小学数学-探秘圆与正方形教学设计学情分析教材分析课后反思

《探秘圆与正方形》教学设计【教学目标】知识与技能目标1.进一步了解圆的基本特征，巩固圆的面积公式，外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系。2.能够使用外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系，解决实际问题。过程与方法目标让学生经历解决问题的全过程，要求学生先自主解决问题；学生自主解决后再进行小组讨论，并以小组的方式进行汇报交流。情感态度价值观1.通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。2.体验生活中处处有数学，用数学的眼光看待生活中的数学问题。【教学重点】经历研究外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间关系的过程。【教学难点】会用外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系，解决实际问题。【教学过程】一、联系生活，谈话引入师:同学们，今天由我和大家上一节数学课，瞧，我们要学什么？生：探秘圆与正方形。师：嗯，在我们奇妙的图形王国里，圆和正方形经常是成对出现，可算作闺蜜了，你信吗？生：不信，信师:视频为证，一起看师:这节课我们就研究下，外方内圆和外圆内方中，圆与正方形到底有什么特殊关系。师：我们先来看，在外方内圆中，圆的半径与正方形有什么关系？生：正方形的边长就是圆的直径，也就是2r。师：没错，外方内圆，就是在正方形内画最大的圆，圆的直径相当于正方形的边长。师：那外圆内方中，圆的半径与正方形又有什么关系？生：对角线就是直径。（不知道；师：加上这条辅助线呢？）师:真会观察。外圆内方，就是在圆内画最大的正方形，圆的直径相当于正方形的一条对角线。师：同学们，其实，圆和正方形的关系不仅仅是这几点，还有很多，接下来，我们就重点研究在外方内圆和外圆内方中，圆形和正方形的面积之间有什么特殊关系。二、探索研究，发现规律师:关于它们面积的关系，你想怎么研究？生：算。师:算什么？我们得知道那些条件才能算？师:的确，当我们碰到一个问题，感觉无从下手时，我们可以举几个简单的例子，看看里面有什么规律。我们先从外方内圆开始研究。1.研究外方内圆（小研究1）。（1）交流小研究第一题圆的半径（cm）123正方形的边长（cm）246圆的面积（cm2）π4π9π正方形的面积（cm2）41636（2）比较分析，提出猜想师:请认真观察这几组数据，圆的面积与正方形的面积比是多少？，圆的面积（cm2）π4π9π正方形的面积（cm2）41636π：4π：4π：4师：算到这，你有什么想说的？生:圆的面积和正方形的面积比是π:4。师：很有想法，你们在变化中找到了不变的量，这样才能表达它们之间的关系。那是不是所有外方内圆的图形中，圆的面积是正方形的面积比都是π:4呢？生：应该是。师:这只是我们的一个猜想，还需进行？生：验证。（3）举例验证，得出结论师:可以怎么验证？生：再举几个例子。师：赶紧验证下，可以写到表格后面。师：咱一起看看你的例子？生：（3个人）师:同学们，像这样的例子咱举得完吗？生：举不完。师:那举反例也是验证的一个好方法。你举得例子有没有不是这个结果的？生：没有。师：怎么办呢？什么可以代表所有的数？生：字母。师：你真棒，那假如圆的半径是r，那圆的面积怎么表示？正方形的面积呢？生：圆的面积是πr2，正方形面积是4r2，面积比还是π：4.师：那现在我们可不可以肯定的说，在所有的外方内圆中，圆和正方形的面积比都是π：4。师：的确，咱可以下结论了。（6）小结师:回顾刚才我们的整个研究过程：首先，我们从几个简单的例子入手，提出猜想——是不是所有的外方内圆中，圆和正方形的面积比都是π：4，然后进行验证——可以多举几个例子，或者举反例，到用字母来表示所有的情况。最后得出结论——所有的外方内圆中，圆和正方形的面积比都是π：4，。2.研究外圆内方师：下面你能不能按照刚才的研究路径，再来研究下外圆内方中圆和正方形面积的关系。下面小组合作研究。小组合作交流学生汇报展示研究过程。师:我们一起梳理下这两个同学的研究过程。生:圆的面积与圆内小正方形面积比是π:2。师:学以致用，你们真是会研究！3.三者合一师：继续前进，如果外方内圆碰上外圆内方，它们又会碰撞出什么火花呢？请再仔细观察，圆外大正方形的面积、圆的面积和圆内小正方形的面积又有什么关系？生：圆外大正方形的面积是圆内小正方形面积的2倍。生:他们的面积比是4:π:2。3.小结师:了不起的发现。三、知识运用，巩固提高师：它们面积的这个关系，到底有什么用呢？下面我们去感受一下它的价值所在。1.师：你看，知道了它们的关系，我们无需再去进行复杂的计算，就可以快速得出它们的面积。这样工匠师傅们在制作这些工艺品、装饰品时，就可以省时又省力了。师:看到这些图案，同学们，想一想，在我们中国建筑中，人们为什么特别钟爱方形和圆形呢？中国古代哲学认为，天为圆，地为方。这里面有天有地有乾坤。方中有圆，圆中有方，做到方圆共生，方圆共荣。其实，这也是我们做人做事的道理，既要坚持最基本的原则，又要懂得变通，学会多角度思考问题。2.再来看一个师：同学们，看，这个图形中圆和正方形的面积比是？那这个呢？（取1/4）生：都是π：4师：假如圆的半径是r，你知道r2算的是什么吗？生：小正方形的面积。师：看来，知道r可以计算圆的面积，知道r2呢？生：也可以计算圆的面积。3.师：赶紧算一算这个花坛的面积是多少？生：300÷4=75，小正方形的面积也就是r2，所以圆的面积就是75π。四、知识拓展，感受数学文化师：其实，它的价值不仅仅如此，接下来我们就不得不提到我国数学牛人刘徽的割圆术了。其实，几千年前，人们在对外方内圆和外圆内方的研究中发现了，哎，圆面积中总有一个常数比2大，比4小。为了得到这个数的更精确值，人们继续尝试，如果正方形边数继续增加，正多边形的面积就是越累越接近圆的面积，所以“九章算术”中记载。正是因为人们有了这些研究，才有了古今中外数学家对圆周率的求算。如：古希腊数学家阿基米德，是他开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似值的先河。他推算出π=3.1408，精确到小数后二位。再到后来我国古代的数学之神刘徽π=3.1416，最后的祖冲之，计算到小数点后第7位，比欧洲早了一千多年。足以看出，我们中国人的智慧是世界一流的，我们为之自豪！我们更要发奋努力，再创辉煌。四、全课总结，内化反思师:这节课你有什么收获？师:同学们，回顾我们这节课的研究过程，我们在碰到问题，无从下手时，我们可以利用化繁为简的思想，从几个简单的例子开始研究，提出猜想，并进行验证，最后得出结论。其实，很多数学问题也是沿着这样一条路径来研究的。在以后碰到问题时，大家也可以沿着这条路径来研究。《探秘圆与正方形》学情分析新课程理念强调，数学学习活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础上，并符合学生的心理特点。所以，教师准确了解学生的学习现状，找准学生学习起点显得尤为重要。(一)学生已有知识1、掌握了圆的面积公式，能运用了圆的面积公式救出圆的面积。2、已掌握了正方形的面积公式及计算。3、已经掌握如何求两个量间的关系(用分数和比表示)。(二)学生基本情况学生对于基本思想、基本活动经验的积累较少；大部分学生对于抽象问题的思考能力上相对欠缺，自己解决问题的思维以及语言表达能力有限，学生小组讨论学习时常常听别人说和引导而不是自己想办法，因此大部分学生在学习过程中不能积极主动的参与教学活动，多数的学习是被动形成知识网络。这节课对学生来说，思维难度较高，但对于“外方内圆和外圆内方中，圆与正方形有什么关系？”这一复杂问题，高年级的孩子已经积累了一定的经验，部分学生提出可以通过举例子来研究。本节课的设计意图就是要引导学生化繁为简，复杂问题简单化，通过一些特殊的例子（如，1、2、3）来研究，发现其中的规律，进而猜想，通过合情推理、演绎推理双管齐下，最终得出结论（模型），向学生渗透研究问题的一般路径。《探秘圆与正方形》效果分析本节课通过前面的问题探究，不仅得到了圆外大正方形、圆和圆内小正方形的面积之比是4：π：2这一模型，还感受到了这三个图形之间的变换关系，模型易得，关系、应用难懂，为了让学生感受掌握模型应用的灵活性，我们又设计了练习加以巩固。第1题：根据前面的研究，学生已经知道，只要知道圆的半径既能求出圆的面积又能求出外接正方方形的面积，但是老师继续追问：r2表示什么？引发更深入的思考，通过划辅助线分割，让给学生感受到r2表示小正方形的面积，已知r2可以想到小扇形的面积、大圆的面积、正方形的面积以及涂色部分的面积，引导学生多维思考，克服思维定式，并不是只有知道半径才能求出圆的面积，也并不是只有知道边长才能求出正方形的面积，而是圆与正方形之间还存在着一些密切的联系，通过这些他们之间可以互相转化应用，在变化中找到不变，发现联系，发展空间观念，感悟数学的美妙。第2题：我们通过创设生活化情景，巧妙地将“外方内圆，外圆内方”问题融入生活情境中，触发学生的认知，把生活问题数学化，激起学生解决问题的欲望，让学生联系生活，从数学的角度促发强烈的问题意识，并从中筛选出核心问题，让学生去探究。第3、4题：结合教材，追寻关联，凸显数学思考。“数学思考”是学生学习数学的主要载体。利用教材功能，优化与数学思考有关的内容。通过对问题的追寻，以认知建构的方式，让学生在问题与问题之间的区别与联系中，进行知识的重组、碰撞，不断思考着。张奠宙教授指出:“解决数学应用问题的本质是数学建模。”在建模过程中，教师要引导学生对所收集的数学信息进行阅读与理解，围绕着一两个有价值的核心问题去分析，让学生思考和讨论，动手实践，在互动交流中分析问题，说明理由，讲清思路，从而将数学实际问题抽象成数学模型，综合运用数学知识方法进行解释与应用，从而将实际问题转化为解题经验。《探秘圆与正方形》教材分析本节课是一节思维拓展课，分析教材，本节课的设计缘由有三：一是：源于对圆的面积教材的解读，我在教研圆的面积时，发现对于教材的这幅图，部分老师不清楚它的价值，仅停留在把圆分割转化成近似长方形这个点，其实从这节课可以看出，这幅图的意图并非在此，它实际提供的是一种研究方向和文化价值。二是：源于对难点的突破。特别是一些常见的与外方内圆和外圆内方相关联的题目。学生平时感觉无从下手，很难抓住题目中的关键信息或隐藏条件，所以本节课的设计就是让学生经历研究的过程，掌握圆与正方形的联系。三是：人教版六年级上册在学习了圆的面积后，也安排了一节探索正方形和圆形组合图形阴影部分面积问题解决，我们要汲取不同版本教材的营养。基于以上思考，本节课的目标定位是：知识与技能目标1.进一步了解圆的基本特征，巩固圆的面积公式，外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系。2.能够使用外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系，解决实际问题。过程与方法目标让学生经历解决问题的全过程，要求学生先自主解决问题；学生自主解决后再进行小组讨论，并以小组的方式进行汇报交流。情感态度价值观1.通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。2.体验生活中处处有数学，用数学的眼光看待生活中的数学问题。《探秘圆与正方形》评测练习1.右图中，r2表示什么？2.有一块300平方米的正方形地，要在里面修一个最大的圆形花坛，算一算花坛的面积多大？3.正方形的周长是16厘米(1)圆的面积是多少平方厘米？(2)图中阴影部分的面积是多少平方厘米？4.计算下面各图涂色部分的面积(单位：cm)。《探秘圆与正方形》课后反思本节课，对于许多老师来说，可能比较陌生，又有些看困惑。这是节什么课？研究价值何在以及为什么要上这节课？我这节课的定位是一节思维拓展课，也能与数学文化沾点边儿。本节课的设计源于对难点的突破，特别是一些常见的与外方内圆和外圆内方相关联的题目。所以本课设计重点：1、激发学生兴趣，学生主动探究。本节课中，首先引导学生积极思考、自主解决问题，提高学生学习探究的兴趣。主要分为3个大问题：。2、发展学生思维，提高语言表达能力。本节课中，我为了更好地锻炼学生的数学思维，并给他们锻炼提高自己语言表达能力的机会。小组交流后，进行汇报展示。这一环节给学生语言表达的机会，在小组汇报结束后其他小组可以继续补充，也给了其他人课堂发言的机会，同时锻炼的学生的语言表达能力。3、学生合作分享，课堂主体归于学生，教师属于引导角色。4、引导学生经历圆的内接正方形和外切正方形与圆之间的面积关系这一问题解决的全过程。从解决问题的基础上从特殊、举例中发现一般的数学规律，从回顾解题思路、验证解题结果、感悟一般规律三个方面培养学生回顾与反思的能力，形成用举例、猜想、验证、结论研究问题的一般经验，并构建模型。为了让学生感受掌握模型应用的灵活性，我又设计了练习加以巩固。5、渗透数学文化，提高学生的数学素养。最后渗透刘辉的割圆术以及圆周率的范围，为学生介绍中国数学文化的博大精深，增强学生的民族自豪感。古人云：天圆地方，天为圆，地为方。有天有地有乾坤。方圆之间有乾坤，作为一位数学老师，我们在研究问题时，眼中不仅要有知识，还要有育人价值。6、两个核心问题：（1）引导学生经历问题解决的全过程。根据信息提出问题一一分析问题一-解决问题一回顾与反思。（2）引导学生克服思维定式，多维思考。通过本节课的学习，学生经历提出问题、探究联系——解决问题、初建模型——回顾过程、体会方法——再建模型、感悟方法——应用模型、拓展思维的过程，体会知识的形成过程，并加以应用，建立模型思想。《探秘圆与正方形》课标分析新课标中指出：在设计学习活动时，要体现数学知识的形成过程。本节课的设计引导学生经历圆的内接正方形和外切正方形与圆之间的面积关系这一问题解决的全过程，从解决问题的基础上从特殊、举例中发现一般的数学规律，从回顾解题思路、验证解题结果、感悟一般规律三个方面培养学生回顾与反思的能力，形成用举例、猜想、验证、结论研究问题的一般经验。新课标要求：建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立表示数学问题中的数量关系和变化规律；求出结果并讨论结果的意义。本课伊始，从中国建筑造型入手，引出圆与正方形之间的关系？通过三个问题：问题1：在外方内圆中，圆的半径与正方形有什么联系？圆与外切正方形的面积比是多少？问题2：在外圆内方中，圆的半径与正方形有什么联系？圆与内接正方形的面积比是多少？问题3：当外方内圆与外圆内方相遇，又会发生