2019-2020学年福建省泉州市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

试卷第=page22页，总=sectionpages44页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat6页2019-2020学年福建省泉州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可．【详解】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选：．【点睛】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的几何意义求出点的坐标是解决本题的关键．属于基础题．2．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由此能求出结果．【详解】解：，．故选：．【点睛】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．3．已知向量，，若，则（）A． B． C．6 D．【答案】B【解析】利用向量共线的坐标表示即可求得的值.【详解】因为，所以，解得：故选：【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.4．要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【解析】把变形为，由自变量的变化得答案．【详解】解：，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位．故选：．【点睛】本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于中档题．5．如图是2020年1月23日至2月13日我国新冠肺炎疫情的数据走势图（其中1月23日-2月5日，重症率=现有重症/累计确诊；2月6日开始公布现有确诊数，重症率=现有重症/现有确诊）.若以图中所示方法界定月份，则下列说法错误的是（）A．2月份的重症率明显下降 B．2月11日的治愈率约为死亡率的4.3倍C．2月1日后治愈率超过死亡率 D．2月以来，新冠肺炎的治愈率总体上呈上升趋势【答案】A【解析】根据图象逐一进行分析即可【详解】解：由图可得，2月份重症率有增有减，故错误；2月11日的治愈率与死亡率之比约为，故正确；2月1日后治愈率超过死亡率，故正确；2月以来，治愈率总体上呈上升趋势，故正确；故选：．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，数形结合思想，属于基础题．6．甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为，，则恰有一人答对的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用概率的加法公式和概率的乘法公式即可求解.【详解】由题意知：甲、乙两人答题是相互独立事件，记“甲答对”为事件，“乙答对”为事件，“恰有一人答对”为事件，则，,所以，故选：B【点睛】本题主要考查了事件关系与事件运算，概率的乘法公式和加法公式，属于基础题.7．平行四边形中，，，，是线段的中点，则（）A．0 B．2 C．4 D．【答案】C【解析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．【详解】解：如图，根据题意：，，且，，，．故选：．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺“葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”.意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？（）（注：1丈=10尺）A．21尺 B．23尺 C．27尺 D．29尺【答案】D【解析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长（尺，因此葛藤长（尺，故选：．【点睛】本题考查了几何体展开图最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．9．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则的形状是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】先由正弦定理和已知得到，再由代入得到即可判断三角形形状.【详解】由及正弦定理，得，即由余弦定理得因为，所以，又因为，代入得，即，所以，所以是等边三角形.故选：A.【点睛】本题考查解三角形的基本知识和正弦定理、余弦定理的应用；考查运算求解能力、推理论证能力.10．图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A．36颗 B．42颗 C．48颗 D．54颗【答案】C【解析】由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案．【详解】解：作出在轴截面图如图，由题意，，，，设，则，即．则最大放入珍珠的体积．一颗珍珠的体积是．由．最多可以放入珍珠48颗．故选：．【点睛】本题考查圆锥与球体积的求法，正确理解题意是关键，属于中档题．二、多选题11．某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（）A．平均数为3，极差是3 B．中位数是3，极差是3C．平均数为3，方差是0.8 D．中位数是3，方差是0.56【答案】BCD【解析】由题知，前四轮投中的个数总和为13，从选项看，分两大类讨论：①平均数为3，则第五轮投中2个，再根据极差和方差的计算公式求解后，即可判断选项A和C；②中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，然后分4种情况，逐一计算极差和方差，从而判断选项B和D．【详解】2+3+4+4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4﹣2＝2，方差为，即选项A错误，C正确；②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，极差为4，方差为当投中的个数为1时，极差为3，方差为；当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；当投中的个数为3时，极差为2，方差为即选项B和D均正确．故选：BCD．【点睛】此题为基础题，考查统计中相关概念.12．如图菱形中，，，是的中点，将沿直线翻折至的位置后，连接，.若是的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有（）A．异面直线与所成的角不断变大B．二面角的平面角恒为C．点到平面的距离恒为D．当在平面的投影为点时，直线与平面所成角最大【答案】CD【解析】由，可知或其补角即是与所成的角，可判断选项，二面角的平面角不是定值，可判断选项，到平面的距离是到平面的距离的一半，平面，等于到平面的距离的一半，可判断选项，找出点位置，以及与平面所成角，即可判断选项.【详解】因为，可知或其补角即是异面直线与所成的角，在翻折的过程中，异面直线与所成的角是先增大后减小，所以选项不正确；二面角的平面角不是定值，所以选项不正确；因为是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，因为，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离的等于到平面的距离，又因为，，，所以平面，易知，所以点到平面的距离为，即点到平面的距离恒为，所以选项正确；因为平面，平面，所以平面平面，平面平面，在平面中，作，垂足为，则平面，直线与平面所成角为，因为，当且仅当在平面的投影为点时，取到等号，此时直线与平面所成角最大，所以选项正确.故选：【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角，线面角、二面角的大小以及空间中点到面的距离，属于中档题.三、填空题13．若复数，则_________.【答案】【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为5000，4000，3000.现采用分层抽样的方法调查该地区中小学的“智慧阅读”情况在抽取的样本中，若初中学生人数为80，则高中学生人数应为________.【答案】60【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【详解】解：设高中学生人数为，由题意可得，，解可得，．故答案为：60【点睛】本题主要考查了分层抽样的简单应用，属于基础题．15．已知，则_____【答案】【解析】化简得，利用周期即可求出答案．【详解】解：，∴函数的最小正周期为6，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．16．已知，，动点满足.当取到最小值_________时，的最大值为________.【答案】.【解析】建系转化为直线与圆的位置关系可得解.【详解】，，即，以为原点，所在的直线为轴，的垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设所在的直线方程为，的坐标为，由平面向量数量积的坐标运算可得，故当时，取得最小值；设点的坐标为，由，得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；故的最大值为故答案为：．【点睛】数形结合：化向量等式为代数方程，再由方程表达的形“圆”及点，找到新的形与形的关系.这是一道典型的数形结合题.四、解答题17．为研究某植物园中某类植物的高度，随机抽取了高度在（单位：）的50株植物，得到其高度的频率分布直方图（如图所示）.（1）求的值；（2）若园内有该植物1000株，试根据直方图信息估计高度在的植物数量.【答案】(1)；(2)280.【解析】频率分布直方图中矩形面积和为1可得的值；算出高度落在的植物的频率可得.【详解】（1）,解得；（2）高度落在的植物的频率为，高度在的植物数量为株【点睛】此题为统计基础题，考查频率分布直方图的含义.18．如图，四面体中，平面，，，.（1）求的面积；（2）求到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由平面可得，，在、、中利用勾股定理求出、、，可以判断是直角三角形，即可以求出面积.（2）由（1）可证平面平面，过点作，可证平面，在中，利用面积相等求即可.【详解】（1）因为平面，所以，，在中，，在中，，在中，，由得，所以.（2）过点作，垂足为，由（1）知平面，因为面，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，可知即为点到平面的距离，在中，.【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，勾股定理，面面垂直的判断和性质，三角形面积公式，属于中档题.19．在平面四边形中，，.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由图，中，根据正弦定理，即可求得，进而可知；（2）由（1）可知，为直角三角形，进而求得，然后在中，根据余弦定理，可求得，根据的面积公式，代入数值即可得结果．【详解】解：（1）由题，在中，根据正弦定理，，因为，．所以，，．（2）由（1）可知，．，中，，，，中，，，解得或（舍，的面积．【点睛】本题主要考查通过正、余弦定理解三角形，以及数形结合的思想，考查学生计算能力，属于基础题．20．已知四棱锥，平面，底面为等腰梯形，，，，是中点.（1）求证：平面；（2）求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）找到的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，，进而证明平面；（2）连接与的中点，通过勾股定理，得，即，又因为平面，平面，所以，进而证明平面，所以．【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，，中，是中点．且，又等腰梯形中，，，，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（2）证明：连接与的中点，根据题意，等腰梯形中，，，四边形是平行四边形，．设，则，，，，，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，．【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理，考查了数形结合的思想，属于中档题．21．已知函数，，.（1）求；（2）求在的单调递增区间；（3）若，，求的最大值.（注：）【答案】（1）；（2）和；（3）【解析】（1）分别求出，，比较得出大的即为.（2）求出解析式，辅助角公式化简整理，再利用正弦型求单增区间的方法即可.（3）分别求出两在和的解集，再根据三角函数的周期性即可得结果.【详解】（1），，因为，所以，（2）在，解，得，得或，当时，，所以，当时，，所以，所以当时，，令，，解得：，，因为，令，得.当时，，令，，得：，，因为，令，得.所以在的单调递增区间为和.（3）由（2）知当时，，令，即，即得或，所以时，，当时，，的最大值为.令，即，解得或（舍），所以时，，因为周期为，所以当时，恒成立，所以必有，故得的最大值为.【点睛】本题主要考查了三角函数求函数值，单调区间，以及解三角不等式，属于中档题.22．某省采用的“”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：等级ABCDE比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间化学学科各等级对应的原始分区间现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：政治：6472669278668265766774807069847568716079化学：7279867583896498736779847794718174699170并根据上述数据制作了如下的茎叶图：（1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：①应填______，②应填______，③应填______，④应填______，⑤应填______，⑥应填______.（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.（3）若从该校政治、化学学科等级为的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.等级ABCDE原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分的赋分区间附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：，，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；