机器人学第五章(机器人的运动特性)

第五章机器人的运动特性5.1机器人的雅可比（jacobians）矩阵5.1.1雅可比雅可比是一个导数的多维形式。例如，假定我们有6个函数，每一个是6个独立变量的函数（5-1）我们也可以用矢量符号把这些方程写为：（5-2）现在如果要计算的作为的函数的微分，我们简单的应用复合微分定律来计算（5-3）它同样可以用矢量符号写得更简单些（5-4）（5-4）中的偏导数矩阵就是我们称为雅可比的J。注意如果方程式是非线性的，则偏导数为的函数。所以用下面的符号（5-5）把两边除以时间元素的微分，我们可以把雅可比看作为把X中的速度映射到Y中（5-6）在任一特定的瞬时，X具有一定的值，而为一线性变换，在每一个新的瞬时，X变了，因此这个线性变换也变了，雅可比是随时间变化而变化的线性变换。在机器人学的领域内，我们一般谈的是关于关节速度机械手端部速度间关系的雅可比。例如（5-7）其中，为操作机的关节角矢量，而为直角坐标速度矢量。在（5-7）中我们对雅可比加上了一个前上标，指明这个结果的直角坐标速度是表示在那个标架中。有时当这个标架是很明显的或者它并不重要，这个标注可以去掉。注意对于任何给定的操作机的构形，关节速度和端部速度之间的关系为线性的样子，这仅是一种瞬时关系，因为在下一瞬时，雅可比要稍微变化一点。对于普通的情况，雅可比为，为，这个直角坐标速度矢量是把线速度矢量和回转速度矢量放在一起。（5-8）对于2杆机械手的情况，我们可以写出一个雅可比，它表明关节速度对终端效应器速度的关系。从例5-1的结果我们可以很容易地确定2杆机械手的雅可比。这个雅可比写在标架{3}中为：（5-9）而这个雅可比写在标架{0}中为：（5-10）注意在两种情况中，我们都选择写一个方矩阵，它给出关节速度对终端效应器速度的关系。我们也可以考虑雅可比，它将把终端效应器的角速度也包括进去。考虑定义雅可比的（5-1）式到（5-5）式，我们看出雅可比也可以由直接对机构的运动学方程求导来求得。但是，尽管对于线速度这个是简单的，没有一个导数的的方位矢量。5.1.2奇异点已知我们有一个有关关节速度的直角坐标速度的线性变换，很合理的要问一个问题：这个矩阵是否可以求逆？也就是，它是不是非奇异的？如果这个矩阵不是非奇异的，则可以对它求逆来计算给定直角坐标速度的关节速度（5-11）这是一个重要的关系。例如，我们打算让机器人的手以一定的矢量速度在直角坐标空间运动。用（5-38）我们可以计算沿着轨迹的每个瞬时所需的关节速度。真正的可逆性问题是：雅可比是否对所有的值都可以求逆。如果否，在何处它不可以求逆？所有的操作机都有雅可比成为奇异的值。这些位置被称为机构的奇异点，或简称为奇异点。所有的操作机在它们的工作空间的边界处有奇异点，而大多数在它们的工作空间内有奇异点的轨迹。图5-1图5-12杆机械手例5-1何处是图5-1中的简单2杆机械手的奇异点？什么是这些奇异点的物理意义？它们是工作空间边界奇异点还是内奇异点？为了求一个机构的奇异点，我们必修考察其雅可比的行列式。在行列式等于零的地方，雅可比降秩，是奇异的。（5-12）显然，当为0或时机构有一个奇异点。从物理意义上说，当机械手伸直。在这种情况下，终端效应器的运动仅可能沿一个直角坐标方向（垂直与机械手的方向）。因此此机构失去了一个自由度。类似地当机械手完全折叠起来，手的运动也只能在一个直角坐标方向，而不是两个方向。这些奇异点都是工作空间边界奇异点，因为它们位于操作机的工作空间的边界上。把雅可比写在标架{0}中，或其他任何标架中，都将导致相同的结果。在机器人控制系统中应用（5-11）的危险在于，在奇异点处雅可比矩阵的逆崩溃了！这导致当接近这个奇异点时关节速度趋向无穷大。例5-2考虑我们的2杆机器人，如图5-1所示，它的终端效应器沿轴以1.0米/秒的速度运动。说明当远离奇异点时关节速度是合理的，但当接近一个奇异点时，关节速度趋向无限大。我们从计算写在{0}中的雅可比的逆开始。（5-13）然后对沿方向的1米/秒速度应用（5-13），我们可以计算作为操作机构形的函数的关节速度（5-14）显然，当机械手朝伸出去时，两个关节速度趋向无穷大。5.1.3静力域中的雅可比矩阵一、力矩和等效关节力矩现在我们可以将坐标架之间的力和力矩进行变换。在这一节中将解决把作用在坐标架上的力和力矩与等效关节力矩和力联系起来的问题。我们将再次运用作用在坐标架上的力和力矩所作的虚功与各关节上所作的虚功相等的方法。也就是（5-15）式中是广义关节力的列向量，广义关节力对于转动关节而言是力矩，对于移动关节而言是力。是关节虚位移的列向量，对于转动关节是转动，对于移动关节则是移动。于是对于斯坦福操作手，关节虚运动所作的虚功给出为（5-16）式中是关节力矩而是作用在移动关节3上的力。回到公式5-15如果操作手处于平衡状态，则所作的虚功为零而（5-17）将代入得到（5-18）这一公式与虚位移无关，于是或（5-19）这是一个重要的关系。也就是已知在坐标架中的作用力和力矩，公式5-19给出为了保持平衡而必须施加于操作手关节上的扭矩和力。如果操作手在作用力和力矩的方向上自由运动，则在公式5-19所确定的关节力矩和力作用下将会在手部得到设定的力和力矩的作用。进一步注意到，对任何自由度数的操作手，公式5-19都是成立的。例5-3斯坦福操作手处于如下的位姿它相应于在下述表5-1中给出的正弦和余弦的关节坐标表5-1操作手状态坐标数值正弦余弦雅可比矩阵给出为计算产生力和力矩所需的关节力和力矩。解：用公式5-19得到关节力矩和力为5.2机器人的奇异位形１引言奇异位形是串联机器人机构(见图5-2)的一个十分重要的运动学特性，机器人的运动受力、控制以及精度方面的性能都与此位形密切相关。对奇异位形的认识来源于６自由度机器人机构的速度公式：(5-20)其中为雅可比矩阵，为关节广义速度向量，为手部速度向量。对预定的手部运动可以求出所需控制的关节速度：(5-21)X0Xnd1X0Xnd1a1Z1Z2ZnZ0a2d2andn图5-2串联机器人的杆件坐标系２奇异位形判别式设为关节广义力，外力系作用于机器人手部，机器人静力平衡时满足平衡方程组：(5-22)式中：，奇异位形使机器人手部自由度减少这一事实，表明此位形对手部产生了某种约束，由理想约束的性质可知，机器人机构各关节的约束反力在手部的虚位移中不做功。由虚位移原理，与该约束力系平衡的外力系对上述位移的虚功之和为零，故有：(5-23)该方程即是：(5-24)将式(5-20)代入式(5-24)，并注意到，于是可得：(5-25)由式(5-22)、(5-25)可得：(5-26)由式(5-26)可见，方程组在奇异位形必有非零解。由式(5-22)、(5-25)、(5-26)可以看出。当雅可比矩阵为非奇异时，对于给定的非零向量，总有确定的关节广义驱动力向量与之对应，使机器人机构处于平衡状态，即是稳定的。当雅可比矩阵为奇异时，对于给定的非零向量，对应的关节广义驱动力向量为零，即机器人机构的力系平衡条件被破坏了，也就是此时机构的静力平衡不是由关节的广义驱动力来实现的，而是由关节的约束反力来实现的。对于串联机器人机构有如下的静力递推公式：(5-27)在此令：(5-28)将式(5-28)代入式(5-27)中，并由式(5-26)可以得到组方程，即个奇异位形判别条件。在利用静力递推公式(5-27)求解广义驱动力向量时，将广义坐标、关节杆长、关节偏距处理为符号量，将关节扭角处理为数值量。为了便于数字─符号处理，引入符号：(5-29)由数字—符号处理方法，通过数字─符号运算，我们可以的到数字─符号表示的奇异位形判别式。基于上述方法我们开发了机器人奇异位形判别式自动生成软件SARNS，只需输入机器人各构件关节扭角便可自动生成串联机器人机构的奇异位形判别式．图5-3工业机器人３图5-3工业机器人图5-3为工业机器人的机构简图，该机构的结构参数为：以下是奇异位形分析结果：(1)令，对应的奇异位形判别式经整理如下：由上式可得对应的奇异位形存在条件为：或或或或与该条件对应的奇异位形如图5-4a所示。由运动分析可得：在此奇异位形下机器人失去了沿Ｘ6轴方向的移动自由度。(2)令，求得的奇异位形结果与(1)相同．(3)令,对应的奇异位形判别式经整理如下:由上式可得对应的奇异位形存在条件为：或或与该条件对应的奇异位形如图5-4b所示。由运动分析可得：在此奇异位形下机器人失去了沿Ｚ6轴方向的移动自由度。(4)令，对应的奇异位形判别式经整理如下：由上式可得对应的奇异位形存在条件为：或或或即或(a)(b)(c)图5-4(a)(b)(c)图5-4机器人机构的奇异位形(5)令，求得的奇异位形结果与(4)相同．(6)令，对应的奇异位形判别式无解．以上三种奇异位形存在条件，对应的雅可比矩阵的行列式的值都为零，因此上述结论得以验证。４结论本文提出了一种新的机器人奇异位形判别式推导的数字─符号方法，该方法不需写出雅可比矩阵，而且推导过程全部由计算机完成。方法可适用于任意自由度带有移动关节和转动关节的机器人奇异位形分析。与现有方法相比，该方法简化了奇异位形的判别过程。并且在此基础上可以进一步发展成为机器人工作空间分析的数值—符号方法,该方法也可应用于并联机器人、变几何桁架机器人的奇异位形分析中。5.3机器人的工作空间1、概述机器人工作空间的研究可分为两类：(1)运动副转角或移动无限制的理想机械手(2)运动副转角或移动有限制的实际机械手。对于每一类机械手其工作空间分析的方法有两种：数值求解方法和代数求解方法。两种方法相比较，代数方法更精确更有效。在机器人工作空间的分析研究中，国内外学者做了不少有价值的研究工作。2、基本概念及定义机械手的可达工作空间是指将机械手手部当做一个点处理时，机械手在运动过程中，该手部参考点在空间中所能达到的全部点的集合形成的空间几何体。奇异曲面是指机械手的工作空间中手部参考点不能实现沿任意方向的微小移动或转动的点的集合形成的空间曲面。相应的机械手的每个位形称为奇异位形。奇异位形可分为位置奇异和姿态奇异。当机械手运动到奇异位置时，由于可实现的微小移动的方向受限，对于某些要实现的速度[]，相应的[]值中的某个关节或某几个关节的角速度值为无穷大，引起机械手失控。引起这种现象的原因有两种：一是矩阵[]的秩小于3。我们称这时机械手处于第一类奇异位置，相应的奇异曲面称为第一类奇异曲面。二是尽管矩阵[]的秩为3，但是由于某个或某些关节运动到了极限位置，机械手的空间自由度减少了，我们称这时机械手处于第二类奇异位置，相应的奇异曲面称为第二类奇异曲面。3、理想机械手的工作空间对于运动副转角无限制的理想机械手，其工作空间的边界曲面即为手部参考点的位置奇异曲面。工作空间的边界曲面方程为关节1和关节2关节转角的函数。其它n-2个关节转角可由上述的机械手奇异位置分析求出。5、实际机械手的工作空间对于图5-2所示的n自由度串联机器人，坐标系按照D-H原则建立，各参数如图5-2所示。令手部参考点P在基础坐标系中的位置向量为则可表示为n个广义坐标的函数：（5-30）式中：为n个运动副的广义坐标，若运动副i为转动副，则；若运动副i为移动副，则。而和分别为的最小极限值和最大极限值。由于工作空间的边界曲面即为机械手手部参考点的位置奇异曲面的最外层和最内层曲面，因此在此首先讨论实际机械手的奇异位置分析问题。实际机械手的奇异位置分析问题可分为两种情况：（１）所有n个广义坐标均未达到极限值．在该情况下，手部参考点的位置奇异曲面方程即为：（5-31）（２）n个广义坐标中有k个()广义坐标达到极限值．若有k个()广义坐标达到极限值，且当手部参考点P运动时，这k个广义坐标的运动趋势为超出转角或移动的限制区间之外的方向，那么这k个广义坐标在P点运动时，保持恒定值，而不能再作为变量，此时机械手将失去k个自由度．对该n-k个自由度的机械手进行奇异位置分析，由前述方法，可以求得n-k-2个关节的关节转角，于是机械手手部参考点P的位置奇异曲面方程可表示为剩下的两个关节转角（假定为i和j）的函数：（5-32）因为k可分别取0，1，2，...，ｎ－2，且每个广义坐标有两个极限值，因此奇异曲面方程的个数最多为：（5-33）工作空间的边界曲面应为全部位置奇异曲面的最外层与最内层曲面（如果有穴的话）。6、奇异曲面方程的自动生成机械手末端夹持器（参考点为P）相对于基础坐标系的位姿可表示为：（5-34）将构件i和j的广义坐标处理为符号量，将其它关节的广义坐标、各构件的扭角、各构件的杆长及各构件的偏距处理为数值量，为了便于数字─符号处理，引入符号：于是式（5-34）中的每一矩阵元素可表示为：（5-35）由前述的数值－符号处理方法，可以得到数值－符号表示的机械手手部参考点P相对于基础坐标系表示的位置，即机械手奇异曲面及工作空间界限面的曲面方程。基于上述方法我们开发了机器人工作空间分析软件WSARNS。该软件采用Delphi6.0编程，只需输入机器人的结构参数及关节转角范围便可自动生成机器人奇异曲面及工作空间边界曲面的曲面方程。7、数字实例Cincinnati_Milaecron6R机器人结构简图如图5-5所示．其结构参数如下：图5-5图5-5Cincinnati_Milarcron6R机器人机构图5-6工作空间边界曲面的截面曲线图运行我们开发的WSARNS软件，自动生成了其位置奇异曲面方程．并由此描绘出了其位置奇异曲面的截面曲线图（如图5-6所示）．该机器人工作空间的边界曲面方程列写如下：例如令关节3、4达到极限（），通过奇异位置分析得到任意，将处理为符号量，其它关节转角代入具体数值即可得到曲面方程6，其截面曲线如图5-6中6段所示。8、结论文中提出的根据位置分析的递推公式由计算机自动推导实际机器人工作空间边界曲面及位置奇异曲面曲面方程的方法与数值求解方法相比具有精度高、效率高的优点；与其它代数求解方法相比更加简明，而且直接面向计算机。5.4机器人的灵巧性分析前言图5-7服务球与服务区机器人机构的灵活性分析相当于一个空间闭链机构的可动性分析。由于结构尺寸、关节运动范围和机构的多种构形的影响，实用有限转动副操作手的灵活性分析是比较复杂的。Roth和Gupta，Kumax和Waldron以及Yang和Lai先后研究了操作手的灵活性问题，提出了一系列有用的新概念，讨论了具有球铰链手腕的理想操作手灵活工作空间的确定，给出了灵活工作空间的确定，给出了灵活工作空间存在的充分条件。朱建敏和许有恒将具有典型意义的常用机器人机构转化为在主平面（过基座关节轴J1与工作点P的平面）内的平面四杆机构，通过几何关系的分析定量表示了各运动副运动限制对工作角可变范围的影响。但以上方法均不便于机器人灵活性优化综合。因为大多数实用的有限转动副工业机器人的灵活工作空间不存在或很小。本文给出了灵活性分析的“优化边界搜索法”，可以方便地用于机器人工作空间灵活性优化综合。图5-7服务球与服务区如图5-7所示，点A为机器人可达工作空间内任一点，J6P=h为手部尺寸。以点A为中心，h为半径的球面称为机器人在点A的服务球，记作ss(A)[ServiceSphere]。机器人末杆参考点P到达工作点A时，服务球上关节J6所在的点称为服务点。服务球上所有服务点的集合称为在点A的服务区，记作SR(A)[ServiceRegion]。服务区的大小（面积）反映了机器人在工作点A作业的灵活度，记为A(SR)。当末杆J6P能绕点A全方位转动时，A(SR)达到最大值4πh2,于是可将A(SR)标准化并称为服务系数[ServiceCoefficient]。图5-8坐标系示意图(5-36)图5-8坐标系示意图二、灵活性分析的数学模型参看图5-8，在基础坐标系中表示的n自由度操作手的末杆位姿为(5-37)其中为广义关节变量，为的取值范围。为R副，；为P副，,且。是连杆坐标系i和i+1的变换矩阵(5-38)对于大多数实用操作手的手部形式，参考点P在末杆轴线上，，如图5-7所示，即机器人末杆轴线方位。设操作手末杆坐标系n+1原点为D，手部参考点P到D点距离即手部尺寸h。若给定P点位置，则D点轨迹即服务球上的服务区。由图5-7知，D点坐标为(5-39)其中，已知，末杆轴线方位由式(5-37)知(5-40)它满足约束条件(5-41)及，(5-42)确定式（5-40）表示的服务区边界，首先须判断球上任一点是否在边界线以内。建立优化搜索模型(5-43)目标函数（5-42）中的（xD,yD,zD）按式（5-39）计算，约束式（5-42b）即关节运动范围（5-42），（5-42c）即工作点约束式（5-41）。由于跟踪点T（xT,yT,zT）可变，令（5-43a）中。选用某种优化方法（由于同时有等式约束和不等式约束，可选混合罚函数法SUMT调用DEP）对以上模型进行优化计算，若结果是，点T在服务区边界内；若，点T在服务区边界外。三、灵活性分析的计算步骤对实用操作手，可假设服务区无内边界（空穴）。参看图5-9，求服务区边界线的“优化边界搜索法”的计算步骤如下：1）任取一点位于服务区边界以内，它可由一组满足约束式（5-41）（5-42）的关节变量按式（5-40）（5-39）得出，过可行初始目标点作截面与服务球相交所得圆的圆心，半径，点T的方位角。给定搜索的转角步长，则第1步搜索的目标点的坐标是（，，）。从出发以步长沿圆逆时针方向搜索到边界线以外。以边界内相邻两点和所连圆弧为一维搜索区间，用两分法求得第1个边界点。置。图5-9灵活性分析模型2）给定服务区截面为一系列平行于yz坐标面的平面，相邻截面间距为。从求出的第i个边界点沿x轴负向跨一步得一新出发点在过边界点的xz坐标面的平行面与服务球截交圆上。圆心，半径，于是点坐标为。判断是否在边界线内。若在边界线内，沿圆逆时针方向搜索，若在步内（一般取）跨出边界，转3）；否则转4）。若点在边界外，沿圆顺时针方向搜索，若在步内跨入边界，转3）；否则转4）。图5-9灵活性分析模型3）置i=i+1。以边界曲线内外相邻两点所连圆弧为一维搜索区间，用两分法求得第i个边界点。检验j值。若j=1转5