高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第08讲 2.1等式性质与不等式性质（教师版）

第01讲2.1等式性质与不等式性质课程标准学习目标①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。②会利用不等式性质比较大小。③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围.知识点一：不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言知识点二：实数大小的比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变知识点三：不等式的探究一般地，，有，当且仅当时，等号成立.知识点四：不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数可开方性题型01由已知条件判断所给不等式是否正确【典例1】（2023春·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）若，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，令，所以，所以A不正确；对于B，因为，所以，所以由不等式的可加性知：，所以B正确；对于C，令，所以，所以C不正确；对于D，令，所以，所以D不正确.故选：B.【典例2】（多选）（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】AC【详解】对于A，由及为正实数，可知，，则，由，可得，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：AC【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】因为实数，，满足，，所以，.对于A：因为，所以，因为，所以，所以A错误；对于B，若，则，因为，所以，所以B错误；对于C，因为，，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误.故选：ABD【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于A选项，因为，，则，，所以，，A错；对于B选项，因为，所以，因为，所以，所以，则，，所以，，B对；对于C选项，因为，则，因为，则，C对；对于D选项，因为，，所以，，D对.故选：BCD.【变式2】（多选）（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；B.由可知，，由不等式性质可得，结论正确；C.由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；D.取，满足条件，显然不成立，结论错误.故选：BC.题型02由不等式的性质比较数（式）大小【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，因为，所以即.故选：B【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小【答案】【详解】，，，.【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）若，，则（

）．A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确；对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误；对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误；对于D：，因为，可得，所以，故D正确．故选：AD.【变式2】（多选）（2023秋·福建三明·高一统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】对A，，则，则，A错；对B，，则，B对；对C，，则，则，则，则，C对；对D，，则，又，则，故a与的大小关系不确定，D错.故选：BC.题型03作差法比大小【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（） B． C． D．，大小关系不确定【答案】B【详解】，∴M<N.故选：B.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】，当时，，所以，可得，所以充分性成立；但当时，即也成立，所以必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：B.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，当且仅当时，等号成立；即.故选：A【变式2】（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是________.【答案】【详解】,.故答案为：.题型04利用不等式求值或取值范围【典例1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误.故选：B.【典例2】（多选）（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，所以，B选项不正确；对于C选项，所以，C选项正确；对于D选项，所以，D选项不正确；故选：AC.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，，则，∵，，即，，∴，则，即.故选：C【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．【答案】详见解析.【详解】因为，，所以，即的取值范围是．由，，得，所以的取值范围是．由，，得，所以的取值范围是．易知，而则，所以的取值范围是．题型05用不等式表示不等关系【典例1】（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为，，（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．【答案】【详解】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以故答案为：【变式1】（2023·高一课时练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积．图（2）是一个矩形，面积．可得：．故选：A【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D题型06易错题（利用不等式求值或取值范围）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设，，则的取值范围是_____，的取值范围是____.【答案】【详解】由，，同向不等式的可加性，得；由，，同向同正不等式的可乘性，得；故答案为：【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若,,则的取值范围是________.【答案】【详解】因为,所以,又,所以,所以.故答案为:.2.1等式性质与不等式性质A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，，且，则【答案】D【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；对于D，，所以，故D正确．故选：D．2．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，，则【答案】C【详解】AB选项，若，满足，但此时，，AB错误；C选项，如果，则，故，不等式两边同时除以，则，C正确；D选项，若，满足，，但，，D错误.故选：C3．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N【答案】B【详解】，所以.故选：B.5．（2021秋·高一单元测试）设，，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，∴.故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习）已知,则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为,所以,由,得,故选：A二、多选题7．（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知，则下列选项中能使成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A：，，，，故A正确；对于B：，，，，故B错误；对于C：，，故C正确；对于D：，，，，故D错误；故选：AC.8．（2020·北京·高三校考强基计划）设a，b，c均为大于零的实数，若一元二次方程有实根，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】因为a，b，c均为大于零的实数，故方程与的根互为倒数.故不妨设，则，于是，因此，故选项CD成立．情形一

若，则，于是，从而．情形二

若，则．情形三

若，注意是关于a的对勾函数，当时，上确界在a取区间端点时取到．故，则．综上所述，选项B成立．故选：BCD.三、填空题9．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知，，则的取值范围是______．【答案】【详解】设，所以，解得，因为，，则，，因此，.故答案为：.10．（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为____________．【答案】【详解】的解为，因为不等式的整数解只有2，故，故，故答案为：.四、解答题11．（2022·全国·高一专题练习）用比较法证明以下各题：(1)已知，．求证：．(2)已知，．求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：，，，；（2），，则与符号相同，且，，.12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的取值范围是？【答案】【详解】设，则，解得，所以，又，所以，又，所以，即.故的取值范围为.B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为8.故选：B2．（2022秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）若且.则成立的一个充分非必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A.当时，，则，故A错误；B.当时，不满足，故B错误；C.当时，，则，反过来，时，，推不出，所以是成立的一个充分非必要条件，故C正确；D.当时，不满足，故D错误.故选：C3．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）设，，，则P，Q，R的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：，，，而，，而，，即，综上，.故选：B.4．（多选）（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）生活经验告诉我们，