河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题

唐山市十县一中联盟2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学本试卷共4页，22题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．向量，若与垂直，则的值为（）A． B．1 C． D．33．直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（）A． B． C．3 D．64．在四面体中，，为的重心，点在线段上，且，则（）A． B．C． D．5．若点在圆上，则直线与圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定6．已知圆与圆外离，则的取值范围（）A． B． C．或 D．7．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．8．已知，则的最小值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体中，分别为的中点，则下列说法不正确的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面10．已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（）A．直线恒过定点 B．当时，最长C．当时，弦最短 D．最短弦长11．在正四棱台中，，点分别在直线与上，则（）A．该四棱台的体积为 B．该四棱台外接球的表面积为C．线段长度的最小值为 D．点到平面的距离为12．已知，点满足，设点的轨迹为曲线，则（）A．过点作曲线的切线，切线长为 B．当三点不共线时，则C．在上存在点，使得 D．的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知三点共线，则__________．14．直线与直线之间的距离为__________．15．已知空间向量，若共面，则的最小值为__________．16．已知圆与圆，则①当时，两圆的公切线方程为__________．②若两圆相交于两点，且，则__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）中，．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求的外接圆的方程．18．（12分）已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角．19．（12分）已知点在圆上运动，点为线段的中点，设点的轨迹为曲线，（1）求曲线的轨迹方程．（2）过点作曲线的切线，求切线的方程．20．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点，沿将翻折到，连接，得到如下图2的五棱锥，且．图1图2（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．22．（12分）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；（2）若，求证：直线恒过定点．唐山市十县一中联盟2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一．选择题（单选）：1-4．CCDA5-8．BDBB二．选择题（多选）：9．BCD10．AC11．BD12．ABD三．填空题：13．014．15．16．；或（第一空2分，第二空3分）四．解答题：17．解：（1）直线的斜率所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为．（2）设的外接圆的方程为，则解得所以的外接圆的方程为．18．解：设，则，．．（1），，，即．（2），，，异面直线与所成角为．19．解：（1）设，因为点为线段的中点，所以即因为点在圆上运动，所以，化简得，所以曲线的轨迹方程为．（2）由（1）知曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，当切线斜率不存在时：，满足题意；当切线斜率存在时，设，即．由与圆相切，得，解得．所以切线的方程为，即．综上，切线的方程为或．20．解：（1）取的中点，连接，分别为的中点，，且，又且，且，四边形为平行四边形，则，平面平面，平面．（2）取的中点，则．以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则，．所以，设平面的法向量为．则即取，则．又，设直线与平面所成的角为，则，故与平面所成角的正弦值为．21．解：（1）点分别是边的中点，．菱形的对角线互相垂直，．．．平面平面，平面．平面．（2）设，连接，为等边三角形．．在中，，在中，，．平面，平面，平面．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则．．设平面的法向量为，由，得令，得．平面的一个法向量为．由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则．平面与平面的夹角的余弦值．22．解：（1）设切线的方程为．所以圆心到切线的距离为，即，解得，所求的切线方程为或