陕西省商洛市洛南中学2023年高二上数学期末监测模拟试题含解析

陕西省商洛市洛南中学2023年高二上数学期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（）A. B.C. D.2．方程表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆3．给出下列判断，其中正确的是（）A.三点唯一确定一个平面B.一条直线和一个点唯一确定一个平面C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D.空间两两相交的三条直线在同一平面内4．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（）A.96 B.97C.98 D.995．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围A. B.C. D.6．方程有两个不同的解，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.7．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A B.C. D.8．年月日我国公布了第七次全国人口普查结果.自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）A.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破亿B.第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高C.我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势D.我国历次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势9．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率（）A. B.C. D.10．已知集合，，则A. B.C. D.11．设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（）A.越大，双曲线开口越小 B.越小，双曲线开口越大C.越大，双曲线开口越大 D.越小，双曲线开口越大12．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点为椭圆上的一动点，则点到直线的距离的最小值为___________.14．直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为__________.15．函数在点处的切线方程是_________16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率（1）求k的取值范围；（2）求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程18．（12分）在数列中，，且.（1）证明；数列是等比数列.（2）若，求数列的前n项和.19．（12分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围20．（12分）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1（1）求椭圆C的方程；（2）直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点（1）证明：平面PCD；（2）若PB与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正弦值22．（10分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角【详解】由直线方程知直角斜率为，在上正切值为1的角为，即为倾斜角故选：B2、D【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形【详解】根据题意，，再两边同时平方，由此确定图形为半圆.故选：D【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围3、C【解析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选：C4、C【解析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C5、A【解析】根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.【详解】曲线表示交点在轴的椭圆，，解得：.故选A【点睛】本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.6、C【解析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和表示恒过定点的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.【详解】令，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，表示恒过定点的直线，方程有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图圆心到直线的距离为，解得，当直线经过时由得，当直线经过时由得，所以实数k的取值范围为.故选：C.7、C【解析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列故选：C.8、D【解析】根据统计图判断各选项的对错.【详解】由统计图第五次全国人口普查时，男性和女性人口数都超过6亿，故总人口数超过12亿，A对，由统计图，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比为107.56，超过余下几次普查的人口的性别比，B对，由统计图可知，我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势，C对，由统计图可知，第二次，第三次，第四次，第五次时总人口性别比呈递增趋势，D错,D错，故选：D.9、D【解析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到，利用离心率公式即可求得答案.【详解】∵，∴，故，故选：D10、B【解析】由交集定义直接求解即可.【详解】集合，，则.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.11、C【解析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.故选：C.12、A【解析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围【详解】对任意都有恒成立，则时，，当时恒成立，

，当时恒成立，，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设与平行的直线与相切，求解出此时的方程，则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与平行的直线，当与椭圆相切时有：，所以，所以，所以，由题意取时，到直线的距离较小此时与（即）的距离为，所以点到直线距离的最小值为，故答案为：.14、【解析】直线过定点，圆心，当时，取得最小值，再由勾股定理即可求解.【详解】由，得，由，得直线过定点，且在圆的内部，由圆可得圆心，半径，当时，取得最小值，圆心与定点的距离为，则的最小值为.故答案为：.15、【解析】求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则且，所以在点处切线方程是，即故答案为：.16、【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.【小问1详解】设，因为，所以，所以k的取值范围为【小问2详解】由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，∴，∴，从而，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知，则，∴，∴.19、（1）极大值；极小值（2）【解析】（1）利用导数来求得的极大值和极小值.（2）由不等式分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，令，可得或2所以在区间递增；在区间递减.故当时．函数有极大值，故当时，函数有极小值；【小问2详解】由，有，可化为，令，有，令，有，令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，有，可知，有函数为减函数，有，故当时，若恒成立，则实数a的取值范围为【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解.20、（1）（2）【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）设，，取AB的中点，联立直线与椭圆的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面积可得答案.小问1详解】令，得，所以，解得，，所以椭圆C的方程：【小问2详解】设，，取AB的中点，因为为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以且，联立得，则∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质得到平面，连接，即可得到为与底面所成角，令，，利用锐角三角函数的定义求出，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小问1详解】解：证明：在正中，为的中点，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小问2详解】解：如图