例题微积分ⅱ考试通关必备例题

1

在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,

2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即解得即所求点为例1解上一页目录下一页退出2

求平行于z轴且过，两点的平面方程.显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为例2解

因所求平面平行于z轴，故可设其方程为又点都在平面上代入方程得即上一页目录下一页退出3例3解即因此，该方程表示球心为(1,-2,3)，半径为R

=

4的球面.上一页目录下一页退出例3函数,求.解所以.注:该方法主要是把右边的式子都凑成里面的两个量.上一页目录下一页退出例5

证明不存在．

证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．上一页目录下一页退出例6讨论点是否为函数的连续点.解

由于且,故在处连续.上一页目录下一页退出例7.求解因初等函数在(0,1)处连续,故有上一页目录下一页退出例8求解

上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出例3求的偏导数.注意到对y求偏导数的时候,x始终不变,所以我们可以先把x的值代入,简化运算.解上一页目录下一页退出证原结论成立．上一页目录下一页退出例5求的偏导数.解由对称性可知上一页目录下一页退出证上一页目录下一页退出例7解上一页目录下一页退出按定义可知：上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出例9设求二阶偏导数.解,,.上一页目录下一页退出问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解上一页目录下一页退出证毕．上一页目录下一页退出边际的经济含义是:在点处,当y保持不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变个单位.例10某汽车生产商生产A,B两种型号的小车，其日产量分别用x,y(单位：百辆)表示，总本钱(单位：百万元)为求当x=5,y=3时，两种型号的小车的边际本钱，并解释其经济含义.上一页目录下一页退出解总本钱函数的偏导数当x=5,y=3时，A型的小车边际本钱为B型的小车边际本钱为其经济含义是：当A型小车日产量为5百辆，B型小车日产量为3百辆的条件下.上一页目录下一页退出(1)如果B型小车日产量不变而A型小车日产量增加1百辆，那么总本钱大约增加53百万元；(2)如果A型小车日产量不变而B型小车日产量增加1百辆，那么总本钱大约增加17百万元.2.偏弹性分析设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏改变量记为称的相对改变量与自变量x的相对改变量之比上一页目录下一页退出例11设某城市方案建设一批经济住房，如果价格(单位：百元/平方米)为p，需求量(单位：百间)为Q，当地居民年均收入(单位：万元)为y，根据分析调研，得到需求函数为求当p=30,y=3时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解,上一页目录下一页退出,又因此，需求Q对价格p和收入y的偏弹性分别为,其经济含义是：当价格定在每平方米3000元，人均年收入3万元的条件下，假设价格每平方米提高1%而人均年收入不变，那么需求量将减少9%；假设价格不变而人均年收入增加1%，那么需求量将增加9%.上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出例2求函数的全微分.解故例3计算函数在点(1，2)处的全微分.解,,故三、全微分的计算解所求全微分上一页目录下一页退出解由公式得上一页目录下一页退出28解例1上一页目录下一页退出29解例2上一页目录下一页退出30解例3注：如果函数的自变量只有一个，那么求导时要用微分符号d；否那么，就要用符号.上一页目录下一页退出31解例4或用求导法那么，上一页目录下一页退出32例6求的偏导数.解设,,那么.那么上一页目录下一页退出33上一页目录下一页退出34解例7求以下函数的偏导数和全微分.所以上一页目录下一页退出35例8解方程两边关于x

求偏导数,

上一页目录下一页退出36例9解上一页目录下一页退出例4解由因为上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出由得上一页目录下一页退出可知上一页目录下一页退出例7某工厂生产甲、乙两种产品，甲种产品的售价为每吨900元，乙种产品的售价为每吨1000元，生产x吨甲种产品和y吨乙种产品的总本钱为问甲、乙两种产品的产量为多少时，利润最大？解设L(x,y)为生产x吨甲种产品和y吨乙种产品所获得的总利润，那么上一页目录下一页退出解方程组得x=80,y=120，得唯一驻点(80,120).于是可以断定，当生产80吨甲种产品和120吨乙种产品时，利润最大，且最大利润值为

L(80,120)=42000(元).上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出解那么上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出二.二重积分的性质性质1假设α,β为常数，那么性质2假设积分区域D由D1，D2组成(其中D1与D2除边界外无公共点)，那么性质3假设区域D的面积为σ,那么性质4如果在区域D上总有，那么上一页目录下一页退出特别有性质5

设D的面积为

,那么有性质6.(二重积分的中值定理)

为D的面积,那么至少存在一点使上一页目录下一页退出计算，其中D是由直线y=x,x=1及y=0围成的区域．区域D如以下图所示．假设将D表示为X-型区域D=｛(x,y)︱0≤x≤1,0≤y≤x｝,那么由公式(1)得解1例1上一页目录下一页退出将D表示成Y-型区域D=｛(x,y)︱0≤y≤1,y≤x≤1｝解2练习计算其中

D为圆域:解由于原点为

D的内点,有例3求，其中D是由圆x2+

y2=4所围成的平面区域．解注意到区域D关于x轴对称，y是奇函数=0．设大圆所围区域为D1，小圆所围区域为D2，那么上一页目录下一页退出例4计算二重积分解，其中积分区域上一页目录下一页退出为了简化计算，常常选取一些特殊的趋于区域D．设D为全平面，收敛，求其值．设为中心在原点，半径为R的圆域，那么例1解当时，有上一页目录下一页退出证明证如右图所示，那么有例2令上一页目录下一页退出由例1知从而得令得解级数为等比级数，解二、根本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.解证明即局部和数列有界3.比较审敛法大收那么小收，小散那么大散。一、交错级数及其审敛法定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.例2判定级数

的敛散性.解易见，这是个交错级数，应用莱布尼茨定理如何判断单调性？原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛解故由定理知原级数绝对收敛.练习：NOTE：〔灰常重要〕NOTE：〔灰常重要〕思考题例1试求函数项

级数的收敛域.解因为sn(x)=1+x+x2+…+xn=所以，当|x|＜1时，易知，当|x|≥1时，级数发散．故级数的收敛域为(-1，1)．解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出令代入原方程得两边积分,得解法:别离变量:积分后再用代替u,便得原方程的通解.上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出解:例1上一页目录下一页退出解

相继积分三次得出:

代入方程得上一页目录下一页退出解:例5求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为上一页目录下一页退出内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令第二步求出特征根.第三步根据特征根的情况按下表写出对应微分方程的通解

上一页目录下一页退出实根

特征根通

解第一步写出微分方程的特征方程求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下例2

求方程

的通解.解方程

的特征方程为其特征根为

且互异，所以方程的通解为

.上一页目录下一页退出的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为练习解

特征方程为故所求微分方程的通解为上一页目录下一页退出