现代数学论文

现代数学在经济金融领域等的表现摘要：在社会不断往前发展的过程中，数学的发展也是有目共睹的。特别是在如今这个快节奏的环境中，金融领域的发展依然占了上风，而在发展过程中会有各种各样的问题出现，而这就为现代数学的进步提供了一席之地。例如优化、实分析、泛函分析等基础学科在微观经济学研究中的应用，偏微分方程在宏观经济学中的作用等，同时学习博弈论离不开与概率有关的东西，学计量经济学离不开统计和矩阵等。在此文中我们将就现代数学中的出现的应用比较广泛的数学内容，对其在经济金融领域的表现作进一步阐述。关键字：金融，时间序列分析，现代数学，分形几何，模糊数学，发展，影响。纵观现代数学的发展，模糊数学和分形几何等的应用相比之下更广泛，如分形方法在地震及其预报中的应用，在生物科学、经济管理中的应用等。所以现代数学更偏向于实际应用，特别是在如今这个资金流通快速的社会，它在经济金融方面的发展要远远超过其他方面。首先我们就现代数学与当今社会经济状态之间的密切联系谈起。显然，现代数学的诞生有着一定的必然性，并且它是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识（恩格斯），又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。现代数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的劳动创造。而如今，在这个经济高速发展的时代，现代数学的价值进一步被体现了出来。若我们细心发掘，就会发现经济金融领域中到处充斥着现代数学的身影，拿计量经济学来说，在说明边际效用时应用的极限和求导；在论证边际技术替代率时应用的多元函数微分法；在阐述寡头厂商之间的博弈策略时应用的博弈论与均衡的概念。这些本来属于数学范畴的工具现在充满了经济学研究的方方面面。现在这个时代，数学已不是以前那个单纯的学科了，学科交叉已成为当今大势。一部分的数学家和经济学家都在尽力运用数学的思维方式、论证方式和语言形式对传统经济学进行一番改造，完成从旧的研究范式向新的研究范式的转变。下面我们简单的介绍几种现代数学方法在社会各领域的应用。一模糊数学是一门新兴学科，它是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。它既可用于“硬”科学方面，又可用于“软”科学方面。它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊智能化、聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机智能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。二是比较新的方法：金融时序分析，并且它就是从经济领域的研究中发展起来的。它是带有高度经验性的学科，金融理论以及经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，破洞率不能直接观察的等等。如今的计量经济学和统计学文献中的金融计量方法方面取得了很多新的进展：风险值（VaR）、高频数据分析和马尔科夫蒙特卡洛方法、使用有显式公式的跳跃扩散方程进行衍生品定价和一些很有实际应用价值的模型（ARMA，ARCH，GARCH，GHARMA等）。三是分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。四是边际分析方法：随着17世纪到19世纪数学史上由常量数学转向变量数学的天翻地覆的时代的到来，微积分向各个学科领域全方位渗透。19世纪70年代初期，杰文斯、门格尔和瓦尔拉斯三位不同国籍的学者将他们的“欲望”概念或者“效用”概念和“微分”的基本概念结合起来，“边际效用”便出现了。经济学史上著名的“边际革命”也随着微积分思想向经济学渗透而爆发。而边际分析这一脱胎于微积分思想的有力工具，也在经济学的各个研究领域——宏观经济学、线性规划分析、经济计量学、福利经济学等等中得到了普遍的应用。另外还有诸如随机数学、模糊数学、非线性科学等等数学分支在经济领域发展的过程中也起到了非常重要的作用。在此我们仅举几个简单的例子：概率论知识在风险投资以及金融衍生产品的定价方面起到了关键性的作用，度量风险时期望的研究已经是不可避免的事情了，再给期货期权等衍生品定价时，伊藤引理和伊藤积分等数学原理的运用，使得整个定价体系井然有序。从以上的讨论中，我们可知现代数学在经济的发展中起着无法替代的作用，但是我们不能忽视的是他们之间的相互关系。因为当今社会，经济的发展以超乎人们的预计，它的发展也同样刺激着数学的不断前进，随着各式各样的经济政策的出现和国际贸易的更加繁琐复杂，一些意想不到的经济问题异常出现，另当今经济学家哗然。而要解决这些问题，仅仅考官方的干预和协调是远远不够的，我们还需要运用数学工具对经济现象的本质进行深层次的研究，而这就为数学的发展提供了良好的空间和基础，另一些数学知识在瞬间焕发了生机，甚至可以出现就像彭士戈院士做出的伟大成就。讨论现代数学之余，不能不说说中国数学的一些特点：

（1）以算法为中心，属于应用数学。中国数学不脱离社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的。

（2）具有较强的社会性。中国传统数学文化中，数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起。同时，数学教育与研究往往被封建政府所控制，唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员，这些事例充分反映了这一性质。

（3）寓理于算，理论高度概括。由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的决定，所以中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树。其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的“率”的理论，平面几何中的“出入相补”原理，立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理，即卡瓦列利原理）等等。

其实，现代数学一直在经济学的发展历程中有着浓厚的一笔，从以上的分析就可理解，并且到了20世纪尤其是20世纪中后期，经济学和现代数学的发展有些领域已构成相伴相生、共同促进的局面了。现如今的局面是他们之间的进一步发展和巩固形成的。既然现代数学与经济有着上述关系，而经济发展作为21世纪的重要社会因素，我们有理由也有责任对其作出深层次的研究。我们在学习和研究过程中要将现代数学的思维方式能动地运用于经济领域，促使经济理论不断实现质的飞跃。应该看到，数学思维方式的演变在推动经济理论的变革中同样起着决定性的作用比如使用概率统计中的分布、期望和方差来刻画风险和不确定性，大大加深了人们对未知事件的认识，现代保险理论和金融理论由此发展。同时经济学理论的存在方式应当向数学靠拢。在数学中，未经证明的命题是不能作为定理而存在的。在尚未经过统计检验之前，理论观点均是以“假说”形式出现的。现代经济学研究有两个方面：一是理论研究，主要使用严格的数学方法证明一种假说；二是经验研究，主要是使用统计数据和经济计量模型检验一种假说。另外从论证方式来看，经济学理论也应当仿照数学理论，首先要建立理论模型。影响经济现象的经济变量可能很多，理论模型就是对其中关键变量的相互关系的系统表达。而且在经济学的论述和交流中，从事用文字语言转变了使用数学语言。数学语言是最严格的逻辑形式，尤其是数学表达的逻辑简单明了、无歧义，并容易被证实或证伪。解决争论的最好方法就是使用数学语言。这样就可以避免那些无意义的争论，这无疑将提高学术交流的效率。

数学本身也在一日千里地发展着。全世界成千上万的数学工作者正在几十个分支成百个专门方向上孜孜研究着。社会的发展与现代数学的，并且经济与数学是密不可分息息相关的。数学对于当今社会来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具。只有结合数学，才能使社会各领域的发展从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具