【工程力学期末复习】必考知识点

二、剪切〔一〕考试大纲剪切和挤压的有用计算；剪切面；挤压面；抗剪强度；挤压强度。考点主要内容要求：①生疏连接件与被连接件的受力分析；②准确判定剪切面与挤压面，把握剪切与挤压的有用计算；③准确理解切应力互等定理的意义，了解剪切胡克定律及其应用。剪切的概念及有用计算剪切的概念PPPPFPS图5-2-15-2-1所示。件轴线垂直的力作用。②变形特征：构件沿内力的分界面有发生相对错动的趋势。③剪切面：构件将发生相对错动的面。FS剪切有用计算名义切应力

或Q表示。假定切应力沿剪切面是均匀分布的。假设As

Fs

为剪力，则名义切应力为(5-2-1)许用切应力

sFAFsn。剪切条件剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力(5-2-2)挤压的概念

F sAs

①挤压：两构件相互接触的局部承压作用。②挤压面：两构件间相系接触的面。Fb

：承压接触面上的总压力。挤压有用计算名义挤压应力(5-2-3)

F bs Absbs式中：Abs

为名义挤压面面积。当挤压面为平面时，则名义挤压面面积等于实际5-2-2所示。dh2dh2hL图5-2-2键的名义挤压面面积A hLbs 2铆钉的名义挤压面面积为A dtbs许用挤压应力安全系数。挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力，即FA b Absbs

bs切应力互等定理剪切胡克定律纯剪切图5-2-3剪切引起的剪应变5-2-3图5-2-3②剪应变：在切应力作用下，单元为正，反之为负。切应力互等定理平面交线的切应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线〔5-2-，即剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与剪应变成正比，即GG为剪切弹性模量。对各向同性材料，E、G、间只有二个独立常数，它们之间的关系为G三、扭转

E1〔一〕考试大纲转的强度条件：扭转角计算及刚度条件。考点主要内容要求：①了解杆件产生扭转变形的受力特征与变形特征；②了解传动轴的外力偶矩计算，把握求扭矩和作扭矩图的方法；③把握横截面上切应力分布规律和切应力的计算；④把握圆截面极惯性矩、抗扭截面系数计算公式。扭转的概念扭转的力学模型5-3-1所示。MeMee图5-3-1扭转的力学模型相垂直的外力偶作用。发生相对转动。③扭转角：杆件任意两横截面间相对转动的角度。外力偶矩的计算轴所传递的功率、转速与外力偶矩间有如下关系：(5-3-1)(5-3-2)

Me9.55nrminMe7.02nrminN的单位为千瓦〔kW〕或公制马力〔PS

，1PS

735.5Nms；n的单位为转每分〔r/min，Mek·m。扭矩和扭矩图称为扭矩，用T5-3-2，其值用截面法求得。②扭矩符号：扭矩T的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，当矢量的指向与截面外向的指向全都时，扭矩为正，反之为负。③扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。圆杆扭转时的切应力及强度条件横截面上的切应力切应力分布规律5-3-3。M memMeMeeT外法线T外法线Me图5-3-2

TMeMe

TT切应力计算公式横截面上距圆心为的任一点的切应力

T IP(5-3-3)横截面上的最大切应力发生在横截面周边各点处其值为max

TRTI p t

(5-3-4)切应力计算公式的争论①公式适用于线弹性范围〔max≤圆直杆。T为所求截面上的扭矩。③称为极惯性矩，Ｗp

称为抗扭截面系数，其值与截面尺寸有关。d dddDD(b)图5.3-4d4

d3(5-3-5)

I ，W P 32 t 16〔5-3-4(b)〕(5-3-6)其中：d。D

D4I P 32

14

D3Wt 16

14圆杆扭转时的强度条件强度条件：圆杆扭转时横截面上的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即max

max TWT

p(5-3-7)的计算。圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件单位长度扭转角d T(5-3-8)式中：的单位为radm扭转角

dx GI T dxGI

PradL p(5-3-9)式中：的单位为radLＬT、G、IP均为常量，则TLGIP(5-3-10)公式适用于线弹性范围，小变形下的等直圆杆。GI 表示圆杆抵抗扭转弹性P变形的力量称为抗扭刚度。圆杆扭转时的刚度条件刚度条件：圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超赤规定的许可值，即max

TmaxMGIMp

180

m问题的计算。〔三〕例题分析例题1：某传动轴，承受M 2.0KNm外力偶作用，轴材料的许用切应力为e60MPad0.8的D，内径为d

，确定轴的截面尺寸，并确定其重量比。1〔A〕d51.9mm D71.9mm d1

49.52mm

G＝0.3G实〔B〕d41.9mm D61.9mm d1

39.52mm

GG实d50mm D70mm d1

56mm

G G实〔D〕d51.9mm D61.9mm d1

49.52mm

GG实〕解析：1〕横截面为实心圆截面．设轴的直径为d，则TTWp16

Me所以有16M316M3e162.21033 80106

51.9103

51.9mmD，得D3W p

1416

Me所以有3 16M1 e4163 16M1 e4162.210330.8480截面面积之比，利用以上计算结果得：4G A4＝＝

D2d211

61.9249.5220.54实 G A 4实

52212：某传动轴，转速n=300r/min转/分1P1

=5023kW234P=10kW，P=P4=20kW。23试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。假设将轮1与论3PPP1PPP1321348008008002解：(1)计算各传动轮传递的外力偶矩；PM9550 11591.7Nm M1 n 2

318.3Nm M M3 4

636.7Nm画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；1273.636.(+)1273.636.(+)(-)x318.3Tmax

1273.4kNmT(Nm)(-)

636.(+)xTmax

955kNm

636.7

955所以对轴的受力有利。例题3：图示受扭圆杆，沿平面ABCD截取下半局部为争论对象，如图b所示。ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？ABCD上的切向内力分布及其大小。该bABCD上切向内力的合力偶矩平衡。解：1、计算长为lABCD上切向内力的合力偶矩。如图c所示，在纵截面上取一微面积dAld，其上切向内力的合力即dF ldTlds IP微剪力对z轴的微力矩为TdM dFz s

ld Ip

2ld积分得到纵截面上切向内力对z轴的合力偶矩为M dM

2R

2ld

2TlR3

，方向竖直向上。z z 0I 3Ip p2、计算两端横截面切向内力的水平重量形成的力偶矩如图d所示，微面积dAdd上切向内力的水平重量为dFddsin

T2sinddIp右端横截面上剪力的水平重量为2TF2RT2sin2 R32Ts 0 0I 3Ip p左右两个横截面上水平剪力形成绕z轴的力偶矩为2TFls 3Ip

lR3，竖直向下。所以，截面ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。4D=60mmd=50mm，功率P=7.46kW，n=180r/mil=40G=80GP[]=40MPa。设土壤对(2)作钻杆的扭矩图，并进展强度校核；(3)A、B两截面的相对扭转角。在钻杆上，并沿钻杆长度方向均匀分布。1M设钻机输出的功率完全用于抑制土壤阻力，则有Prmin

7.46180

390Nm单位长度阻力矩 MT3909.75Nmml 402、作扭矩图，进展强度校核AA截面为危急截面。其上最大切应力为T D2max 390Nm30103T D2max

max I

P 6045041012m432满足强度要求。3A、B两截面的相对扭转角AB lMdx

Txldx T lAB 0GI 0GI GI 2p p p 32390Nm40 80109Pa6045041012m420.148rad8.485：直径d25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的0.113mmMe0.2kNm时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732E,G和。EL

FL FL N E EA LA60103200103E 216GPa2520.113 4 109②计算切变模量Ｇ， Ml

Ml 180由公式

e radGIp

e GI p

，求得Ml 180 0.2103200103 180Ge 81.6109Pa81.6GPaIp③由公式G

E

0.732320.02544计算泊松比 E

1

216109

10.3242G 281.6109例题6：图示圆轴，MA

1.4kNm，MB

0.6kNm，MC

0.8kNm；d40mm，d1

70mm；l1

0.2m，l2

0.4m；60MPa，1m，G80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。解：①计算扭矩并作扭矩图T MBC c

0.8kNmT MAB B

0.6kNm其扭矩见图。②计算切应力和强度校核力发生在哪一段截面上，需分别计算两段截面上最大切应力值。AB段1

T 1Wt1

16MB B600

47.7MPa401033BC段T 16M 2 2 Wt2

Cd32 16800 11.9MPa(70103)3满足强度要求。③刚度校核进展刚度校核时，需计算最大单位扭转角1

T 180 32600 1801.71/m1GI 801094041012 1P12T 180 32800 1800.24/m22 GI P2

801097041012 1.71/mmax 1此轴不满足刚度条件。⑤计算两端面的相对扭转角AB、BC段上的扭矩和截面各自不变，要分别计算两段的相对扭转角，然后相加； CB 2 1

Tl 22GIP2

Tl 11GIP132 Tl Tl (22 11)G d4 d42 1 32 (8000.46000.2)

180CB 801090.245

704

404

1012 分析与争论：角，然后从强度和刚度分别考虑，才能保证轴安全正常工作。扭转角的正、负号，可由该段扭矩的正、负表示。考虑。7：图示圆截面轴，ABBCd1d2，且d1=4d2/3，材料的切变模量GM=1kNm，许用切应力[τ]=80MPa，单位长度的许用扭转角[θ]=0.50/m，试确定轴径；C的转角；d 1假设将BC段设计为空心的，内外径之比 ，则BC段实心与空心D 2的用材量之比为多少？AlBAlBlC解：(1)确定轴径①考虑轴的强度条件；1AB 2M 1AB

21103161

80106

d 116 11M 1103161 BCBC

2

80106

d 39.9mm216 2②考虑轴的刚度条件； AB

180

210332 1800.5

d 73.5mmAB GIABT

180

80109d4 11 110332 180 BCBC GIBC

0.580109d4 2

d 61.8mm2综合轴的强度和刚度条件，确定轴的直径；d 73.5mm1d 61.8mm2d4d 31 2d 82.4mm1d 61.8mm2(2)C的转角①画轴的扭矩图；2M2MM(+)x②求最大切应力；ABmax

AB 2MTW 1T

18.22MPapAB 16 1 BC 21.59MPaBCmax

WPBC

16 2

2比较得

21.59MPamaxC截面的转角； C AB BC

T lABGIpAB

T lBCGIpBC2Ml Ml 16.6Ml 1

1.42106radGd4G G 32 1 32 2〔3〕BC段设计为空心的，内外径之比d1BC段截面尺寸D 2①考虑轴的强度条件； M 1 BC 116

D314

8010D314

D40.8mm②考虑轴的刚度条件； TBC

180

1103

D62.83mmBC GI BC

80109D4

14 D62.83mmd31.41mmBC实心与空心的用材量之比轴的材料、长度一样，则质量比等于轴的横截面面积之比4Q4BC＝QBC实

D2d2d2

0.784 2分析与争论：分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。惯性矩愈大，从而提高了轴的搞扭强度和刚度。求等因素。五、弯曲〔一〕考试大纲积分法、叠加法。考点主要内容要求：弯曲内力①了解平面弯曲的概念，生疏具有纵对称面的梁产生平面弯曲的条件；②娴熟梁内剪力，弯矩的正负号规定；③娴熟把握用截面法求指定截面的剪力、弯矩；依据这些方程作图；的正确性。弯曲应力①了解中性轴的概念及其在截面上的位置；适用条件；〔圆形，矩形〕的轴惯性矩、抗弯截面的计算公式；生疏中性轴为截面对称轴或非对称轴时的正应力强度条件；④生疏常见截面切应力的分布规律及切应力计算公式；弯曲变形①生疏列出梁挠曲线近似微分方程的步骤；②用积分法求解潍的位移时，能正确写出梁的边界条件和连续条件；③利用梁在简洁荷载下的变形结果，会用叠加法求梁的位移。弯曲内力平面弯曲的概念弯曲变形是杆件的根本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。弯曲变形特征任意两横截面绕垂直杆轴线的轴作相对转动，同时杆的轴线也弯成曲线。平面弯曲〔外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面〔轴线弯曲后所在平面〕5-5-1所示。图5-5-1图5-5-1〔横向力或外力偶都作用在此纵对称面内。〔即横向力必需通过横截面的弯曲中心并在与梁的形心主惯性平面平行的平面内。梁横截面上的内力重量——剪力与弯矩剪力与弯矩F表示。s②弯矩：梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以M表示。③剪力与弯矩的符号：考虑梁微段dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相5-5-2(b)所示。pmAmBpmAmBFSS SFSFSMFSMRMMAMFS(a)RB图5-5-2

(b)由截面法可知以下两点。〔或右侧面方向的投影代数和；且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪5-5-2(a)。F Rs i左〔右〕②横截面上的弯矩，其数值等于该截面左侧〔或右侧〕梁上全部外力对该截5-5-2(a)所示。M MCi左〔右〕剪力方程与弯矩方程方程，表示为F Fs s

x方程，表示为MMx剪力图与弯矩图荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用qFs

、M间的微分关系设荷载集度q(x)为截面位置x(5-5-1)

F

x

dF sdx

qxdx s(5-5-2)F

x s qx(5-5-3)

dx2 dx应用5-5-1和式5-5-2说明剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点处的荷载集度，弯矩图上某点的切线斜率等于梁上相应截面上的剪力。由式5-5-3的几何意义可依据M(x)对xM(x)图的凸凹q(x)>0Mq(x)<0Mq(x)＝0M图为直线。5-5-1可得(5-5-4)

dFxqxdxA s A

F F SB SA AB即截面B上的剪力与截面A上的剪力之差等于梁上AB间荷载集度q(x)图的面积，但两截面之间必需无集中外力作用。5-5-2可得BdMxBFxdxA A sM M B A AB(5-5-5)AB间剪力图的面积，但两截面之间必需无集中力偶作用。5-5-15-5-2，依据梁上的荷载集度，判定剪力、弯矩图5-5-45-5-5Fs

Ri左〔右〕

MCi左〔右〕确定掌握截面的剪力、弯矩值，即可绘制剪力、弯矩图。特别截面上的剪力、弯矩值Fs

图有突变，M图形成尖角。突变值等于集中力的大小，突变方向与集中力作用方向全都。Fs

M图有突变。其突变值等于该力偶则向正方向突变，否则反之。5-5-1，以供参考。表5-5-1 几种荷载下剪力图与弯矩图的特征力的状况向下的均布荷q无荷载集中力PC集中力偶Me向下方倾斜的剪力图上的特 直线征 或般为或处有突变在C处无变化CPC征物线或一般为斜直线C处有尖角C处有突变或CMe截面F0的截s面在剪力变号的在紧靠C点的截面 某一侧的截面弯曲正应力弯曲正应力和正应力强度条件纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。中性层与中性轴①中性层：杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。②中性轴：中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。面形心，且垂直于荷载作用平面。〔关系为1M EIz为变形后中性层〔或杆轴〕的曲率半径；EI为杆的抗弯刚度，轴z为z横截面的中性轴。平面弯曲杆件横截面上的正应力zzbhhxy图5-5-35-5-3。②计算公式：任 一 点 应 力

MyI(5-5-7)最 大 应 力(5-5-8)

max

MyIz

zMmax Wz式中：M为所求截面的弯矩；Iz截面对中性轴的惯性矩；Wz为抗弯截面系数。IW z ，它是一个只与横截面的开关和尺寸有关的几何量。对于矩形截z ymaxI bh3,yz 12

max

h,W2

bh26〔5-5-4〔b〕d4 d d3I z 64

,ymax

,W 2 z 32dczdczyhzy(a)

图5-5-4

争论：①公式适用于线弹性范围且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等的状况。由于切应力在存在，横截面发生翘曲，但准确争论指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比Lh5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。梁的正应力强度条件强度条件：梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即max

W(5-5-9)到满足。

c,min

t

c

z时，梁的拉伸与压缩强度均就得弯曲切应力和切应力强度条件矩形截面梁的切应力〔5-5-。①计算公式F* sSzF*bIz(5-5-10)Fs为横截面上的剪力；b为横截面的宽度；Iz为整个横截面对中性轴的惯S*y处横线一侧的局部截面对中性轴的静矩。z②最大切应力：发生在中性轴处zbQzbQyhy图5-5-5ss 3F 3Fss(5-5-11)其它常用截面图形的最大切应力

max 2bh 2AF工 字 形 截 F

s

S*zmax(5-5-12)式中：dIz

S*

Idz可查型钢表。圆(5-5-13)环(5-5-14)

形 截 面 形 截 面

4Fsmax 3A1Fsmax 2A最大切应力均发生在中性轴上。切应力强度条件

F S* smax zmaxIbz(5-5-15)F

smax

S*zmax

为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴处的宽度；Iz为整个横截