上海市东昌中学2023-2024学年数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

上海市东昌中学2023-2024学年数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），问立夏日影长为（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸2．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.33．在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为（）A.4 B.6C.8 D.104．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()A. B.C. D.5．已知圆与抛物线的准线相切，则实数p的值为（）A.2 B.6C.3或8 D.2或66．已知函数，为的导数，则（）A.-1 B.1C. D.7．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（）A. B.C. D.8．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形9．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.10．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.611．为发挥我市“示范性高中”的辐射带动作用，促进教育的均衡发展，共享优质教育资源．现分派我市“示范性高中”的5名教师到，，三所薄弱学校支教，开展送教下乡活动，每所学校至少分派一人，其中教师甲不能到学校，则不同分派方案的种数是（）A.150 B.136C.124 D.10012．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列{}的前n项和，若，，则=_________.14．若随机变量，则______.15．已知函数，则___________.16．作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为，则______，现有1个半径为的圆，2个半径为的圆，……，个半径为的圆，n个半径为的圆，则所有这些圆的面积之和为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，证明：18．（12分）在复数集C内方程有六个根分别为（1）解出这六个根；（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积19．（12分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.20．（12分）如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值21．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由贾玲导演的电影《你好，李焕英》上映，截至到2月21日22点8分，票房攀升至40.25亿，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎来了2021春节档最具戏剧性的一幕．正是因为影片中母女间的这份简单、纯粹、诚挚的情感触碰了人们内心柔软的地方，打动了万千观众，才赢得了良好的口碑，不少观众都流下了感动的泪水．影片结束后，某电影院工作人员当日随机抽查了100名观看《你好，焕英》的观众，询问他们在观看影片的过程中是否“流泪”，得到以下表格：男性观众女性观众合计流泪20没有流泪520合计（1）完成表格中的数据，并判断是否有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关？（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，然后从这5人中再随机抽取2人，求这2人都流泪的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，22．（10分）如图，在三棱锥中，，点为线段上的点.（1）若平面，试确定点的位置，并说明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】结合等差数列知识求得正确答案.【详解】设冬至日影长，公差为，则，所以立夏日影长丈，即四尺五寸.故选：D2、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D3、C【解析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.【详解】设，，的中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，问题转化为圆与圆有交点，所以，，即，解得：，所以线段长度的最小值为.故选：C4、A【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.【详解】由题意得，即，由几何概型得，在定义域内任取一点，使的概率是.故选：A.5、D【解析】由抛物线准线与圆相切，结合抛物线方程，令求切线方程且抛物线准线方程为，即可求参数p.【详解】圆的标准方程为：，故当时，有或，所以或，得或6故选：D6、B【解析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论【详解】解：由题意，，所以.故选：B7、C【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.【详解】连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，，（负值舍去）故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.8、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.9、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为，又因为，，所以.故选：C10、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.11、D【解析】对甲所在组的人数分类讨论即得解.【详解】当甲一个人去一个学校时，有种；当甲所在的学校有两个老师时，有种；当甲所在的学校有三个老师时，有种；所以共有28+48+24=100种.故选：D【点睛】方法点睛：排列组合常用方法有：简单问题直接法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.12、B【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解析】根据等差数列通项和前n项和公式即可得到结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以故答案为：1814、2【解析】根据给定条件利用二项分布的期望公式直接计算作答.【详解】因为随机变量，所以.故答案：215、【解析】先求导数，代入可得.【详解】因为所以，则，故.故答案为：16、①；②..【解析】设第n个三角形的边长为，进而根据题意求出，然后根据等面积法求出，再求出；设n个半径为的圆的面积为并求出，进而运用错位相减法求得答案.【详解】如示意图1，设第n个三角形的边长为，易得，则是以6为首项，为公比的等比数列，所以.如示意图2，易得：，，所以，所以.设n个半径为的圆的面积为，则，记所有圆的面积之和为，则，所以，两式相减得：，即.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得：，依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，令，，则，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，，因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，因此有，所以a取值范围是.【小问2详解】由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，即，作差得，则有，原不等式，令，则，于是得，设，则，因此，在单调递增，则有，即成立，所以.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.18、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可【小问1详解】由题意，当时，设故，所以解得：，即当时，设故所以解得：，即故：【小问2详解】六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，其中在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1故19、（1）；（2）.【解析】（1）求出直线的方程，然后联立直线、的方程，即可求得点的坐标；（2）设，可求得线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，可得出点的坐标，进而利用直线的斜率和点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】解：，所以，而，则，所以直线的方程为，由，解得，所以顶点的坐标为.【小问2详解】解：因为在直线，所以可设，由为线段的中点，所以，将的坐标代入直线的方程，所以，解得，所以.故，故直线的方程为，即.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.21、（1）填表见解析；有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关；（2）【解析】（1）由已知数据可完善列联表，然后计算可得结论；（2）根据分层抽样定义求出5人中流泪与没有流泪的观众人数并编号，用列举法写出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流泪的基本事件，计数后可计算概率【详解】解：（1）男性观众女性观众合计流泪206080没有流泪15520合计3565100所以有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，则流泪的观众抽到人，记为，，，，没有流泪的观众抽到人，记为从这5人中抽2人有10种情况，分别是，，，，，，，，，其中这2人都流泪有6种情况，分别是，，，，，所以所求概率22、（1）点为MC的中点