2023-2024学年广东省东莞市高一下学期2月月考质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年安徽省阜阳市高一下册第一次月考数学质量检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是()A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的倍 D.与不共线【正确答案】D由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确．由于＝，因此与是共线向量，故选D.2.如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点．若＝m，＝n，其中m，n为实数，则m＋n等于()A.1 B. C.2 D.3【正确答案】C如图，连接AO，由O为BC中点可得，＝(＋)＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则·＝()A. B.3 C.6 D.9【正确答案】B＝－＝2－，·＝·(2－)＝2·－·＝2||||cos∠OAE－||·||cos∠BAE＝2||2－||2＝||2＝2＝3.故选B.4.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－3b－4a|＝1，则|c|的取值范围为()A.[－1，＋1] B.[1，＋1] C.[5,6] D.[4,6]【正确答案】D令＝a，＝b，＝3b＋4a，＝c，根据题意作出图象，如图所示，则||＝5.又|c－3b－4a|＝1，所以点C在以点D为圆心，半径为1的圆上，易知点C与O，D共线时||取到最值，最大值为5＋1，最小值为5－1，所以|c|的取值范围为[4,6]．5.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于()A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1,2) D.(1,2)【正确答案】D为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3）＝(1,2)．6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为()A.2 B.3 C.4 D.8【正确答案】B由题意可知，v＝(1，2)，＝(3，6)，则|v|＝＝，||＝＝3，故所用时间t＝＝＝3.7.在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，则AC＝()A. B.5 C. D.6【正确答案】B在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，如图所示：由余弦定理得72＝AC2＋32－2·3·AC·cos，整理得AC2＋3·AC－40＝0，解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，所以AC＝5.8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()A.43 B.1+3 C.1 D.【正确答案】A由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及C=60°,得c2=a2+b2-ab,因为(a+b)2-c2=4,所以a2+b2-c2+2ab=4,得ab=43二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是()A.存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使(a＋b)∥aC.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b【正确答案】ABC只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB＝bcosA，a＝3.若点D在边BC上，且BD＝2DC，O是△ABC的外心，则下列判断正确的是()A.A＝30° B.△ABC的外接圆半径为C.OD＝1 D.AD的最大值为2【正确答案】BC对于A，在△ABC中，A，B，C为其内角，∵asinB＝bcosA，∴sinAsinB＝sinBcosA，又sinB>0，∴tanA＝，A＝60°，故选项A错误；对于B，∵a＝3，∴＝2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，故R＝，故选项B正确；对于C，取BC的中点M，连接OM，如图所示，在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝，由已知得BC＝3且BD＝2DC，故BD＝2，在Rt△DOM中，DM＝BD－BM＝，OD＝＝＝1，故选项C正确；对于D，∵AD≤AO＋OD＝R＋OD＝＋1，当且仅当圆心O在AD上时取等号，∴AD的最大值为＋1，故选项D错误．故选BC.11.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A.AC＝AD＋AB B.MC＝AC＋BCC.MN＝AD＋AB D.BC＝AD－AB【正确答案】ABDAC＝AD＋DC＝AD＋AB，A正确；MC＝MA＋AC＝BA＋AC＝(BC−AC)＋AC＝AC＋BC，B正确；MN＝MA＋AD＋DN＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，C错误；BC＝＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，D正确．12.如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以下哪个速度行驶，才能把物品递送到司机手中．()A.40 B.50 C.60 D.70【正确答案】CD设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.设∠MON＝α，由题意，知sinα＝QMOM＝，则cosα＝.由余弦定理，知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×.整理，得v2＝(500×1当1t＝，即t＝时，v＝3600，所以vmin＝60，即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，故选CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.若正三角形ABC按如图所示的方式放置，AB＝4，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．【正确答案】12设∠OAB＝θ，θ∈，则A(4cosθ，0)，C，所以·＝4cosθ·＝4cosθ(2cosθ＋2sinθ)＝8cos2θ＋8sinθcosθ＝4cos2θ＋4＋4sin2θ＝8sin＋4，θ∈，故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.14.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为.【正确答案】-1或3因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以ma-3b=λ[a+(2-m)b].又因为向量a,b是两个不共线的向量,所以m=λ且-3=λ(2-m),解得m=-1或m=3.15.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.【正确答案】∪由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).又2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6<0，得k<3，若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，此时2a－3b与c共线且反向，不合题意.综上，k的取值范围为∪.16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是________.【正确答案】因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理的推论得cosB＝＝＝，由B∈(0，π)，知B＝.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上．若＝＋λ，求实数λ的取值范围．【正确答案】解由题意知，DC＝AB－BCcos30°＝.∵＝＋λ，∴－＝λ，即＝λ，∴λ＝.又0≤||≤，||＝2，∴0≤λ≤.综上，实数λ的取值范围是.18.（12分）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.(1)用a，c表示向量；(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.【正确答案】解(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点，所以＝＝(c－a)，因为点E是BD的中点，所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.(2)设＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又＝a＋c，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.19.（12分）已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值.【正确答案】解(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝＝＝.(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝＝＝.20.（12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsinA=3acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【正确答案】解(1)∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB.∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=3,∵0<B<π,∴B=π3(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.由(1)知B=π3,∵b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12=∴a=3,c=23.21.（12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？【正确答案】解设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝900t2−600t+400故当