大学物理学-机械波教案

大学物理学教案大学物理学授课章节第6章机械波教学目的1.理解波动方程及其多种表达式。（1）确切理解描述波动的三个重要参量：波长、周期（频率）、波速的物理意义，并能熟练地确定这些量；（2）掌握由波动方程求位于某位置处质点的振动方程或某时刻的波动方程的方法，并能熟练地求出同一波线上两点间的相位差，或同一位置处质点不同时刻的振动相位差；（3）掌握如何写出波源不在坐标原点时的波动方程的方法；（4）掌握由已知时刻的波形曲线写出波动方程，或写出（画出）某位置处质点的振动方程（振动曲线）的方法。2.理解波动能量的特点，理解平均能量密度、平均能流密度的概念及相关的计算；3.理解波动叠加原理，掌握波的相干条件及相长、相消干涉的条件；4.掌握驻波的振幅和相位的分布特点，理解半波损失的概念，掌握产生半波损失的条件；5.理解与多普勒效应有关的问题。教学重点、难点1.正确地由振动方程写出波动方程，能将给定的波动方程与波动方程的标准形式比较，从而获得波振幅A，波动角频率（或周期T，频率）、波长（或波速度u）；2.理解波速与振动速度的区别；3.能够由波动方程读出波线上某点的振动相位与坐标原点的相位相比是超前还是滞后；4.由已知时刻的波形图建立波动方程（设传播方向已知）；5.由已知点的振动曲线建立波动方程；6.能正确写出反射波的波动方程，从而形成驻波的方程。教学内容备注第6章机械波波动是振动的传播过程。机械波机械振动的传播波动电磁波电磁场的传播粒子波与微观粒子对应的波动虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。§6.1机械波的形成和传播机械波产生的条件波源作机械振动的物体弹性介质内部各相邻质点间有弹性力相互联系的气体、液体或固体介质。横波与纵波横波质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波。纵波质点的振动方向与波的传播方向平行的波。波线与波面波传播到的空间称为波场。波线用带箭头的线表示波的传播方向，该线称为波线。波源的振动状态沿着波线传播到波场中的各质点，引起各质点的振动。振动状态的传播也就是位相的传播。波面波场中同一时刻振动位相相同的点连成的面称为波面。波前（波阵面）某时刻波场中最前面的那个波面，即该面上的位相等于波源开始振动时的位相。波线波前波面波前波线波前波面波前波线波面（a）平面波（b）球面波描述波动的几个物理量1、波长：同一波线上位相差为2的两质点间的距离，即一个完整波的长度，称为波长，用表示。周期和频率：周期—波传播一个波长所需要的时间，或者说，一个完整波通过波线上某点所需的时间，称为波的周期，用表示；频率—单位时间内，波动向前推进的距离内所包含的完整波的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目，用表示。。波速：单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离。用u表示。。波速决定于介质的弹性模量和密度。在固体中横波与纵波的波速分别为（横波），（纵波）。绳上或弦上的横波波速。§6.2平面简谐波的波函数一、沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数设有一平面简谐行波，在无吸收的均匀无限大介质中沿x轴正向传播，波速为u。取x轴为其一条波线，并任选波线上一点o为坐标原点（注意：o不一定是波源）。如图所示设原点处（x=0）质点的振动方程为，式中A是振幅，是圆频率，是o点处质点振动的初位相，就是o点处质点任意时刻t离开其平衡位置的位移。当振动沿波线传播到坐标为x的p点时，p处质点将以uuyxopx相同的振幅和频率重复o点质点的振动，但振动从o点传到p点须经历的时间，即在波向x轴正向传播时p点的振动比o点的振动在时间上落后，所以，p处质点任意时刻t离开自己平衡位置的位移等于原点在（）时刻的位移，即。所以，沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数是。因为，，所以上面的波动方程也可写成以下几种形式：;;.二、波函数的物理意义如果x=x0为给定值，.这就是波线上x0处质点在任意时刻t离开自己平衡位置的位移。即x0处质点的振动方程。它在t=0时的位相为，表示x0处质点的振动比原点的振动始终落后一个位相。2、如果t=t0为给定值，只是x的函数，表示t=t0时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，称为t0时刻的波形方程。3、如果t，x都在变化，则t时刻波动方程；t+时刻波动方程。画出t和t+时刻的波形，便可形象地看出波形向前传播的图象。波形向前传播的速度等于波速u。由于波形向前传播，x处质点在不同时刻t和t+Δt的位移是不同的。但从上面的t时刻波形和t+Δt时刻波形可以看出：，即，或直接用位相表示为。上式表明：x处质点在t时刻的振动状态（或位相），经过时间Δt正好传播到x+Δx=x+uΔt处。故波速就是位相的传播速度。三、质点的振动速度和加速度振动速度:；振动加速度:。可见，各质点的振动速度也是随坐标x和时间t作简谐规律变化的，它与波速是两个完全不同的概念，应严格区别开来。四、沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数如果平面简谐波沿x轴负方向传播，则沿x轴正向各质点的振动位相依次超前，坐标为x处的质点的振动比坐标原点o的振动总是超前一段时间，即x处质点t时刻的位移等于o处质点在t+Δt时刻的位移。设o处质点的振动仍为，则任意坐标x处质点的振动方程为，这就是沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数。因为，，所以上面的波动方程也可写成以下几种形式：；；.例1：一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率分别为和，波速为u，设时的波形曲线如图所示。(1)写出此波的波动方程；(2)求距o点分别为/8和3/8两处质点的振动方程；(3)求距o点分别为/8和3/8两处质点在时的振动速度。yu0Px解：（1）由图可知yu0Px可求出从而获得波动方程是：（2）在/8处同理，在3/8处，（3）时，处速度处速度例2：一平面波在介质中以速度u=20m•s-1沿直线传播，在A点的振动方程为，如图所示。（1）以A为坐标原点，写出波动方程并求出C、D两点的振动方程；（2）以B为坐标原点，写出波动方程并求出C、D两点的振动方程。8m5m9muCBADx解已知8m5m9muCBADx∵A点的振动方程为，∴位于x处的质点的振动方程即波动方程。xc=-13m，C点振动方程是；xD=9m，D点振动方程是。（2）以B为原点，∵xB=-5m，∴B点振动方程此时波动方程为；其中是波线上任一点以B为原点的坐标。∵∴C点振动方程；∴D点振动方程。可见，波动方程的表达式与坐标原点的选择有关而各质点的振动方程（即各质点的振动情况）与坐标原点的选择无关。例3：一个沿x轴正向传播的平面简谐波（用余弦函数表示）在t=0时的波形曲线如图所示。（1）原点0和2，3，各点的振动初位相各是多少？（2）画出t=T/4时的波形曲线。01234x01234xyut=0解：（1）由各点位置可求出初位相是0点；2点；3点；01234xy01234xyt=T/4时的波形曲线例4：如图，一平面简谐波沿ox轴正方向传播，波长为，若p1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为；与P1点处质点振动状态相同的那些点的位置是。P1oP2xL1LP1oP2xL1L2(2)(k=1,2,…)∴§6.3波的能量波的能量和能量密度以平面简谐弹性纵波在细长棒中传播为例。如图所示，有一密度为的细长棒沿ox轴放置，一列平面简谐纵波以波速u沿着棒长方向传播时，棒中每一小段都受到压缩和拉伸。设波动方程为：固体细长棒中纵波的传播在坐标为x处取一小体积元dV=sdx，其质量为，当波传到该体积元时，这部分介质的速率随时间变化，其振动动能；同时，体积元因形变而具有弹性势能，可以证明体积元的弹性势能；体积元的总能量。以上结果表明：1)波动传播过程中，任一时刻、任一体积元的动能和势能不仅大小相等，而且位相相同，即两者总是随时间同步变化。2）波动能量和振动能量有根本区别。振动过程系统的机械能守恒；对波动来说，任一体积元都与周围质点交换能量，能量不守恒，即能量随着波动的传播而传播。3）对振动质点来说，位移最大时、速度为零，振动势能最大、动能为零；质点通过平衡位置时，位移为零、速度最大，振动势能为零、动能最大。而对于波动中的任一体积元来说，位移最大时、相对形变为零、速度为零，所以动能和势能均为零；当体积元在位移为零（即平衡位置）时，相对形变和速度都是最大，所以势能和动能均最大。介质中单位体积内的能量叫能量密度，用ω表示。它在一个周期内的平均值叫平均能量密度。二、波的能流和能流密度1、能流、平均能流：能流——单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。如图所示，s为垂直于波速u的平面，则单位时间内通过s面的能量平均来说等于以s为底、u为长度的体积内的能量，即称为通过s面的平均能流。式中为平均能量密度，对简谐波，所以2、平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I表示，即。由此可见，平均能流密度I与振幅的平方成正比，是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。三、波的吸收1、无吸收的均匀介质中，波的振幅保持不变；如下图，通过面积S1和S2的平均能流相等。即所以即A1=A22、波的吸收波动在均匀介质中传播时，介质总要吸收一部分波的能量而转变为其它形式的能量，所以波的振幅将沿着波的传播方向逐渐减小。实验指出：当平面波通过极薄的一层介质（厚度为dx）后，振幅减少-dA与波进入介质薄层时的振幅A及薄层厚度dx成正比：，式中为常数，称为介质的吸收系数，积分可得：。A0和A分别为x=0和x=x处波的振幅。由于波的强度与波的振幅的平方成正比，所以波的强度衰减的规律为：I0和I分别为x=0和x=x处波的强度。§6.4惠更斯原理波的叠加和干涉惠更斯原理1惠更斯原理：介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。2用惠更斯原理确定新的波阵面：从以上图中可看出：当波在均匀各向同性介质中传播时，波阵面的几何形状总保持不变，波的传播方向也保持不变。波的衍射1、波衍射的概念：波动在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生变化，能绕过障碍物边缘继续前进的现象；也叫波的绕射。2、产生衍射的条件：当障碍物的线度d与波长之比越小时，衍射现象越显著；当比值越大时，衍射现象越不显著。下图表示波在狭逢处的衍射，在靠近缝边缘处，波阵面发生了弯曲，即波的传播方向改变了，表明波动能绕过障碍物边缘传播、产生了衍射现象。dd波在狭逢处的衍射实际上，波的衍射现象不仅仅是绕弯现象，而且还涉及到波场中能量的重新分布。关于能量的分布问题将在光学中通过惠更斯—菲涅耳原理来介绍。波的叠加原理1）独立性：当几列波在介质中相遇重叠时，它们各自的频率、波长、振幅均不会相互影响，都各自独立地进行传播、就好象传播过程中没有彼此相遇一样，这就称为波的独立性。2）波的叠加原理：当几列波在介质中相遇时，每一列波都将引起相遇处质点的振动，因此，相遇处质点的振动将是每列波在该点引起的分振动的叠加，即任一时刻相遇处质点的振动位移等于每列波在该点引起的分位移的矢量和。波的叠加原理和波动方程为线性微分方程是一致的。波的干涉干涉现象：两个频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定的波源发出的两列波在空间相遇时，使空间某些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱或完全抵消的现象。满足频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定三个条件的波源称为相干波源；由这样两个波源发出的两列波称为相干波。1）、干涉加强或减弱的条件：设相干波源S1，S2的振动方程分别为，；S1S2r1r2S1S2r1r2P，，P点的合振动为：。合振动的振幅A由下式决定：，因为波的强度正比于振幅的平方，所以，式中是P点处两个分振动的位相差，是两个相干波源的位相差，为一常量；（r2–r1）为两波源发出的波传播到p的几何路程之差，称为波程差，是因传播路程不同而产生的位相差，对于空间任一给定的P点，它也是常量。因此，空间任一给定的P点的两个分振动的位相差也是恒定的，该点的合振幅A或强度I也是一定的。所以，在两列相干波相遇的区域会出现振幅A或强度I不均匀的、稳定的干涉图样。当，（K=0，1，2，…）的空间各点：，。干涉加强或干涉相长当，（K=0，1，2，…）的空间各点，。干涉减弱或干涉相消如果，上述干涉加强和干涉减弱的条件可简化为干涉加强或干涉相长干涉减弱或干涉相消以上表明，当两波源同位相时，在两列波的叠加区域内，波程差等于零或半波长的的偶数倍的各点，振幅和强度最大；波程差等于半波长的的奇数倍的各点，振幅和强度最小。以上讨论的是满足相干条件的两列波的相干叠加。而不满足相干条件的两列波相遇时只是非相干叠加。此时空间任一点的合成波的强度就等于两列波强度的代数和，即。例5：如图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距，S1较S2位相超前，求：（1）S1外侧各点的合振幅和强度；（2）S2外侧各点的合振幅和强度。PPr1S1S2r2Qλ/4解：（1）设S1外侧任一点为P，P到S1的距离为r1，则到达P点的两列波的位相差所以，S1外侧各点合振幅A=0，合振动强度I=0。（2）同理，设S2外侧任一点为Q，Q到S2的距离为r2，则到达Q点的两列波的位相差所以，S2外侧各点合振幅A=2A1，合振动强度I=4I1。§6.5驻波驻波的形成1、概念：在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的波称为驻波。2、驻波的演示实验如下图，音叉在绷紧的弦上产生驻波，固定点B总是波节。3、从两波波形图的叠加看驻波的形成：观察演示；4、驻波方程：两波波动方程分别为即这两列波在t=0时刻，x=0处的初位相均为零。则合成波的波动方程为5、驻波特点：a、波线上各点有不同的振幅，在上述的驻波方程中，位于x处的质点其振幅为；b、波节和波腹——波线上始终不动（振幅为零）的点，称为波节；波线上振幅最大的点，称为波幅；两个相邻的波节（或波腹）之间的距离为；c、线上各点分段振动，同一分段各点位相相同；相邻两分段位相相反；二、波在两种界面上的反射1、半波损失——当波从波疏介质（介质密度ρ与波速u的乘积较小的介质）垂直入射到波密介质（介质密度ρ与波速u的乘积较大的介质）时，在界面上反射波与入射波的位相相反，称为有半波损失；当波从波密介质入射到波疏介质时，在界面上反射波与入射波的位相相同，没有半波损失。2、入射波和反射波在两种界面上的合成：当存在半波损失时，界面上是波节；当没有半波损失时，界面上是波腹。例6：一简谐波沿轴正向传播，图中所示为该波t时刻的波形图，欲沿轴形成驻波，且使原点处出现波节，画出另一简谐波t时刻的波形图。u右行波t时刻波形ou右行波t时刻波形oxoxu左行波t时刻波形右行波（t+T/4）时刻波左行波（t+T/4）时刻波形例如图所示，沿轴正向传播的平面简谐波方程为，两种介质的分界面P与坐标原点o相距，入射波在界面上反射后振幅无变化，且反射处为固定端。求：（1）反射波方程；（2）驻波方程；（3）在o与P之间各个波节和波腹点的坐标。解：（1）由入射波方程可知频率，波长，反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同。入射波在界面处的振动方程因为反射点是固定端，所以反射波在P点处的振动位相与入射波在该点的振动位相相反，即P点处的反射波振动方程为。反射波以波速向轴负向传播，所以反射波波动方程为驻波方程为（3）由得波节点的坐标为。由得波腹点的坐标为。§6.6多普勒效应一、多普勒效应的概念当波源或观察者、或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象称为多普勒效应。二、观察者接收到的波的频率ssuVs1、波源不动、观察者以相对于介质运动：设观察者向着波源运动，即，则在单位时间内观察者接收到的完整波的数目即观察者实际接收到的波的频率。当观察者向着波源运动时，接收到的频率为波源振动频率的倍；当观察者远离波源运动时，，接收到的频率比波源振动频率小。2、观察者不动、波源以速度相对于介质运动：如图所示，假设波源以速度向着观察者运动。因为波速与波源运动无关，所以在波源振动的一个周期里，波向前传播的距离等于一个波长，但波源S在一个周期里在波的传播方向上移动了的距离到达点，结果使得一个完整波被挤压在之间，相当于波长减少为。因此，观察者单位时间里接收到的完整波的数目，即观察者接收到的频率为。当波源向着观察者运动时，，观察者接收到的频率为波源振动频率的倍，比波源频率要高；若波源远离观察者运动，观察者接收到的频率比波源频率要低。3、波源和观察者同时相对于介质运动：这时，相对于观察者来说，波的速率变为；同时波长变为，综合两个结果，当波源和观察者同时运动时，观察者接收到波的频率为；式中，当波源与观察者相互接近时，、取正值，远离时、取负值。总之，在多普勒效应中，不论波源还是观察者运动，或两者都运动，当波源和观察者相互接近时，观察者接收到的频率总是大于波源振动频率；当波源和观察者远离时，观察者接收到的频率总是小于波源振动频率。三、光波（包括电磁波）的多普勒效应电磁波的传播不需要介质，所以只是光源和观察者的相对速度决定观察者接收到的频率。由相对论可以证明，当光源和观察者在一条直线上运动时，观察者接收到的频率为，；例7：汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声的频率由1200赫兹变到了1000赫兹，设空气中的声速为330，求汽车的速率。解：设汽车的速率为、声速为，汽笛声的振动频率为，汽车向着车站驶来时观测者测得的汽笛声的频率为1200赫兹；汽车远离车站驶去时观测者测得的汽笛声的频率为1000赫兹；则，；两式相除；解出，即汽车的速率为。*§6.7色散波包群速度一、波的叠加波包1、单色波、波包:频率单一的波叫单色波。由一群单色波组成的有限长的波列叫波包。平面简谐波就是单色波，它的波列是无限长的。根据付立叶分解的观点，有限长的波列相当于许多单色波的叠加。由这样一群单色波组成的波列叫波包。例如，前面讲到的“