指数n≥ΛS(A,Λ)+1.则对于(M,q)的任意的双曲对e,f,有定理2设型环(A,Λ)满足Λ-稳定秩条件,(M,q)是型环(A,Λ)上的二次型空间且它的Witt指数n≥ΛS(A,Λ)+1.对于(M,q)的任意的双曲对e,f,设M=<e,f>⊥M1,则证显然U(M)⊇EU(M)U(M1).因为e,f是双曲对,所以对于任意的σ∈U(M),σ(e),σ(f)也是双曲对,由引理2我们可以知道,存在τ∈EU(M),使得σ1=τσ保持e,f不动,所以σ1∈U(M1).这样σ∈U(M)就可以分解成EU(M)与U(M1)中元的乘积.所以U(M)⊆EU(M)U(M1).综上,U(M)=EU(M)U(M1).证毕.根据,我们用U(M,I,Γ)表示下面的集合引理3U(M,I,Γ)是U(M)的正规子群.本文后面在型环(A,Λ)满足Λ-稳定秩条件,(A,Λ)上的二次型空间(M,q)的Witt指数n≥max{ΛS(A,Λ)+1,3}的条件下,我们都假设为(M,q)的互相正交的双曲对.下面的定理给出了在Λ-稳定秩条件下,同余子群EU(M,I,Γ)在U(M)中的正规性.定理3设型环(A,Λ)满足Λ-稳定秩条件,(M,q)是型环(A,Λ)上的二次型空间且它的Witt指数n≥ΛS(A,Λ)+1.则对型环(A,Λ)的任意的形式理想(I,Γ),EU(M,I,Γ)是U(M)的正规子群.证由U(M)=EU(M)U(M1)知只需证明对任意的σ∈U(M1)有从而于是所以EU(M,I,Γ)是U(M)的正规子群.证毕.由定理3容易得到下面的一个推论.推论1设型环(A,Λ)满足Λ-稳定秩条件,(M,q)是型环(A,Λ)上的二次型空间且它的Witt指数n≥ΛS(A,Λ)+1.则对于型环(A,Λ)的任意的形式理想(I,Γ),EU(M,I,Γ)是U(M,I,Γ)的正规子群.(2)对任意的a∈A,有aa*Γ⊆Γ.则称(I,Γ)是型环(A,Λ)的一个形式理想.设.用符号表示