高等数学 函数的单调性与极值.课件

第三章第三讲函数的极值与导数高等数学函数的单调性与极值.一、函数的单调性与导数符号的关系导数大于零f

(x)>0

，函数f(x)单调增加导数小于零f

(x)<0

，函数f(x)单调减少。f

(x)>0f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0xyOx0f

(x)=0【复习与思考】高等数学函数的单调性与极值.练习４.列表分析

解高等数学函数的单调性与极值.

列表可使问题明朗化高等数学函数的单调性与极值.二、导数的简单应用【复习与思考】高等数学函数的单调性与极值.

３。求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。高等数学函数的单调性与极值.极大值点极小值点称f(x2)为极大值极小值f(x１)

称为极值点【函数极值】一、函数极值的定义高等数学函数的单调性与极值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值定义请同学们自己看书.函数极值怎么定义？有谁来说一说.高等数学函数的单调性与极值.

设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数

y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数

y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值，x0叫做函数的极值点。高等数学函数的单调性与极值.yOxabx1x2x3x4

观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。高等数学函数的单调性与极值.(1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况。高等数学函数的单调性与极值.【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?yOxabx1x2x3x4高等数学函数的单调性与极值.(是极值点情形)(不是极值点情形)问题:f

(x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?高等数学函数的单调性与极值.观察与思考：如何找极值点？找单调上升，下降分界点f

(x)全部零点(驻点)或不可导点导数等于零的点和不可导点.判断

极值可疑点高等数学函数的单调性与极值.三.求函数y=f(x)极值的一般步骤是：(3)找出所给函数的驻点和导数不存在的点；(4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；(5)求出极值点处的函数值，得到极值.请同学总结求极值的步骤（1）确定函数的定义域高等数学函数的单调性与极值.４.极大值极小值解

5.极值

四、例题讲解例1高等数学函数的单调性与极值.xf

(x)f(x)

例２

确定函数f(x)

2x3

9x2

12x

3的极值

解

(1)函数的定义域为(

)

(2)f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

(3)导数为零的点为x1

1、x2

2

(4)列表分析

(5)函数f(x)(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋y

2x3

9x2

12x

3１12

００极大值极小值高等数学函数的单调性与极值.练习：见习题册2.132．13、求函数的极值和单调区间．

解极大值f(1)=1,单调增加区间单调减少区间0(0,1)1(1,2)2不存在

0

不存在

高等数学函数的单调性与极值.

２

1５

确定函数f(x)

的单调区间和极值

x？？？？f

(x)f(x)

解

(1)函数的定义域为

(2)f

(x)

(3)导数为零的点

,不可导点为

(4)列表分析

(5)函数f(x)在区间(

]单调减少

在区间[

)上单调增加

练习高等数学函数的单调性与极值.xf

(x)f(x)

解

(1)函数的定义域为(

)

(2)f

(x)

x2e–x(3

x)

(3)导数为零的点为x1

0

，x２

3,

(4)列表分析

(5)函数f(x)在[３

)区间单调减少

在区间(

３]上单调增加

(

０)(０

3)(3

)－０3↘↗＋↗极大值

例２

1４

确定函数f(x)

x3e-x的单调区间和极值

＋00高等数学函