《微积分初步》第二章电子教案

第2章导数与微分2.1.1引出导数概念的实例例1平面曲线的切线斜率

曲线的图像如图所示,在曲线上任取两点

和，作割线，割线的斜率为2.1导数的概念这里为割线MN的倾角，设是切线MT的倾角，当时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0

处的导数，记为或2.1.2导数的概念导数定义与下面的形式等价：若y=f(x)在x=x0

的导数存在，则称y=f(x)在点x0

处可导，反之称y=f(x)在x=x0

不可导.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.三、左导数与右导数

左导数:

右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0

的左、右导数存在且相等.2.1.3导数的几何意义

当自变量变化到时，曲线y=f(x)上的点由变到此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.M0M

曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.M0M

设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为(即法线平行y轴).当时,曲线在的法线方程为而当时,曲线在的法线方程为例3求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.例4求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:

于是所求的切线方程为:即法线方程为:即2.1.4可导性与连续性的关系定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0

处连续.证

因为f(x)在点x0处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系,可得:两端乘以得:由此可见:即函数y=f(x)在点x0

处连续.证毕.例5讨论函数在x=0处连续性、可导性.即可导定连续,连续不一定可导.

设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2导数公式与求导法则特别地,如果可得公式注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则解：

例2设解：例1解：即

类似可得例3求y=tanx

的导数基本导数公式表解：例5

定理二如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.2复合函数的导数例7解：解：例61.隐函数的导数例9求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得2.2.4隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。即例10解：两边对x求导得解一例11两边对x求导，由链导法有

解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：解二解：将函数取自然对数得两边对x求导得例12即或记作或二阶导数：如果函数f(x)的导函数仍是x的可导函数，就称的导数为f(x)的二阶导数，n阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导2.2.6高阶导数解：特别地例15解：……即同理例14

可以表示为定义设函数在点的某邻域内有定义，处的增量在点如果函数处的微分，可微，称为在点处在点高阶的无穷小，则称函数时其中A是与无关的常数，是当比记为由微分定义，函数f(x)在点x0处可微与可导等价，且,因而在点x0处的微分可写成于是函数通常把记为，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商．可微函数：如果函数在区间(a,b)内每一点都可微，则称该函数在(a,b)内可微。f(x)在点x0处的微分又可写成dxf(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为解：例2求函数y=x2

在x=1,时的改变量和微分。于是

面积的微分为

解：面积的增量面积的增量与微分．当半径增大例3半径为r的圆的面积时，求在点处，2.3.2微分的几何意义当自变量x有增量时，切线MT的纵坐标相应地有增量因此，微分几何上表示当x有增量时，曲线

在对应点处的切线的纵坐标的增量．用近似代替就是用QP近似代替QN，并且设函数y=f(x)的图形如下图所示.过曲线y=f(x)上一点M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为2.3.3微分的运算法则1.微分的基本公式：续前表2.微分的四则运算法则设u=u(x)，v=v(x)均可微，则

（C

为常数）；3．复合函数的微分法则都是可导函数，则设函数的微分为复合函数

利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分.这就是一阶微分形式不变性.可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有而