高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第10讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）

第03讲2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学习目标①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。②掌握一元二次方程的求解方法,掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题。知识点一：一元二次不等式的有关概念1、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①（其中均为常数）②（其中均为常数）③（其中均为常数）④（其中均为常数）2、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.知识点二：四个二次的关系2.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集知识点三：一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；2：写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；②时，求根；③时，方程无解3：根据不等式，写出解集.知识点四：解分式不等式4.11、分式不等式4.1.1定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。4.1.2分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤题型01一元二次不等式（不含参）的求解【典例1】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（

）A．B．C．D．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（

）A． B．或 C． D．或【典例3】（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）解不等式：(1)；(2).题型02一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）若，则关于的不等式的解集是（

）A． B．或 C．或 D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)解关于的不等式．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）解不等式.【变式2】（2023·高一课时练习）解关于的不等式．题型03一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）【典例1】（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数．(1)当时，求不等式的解集.(2)当时，求不等式的解集.【典例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式（）．【变式1】（2023·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集为（

）A．或 B． C．或 D．【变式2】（2023·高一课时练习）解下列关于的不等式：().题型04一元二次不等式与对应函数、方程的关系【典例1】（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________【变式1】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝_________________.题型05分式不等式的解法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则______，______.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．题型06一元二次方程的实根分布问题【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．【典例3】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________.【变式1】（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考期中）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．题型07一元二次不等式的实际问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【变式1】（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【变式2】（2023·高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．(1)求的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．题型08重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法一：判别法【典例1】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是________．题型09重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法二：变量分离法【典例1】（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．题型10数学思想方法（分类讨论）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．题型11易错题篇（忽略了首项系数化正）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河北·统考模拟预测）若集合，，则（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．2.3二次函数与一元二次方程、不等式A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．或2．（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式的解集为（

）A． B．C． D．或，3．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若不等式的解集为或，则（）A．， B．，C．， D．，4．（2023·江西·统考模拟预测）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，若有解，则实数的取值范围时（

）A．或 B．或C． D．二、多选题7．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）恒成立，a的值可以为（

）A． B． C． D．4三、填空题9．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若不等式的解集是，则的值等于_______．10．（2023·全国·高一专题练习）关于的不等式恒成立，则的取值范围为__________.四、解答题11．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）解不等式(1)(2)12．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知的解集为．(1)求实数的值；(2)若恒成立，求实数的取值范围．B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（）A． B．C． D．2．（2023春·湖南·高一校联考期中）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或3．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为或4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）不等式的解集是__________．5．（2023春·河北·高二校联考阶段练习）已知，且，若恒成立，则的取值范围是______.C综合素养1．（