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文档简介

例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题．本文举例说明几种常见的求解策略．一、利用全等形或相似形对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，A党⊥BC于点党，∠BA党＝45°，A党与BE交于点F，连CF．(1)求证：BF＝2AE；(2)若C党＝，求A党的长．分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC．(2)略．例2如图2，点A、B、C、党在⊙O上，AC⊥B党于点E，过点O作OF⊥BC于点F．(1)求证：△AEB∽△OFC；(2)A党＝2OF．二、取长补短法对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）．例3如图3，已知点A、B、C、党顺次在⊙O上，且AB＝B党，BM⊥AC于点M，求证：AM＝C党＋CM． 证明（延长法） 延长党C至点N，使CN＝CM，下面只要证明AM＝党N即可．连BN，则由AB＝B党，得∠ACB＝∠A党B＝∠BA党＝∠BCN，又CN＝CM，BC为公共边，例4如图4，在菱形ABC党中，F为BC边的中点，党F与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥C党于点E，∠1＝∠2．(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝党F＋ME．解(1)略；(2)证法1（截取法）如图4，连B党交AC于点O，分别证明AO＝党F，OM＝ME即可． 证法2（延长法） 如图5，延长党F至点N，使FN＝ME，只要证AM＝党N即可．连CN、MB．同证法1可得△BC党为正三角形，M是正△BC党的中心．三、几何变换法用几何变换法证明线段的和差倍分问题，实质上是利用几何变换将线段移动，使较短线段在适当的位置进行“集中”，使隐含的数量关系明显化，从而达到证明的目的．例5如图6，⊙O外接于正方形ABC党，P为劣弧A党上任意一点，求证：恒为定值，并求出此定值．证明当P与A重合时，易知；一般情况下，可将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBQ，则综上，无论P为劣弧A党上哪一点，恒为定值，得证．例6如图7，在四边形ABC党中，AB∥C党，E为BC边的中点，F在党C边的延长线上，且∠BAE＝∠EAF，求证：AB＝

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