傅里叶变换光学课件

第七章傅立叶变换光学与全息照相衍射系统的屏函数夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析阿贝成像原理相衬显微镜全息照相12变换光学处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，它们的作用都可以应用变换的方法处理。7.1

衍射系统的屏函数3能使波前的复振

幅发生改变的物，统称为衍射屏。衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间，后场为衍射空间。波在衍射屏的前后表面处的复振幅或波前函数分别称为入射场、透射场（或反射场），接收屏上的复振幅为接收场。入射场透射或反射场接收场45衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或反射场）。用函数表示，就是衍射屏的透过率或反射率函数，统称屏函数。衍射屏函数屏函数的模。模为常数的衍射屏称为相位型的，如透镜、棱镜等。屏函数的幅角即相位。幅角为常数的衍射屏称为振幅型的，如单缝、圆孔等。67相因子判断法知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完全确定屏函数几乎是不可能的。采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。一般都是在傍轴近似下进行判断。平面波前（x,y）上的相因子平面波轴上物点发散球面波轴上物点汇聚球面波8轴外汇聚和发散球面波9以原点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相位因子以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相位因子10位相延迟以原点相位为0，xoy平面上点（x，y）的位相因子以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相位因子11透镜的相位变换函数（透过率函数）透镜的有效口径为D。忽略透镜的吸收透镜前后12透镜的透射屏函数傍轴近似，入射波前、出射波前取平面透镜中光波平行于光轴13从图上可以求得光波经透镜后的相位差傍轴条件下注意红线是r114与空气比较，图中任意位置透镜的相位变换函数（屏函数）相因子15透镜的波面变换汇聚到轴上F(sinθ1,sinθ2,1)处的球面波汇聚到轴上F处的球面波焦距f＝F16透镜对球面波的变换汇聚球面波Gauss

公式17球心棱镜的相位变换函数（透过率函数）薄的楔形棱镜，可以得到棱镜中心处的厚度二维情况下187.2

夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析1．空间频率的概念在空间上也可以定义周期和频率，空间f

=1/周期

d

的倒数就是空间频率，即有称为空间频率。2．正弦光栅的傅立叶变换平行光正入射19透射波实际上变为三列波不用做积分就有3项，主要特性就有了！！200级波，方向+1级波，方向-1级波，方向21傅里叶变换周期性函数的傅立叶变换周期为d的函数t（x）＝t（x＋d），可以用傅立叶级数表示为其中22周期性屏函数的傅里叶级数展开周期性屏函数屏函数的空间频率1、正弦余弦展开式基频23n倍频2、余弦相移展开式243、复指数展开式25一维周期性衍射屏的傅里叶展开260级波

n级波n级波的方向平面波，相位光栅方程单缝衍射因子27如果平面波入射28非周期性函数的傅立叶展开非周期性函数t(x)定义域为(-L/2,L/2)将(-L/2,L/2)间的函数复制，则成为周期函数对复制后的函数，可以作傅立叶展开29对于非周期性函数g(x)，可视作周期为∞周期性函数这时，上述求和变为积分，傅里叶级数变为傅里叶积分307.3

阿贝成像原理对于衍射屏，可以用Fourier变换将其展开为Fourier级数或Fourier积分d：衍射屏的（空间）周期

f：衍射屏的（空间）频率基频31以简单的平面波入射，透射波为可以用屏函数表示衍射波（透射波）n级平面波n级平面波的复振幅Fourier

频谱的方向32阿贝对成像过程的理解一、可以从几何光学的角度，即光线的折射来说明成像过程二、也可以从Fraunhofer衍射的角度，即对波前的变换来说明成像的过程以正弦光栅的成像说明阿贝成像原理33第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源，发出的次波在像平面上相干叠加Imageplanenot

focal

plane34像平面的光波是三个衍射斑发出光波的相干叠加三个衍射斑（点光源）发出的光波在像平面上的复振幅周上物点轴外物点Originalphase35考虑光栅的有限宽度D，后场便是三列孔径受限的平面衍射波余弦信息（余弦光栅），是二维空间信息或图像的基本成分故衍射斑都有一定的半角宽度矩形波、三角波等，都可由不同频率简谐波迭加而成如果余弦光栅任意取向平面衍射波的角方位与空间频率的对应关系傅里叶基元3637傅里叶光学的基本思想数学上可以将一个复杂的周期函数作傅里叶级数展开，这一点在光学中体现为，一个复杂的图像可以被分解为一系列不同空间频率的单频信息的合成。即，一个复杂的图像可以被看作一系列不同频率、不同取向的余弦光栅之和。为了将这种傅里叶分解在物理上付诸实现，必须找到相应的物理途径---物理效应、物理元件或物理装置。38余弦光栅的衍射特征表明，当单色光入射于二维图像上，通过夫琅和费衍射，使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域彼此交织，到了远场区域彼此分离，从而达到分频的目的常见的远场分频装置是利用透镜，将不同方向的平面衍射波会聚于后焦面ℑ的不同位置上，形成一个个衍射斑；衍射斑位置与图像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息。频率越高的成分衍射角越大各衍射斑的强度正比于对应频率傅里叶系数的平方39后焦面就是输入图像的傅里叶频谱面，简称傅氏面，因此那些夫琅和费衍射斑，也常称为频斑。可见，夫琅和费衍射装置就是一个图像的空间频谱分析器。这就是现代光学对经典光学中夫琅和费衍射的一个重新评价---夫琅和费衍射实现了屏函数的傅里叶变换。总之，在夫琅和费衍射系统中，输入图像的傅里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面上。40傅里叶光学的基本思想和基本内容，可概括为两条：对图像产生的复杂波前的傅里叶分析，这意味着将其复杂的衍射场分解为一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，故傅里叶光学就是一种平面波衍射理论。特定方向的平面衍射波，作为一种载波，携带着特定空间频率的光学信息，并将其集中于夫琅和费衍射场的相应位置上，实现了分频。分频，从而为选频即空间滤波开辟了可行的技术途径，---故傅里叶光学也是一种关于空间滤波和光学信息处理技术的理论基础阿贝正弦条件41物光波是正弦光栅的屏函数设物平面B点的位相为0衍射斑4243物像间等光程44像光波物光波像平面光波与物平面光波是相似的，即两者是物像关系空间频率：f→f/V，表示像的几何放大或缩小。像质的反衬度：交流部分与直流部分的比值。反衬度不变45空间滤波空间频率与波的衍射角相关，可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置衍射屏或物的空间频率低通高通带通46低通高通带通47阿贝（1874）—波特（1906）空间滤波实验以黑白光栅为物，单色平行光照射在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化像平面48傅氏面黑白光栅可调光阑傅氏面黑白光栅傅里叶频谱49只让0级，即直流成分通过，则像平面被0级斑发出的球面波照明。50近轴条件下，被均匀照明像平面让0级和±1级通过，则像平面上是0和±1三个衍射斑发出的次波的相干叠加像平面51振动（电场强度）分布让0级、±1和±2级通过，则像平面上是5个衍射斑发出的次波的相干叠加52像平面振动（电场强度）分布除0级外，全开放像平面振动（电场强度）分布534F系统54物平面O，变换平面T，像平面I：OTI系统1.网格实验频谱像(a)(b)(c)(d)像面焦平面谱面55空间频率滤波举例

若只让焦平面上的亮点透过

在象平面上出现清洁的光栅图形--其它图形滤掉。

若挡住焦平面上的亮点

在象平面上出现消除了光栅线条的图形。5657空间滤波（spatial

filtering）放在频谱面上的遮光屏实际上起了选频的作用，为空间滤波器。空间滤波器是光学信息处理的一种基本方式。若遮光屏只在中央有个圆孔，则它能允许低频信息通过，为低通滤波器。若遮光屏只是一个较小的不透光圆屏，则高频的光信号从周围通过，为高通滤波器。滤波法对图像进行清晰化处理58图像的处理59白蓝绿红

蓝绿红蓝绿红0级

1级光缝θ2.θ调制(

modulation)用白光照射物体，在输出平面上得到彩色图象，这种彩色图象是对不同角度 的光栅产生的光学信息选择的结果。又称分光调制。60(a)(b)(c)(d)红蓝黄蓝红黄红黄蓝彩色光栅的θ调制61花花底底叶叶红

绿

蓝蓝

绿

红绿红红绿白θ调制花白

底

白叶白蓝绿红

蓝绿红蓝绿红0级1级光缝x6263相衬显微镜很薄的透明样品，例如生物切片，对光的

吸收很小，因而不同的部分反差较小，在

显微镜下观察，不容易分辨细节。这类样

品，不会引起透射光振幅的改变，所以不

是振幅型的；但由于各处折射率并不相同，因而透射光的相位会有改变，是相位型的。针对这一特点，可以通过相移的方式增大图像的反衬度。相移的原理样品的屏函数为即在样品平面处，相位因子各不相同平面光照射样品，物平面发出的物光波为衍射后在傅里叶面上形成一系列衍射斑在傅里叶面上0级斑处加一滴液体，使直流成分产生一个附加的相位δ，即产生相移。64光强与样品的相位分布有关65生物切片，样品很薄，因而相衬显微术像的反衬度取决于反衬度最大66Condenser

annulusObject

planePhase

platePrimary

image

plane上皮细胞的相衬显微像67Frits

(Frederik)

Zernike

(1888~1966)6869全息照相物发出光波，在波场中任意一个波前上都有一个特定的复振幅分布。对于观察点（场点）而言，接收到的振动既可以认为是来自于物，也可以认为是来自于上述波前。如果将上述波前的复振幅记录，并再现，则对于场点而言，相当于物发出的光波。相当于物再现。波前的记录与再现物波前Σ70全息照相的过程与原理1.记录过程物光波UO与参考光波UR是相干的在记录介质上（即波前上）相干叠加分束板物光波物参考光波记录介质光强分布复振幅分布712.感光介质的线性冲洗经过线性的显影定影处理，介质的透过率函数与记录过程中的光强函数是线性关系这样就得到一张图片，称作全息图。是物光波与参考光波的干涉条纹分布的照片。72全息图Photographofahologram

infront

ofadiffuselightbackground–8×8mm733.物光波的再现用具有相干性的照明光波UR´照射全息图。透射光为U2＝AR´eiφR´参考波、照明波都是简单入射光波740级＋1级－1级分束板相干光虚像照明光波实像+1级0级-1级全息图75单色反射全息图76Dennis

Gabor（1900～1979）77激光全息照片的拍摄7879全息照相的特点(1)

用特定的单色光照射时，能在特定的方向和范围内再现物光束。(2)

全息照片的每一部分都记录了整个物体各部分的全部信息。(3)

全息照片无正负之分，黑白相反时观察效果相同。全息照片易于复制。(4)

一张全息照片可分别记录几个物光波，可储存信息量比普通照片多。(5)

一张全息照片可对同一物体用同一参考光束进行两次曝光,显示其中