高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第11讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结（教师版）

第04讲第二章一元二次函数、方程和不等式章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01不等关系和不等式性质的认知【典例1】（2023·高一课时练习）已知，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；取，则，此时，故C错误；∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．故选：C．【典例2】（2023·高一课时练习）阅读材料：（1）若，且，则有（2）若，则有．请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【答案】证明见解析.【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，，同理，，由材料（2）得：，所以原不等式成立.【变式1】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【详解】对于A，由，取，，，则不成立，故A错误；对于B，由，取，，则不成立，故B错误；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，因为，所以，故，则，故D正确．故选：D．【变式2】（2023·重庆·高二统考学业考试）若实数a，b，c满足，，则（）A． B． C．

【答案】B【详解】因为，，所以，故A错误，B正确；根据不等式可加性知，故C错误.故选：B题型02一元二次（分式）不等式【典例1】（2023·高一课时练习）不等式的解集是__________【答案】【详解】，即或，所以不等式的解集为.故答案为：【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，由可得，解得，则，因此，.故选：D.【变式1】（2023·高一课时练习）不等式的解集为___________.【答案】【详解】，解得，故解集为，故答案为.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）求下列不等式的解集：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，所以方程有两个不相等的实根，.又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为.（2）方法一:等价于①或②解①得,解②得,所以原不等式的解集为.方法二:不等式⇔所以由二次不等式知所以.所以原不等式的解集为.题型03利用基本不等式求函数和代数式的最值【典例1】（2023·全国·高一专题练习）若，则取最大值时x的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，所以，当且仅当即时等号成立.故选：C．【典例2】（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________．【答案】【详解】因为，且，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最大值为1【答案】BCD【详解】因为，，，所以，故，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为1，故A正确；当，时，，故B错误；因为，所以，当且仅当时，取得等号，即有最大值为2，故C错误；当时，故D错误.故选：BCD．【变式1】（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知为正实数，且满足，则的最大值为______．【答案】9【详解】因为为正实数，且满足，所以，即，当且仅当即时取等号，所以的最大值为9.故答案为：9.【变式2】（2023·高一课时练习）若，且，则的最小值为______.【答案】/【详解】若，且，则，当且仅当时取等.故答案为：.题型04“1”的代换转化为基本不等式求最值【典例1】（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知正数、满足，则的最小值为_______.【答案】【详解】因为正数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【典例2】（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________．【答案】【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值．故答案为：.【典例3】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为__________.【答案】【详解】由正数，满足，可得，所以，当且仅当，，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【变式1】（2023春·浙江·高二统考学业考试）正实数x，y满足，则的最小值是（

）A．3 B．7 C． D．【答案】C【详解】由得，所以，由于，由于为正数，所以，当且仅当时等号成立，故选：C【变式2】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知正实数满足，则的最小值为__________.【答案】/【详解】因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【变式3】（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.【答案】4【详解】，当且仅当即时，取等号，故的最小值是4，故答案为：.题型05条件最值问题【典例1】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】可变形为，因为，所以，解得，当且仅当时，即，时，等号成立取到最大值，故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（

）A．9 B．6 C．4 D．1【答案】D【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值为1.故选：D.【典例3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.【答案】/【详解】由，且可得，则，当且仅当，结合，即时取等号，即的最大值为，故答案为：【变式1】（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）9；（2）16【详解】（1）因为，，所以，所以，当且仅当，时等号成立，即时等号成立，所以的最小值为.（2）因为，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为______．【答案】【详解】，仅当时等号成立．所以目标式最大值为.故答案为：题型06与基本不等式有关的恒成立问题【典例1】（多选）（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7.5【答案】BC【详解】由，且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.故选：.【典例2】（2023·高一课时练习）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，，，当且仅当即时等号成立，，或舍去，即所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.【变式1】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．25 C．16 D．12【答案】B【详解】由得，又因为，所以实数均是正数，若不等式恒成立，即；，当且仅当时，等号成立；所以，，即实数的最大值为25.故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【详解】∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，当且仅当时取等号.所以，∴，∴m的最小值为，故选：D题型07不等式与实际问题的关联【典例1】（多选）（2023春·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：第一次涨幅，第二次涨幅.其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（

）A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多【答案】BC【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：；方案乙：两次涨幅后的价格为：；方案丙：两次涨幅后的价格为：；因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，故，因为，所以，，所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：.【典例2】（2023秋·云南·高一校联考期末）某房屋开发公司用37500万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高600元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为6000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成______层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为______元．【答案】【详解】设建层，，则平均综合费用：元，当且仅当时等号成立.所以为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成层，该楼房每平方米的平均综合费用最低为元.故答案为：；【变式1】（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（

）A．方案一更经济 B．方案二更经济C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定【答案】B【详解】解：设第一次价格为，第二次价格为，方案一：若每次购买数量，则两次购买的平均价格为，方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为，所以，，即，当且仅当时，“=”号成立，所以方案二更经济.故选：B三、数学思想01函数与方程的思想【典例1】（2023秋·云南西双版纳·高一统考期末）已知不等式的解集是，则__________.【答案】【详解】由题方程的解为或，则由韦达定理有：，故故答案为：【典例2】（多选）（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若关于的二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的解集是 D．的解集是【答案】ABC【详解】因为的解集是，所以，且的两个实数根是或，即，解得：，故A、B正确，选项C：，解得：，故C正确，D不正确.故选：ABC.02分类讨论思想【典例1】（2023·高一课时练习）不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．【答案】【详解】根据题意，当时，可得，解得，当时，不等式显然成立.综上可得，，故答案为：.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：．【答案】答案见解析.【详解】由得或.当，即时，不等式解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为．综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．【典例3】（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）已知，解关于的不等式．【答案】答案见解析【详解】当时，不等式为，解得；当时，不等式化为，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，若，不等式为，解得；若，解得或；