专题13 等差数列和等比数列的计算和性质（分层训练）（解析版）

答案第=page22页，共=sectionpages33页专题13等差数列和等比数列的计算和性质【练基础】单选题1．（2021秋·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练习）记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．2．（2021·云南·统考二模）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．【详解】∵，∴，故选：A3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（

）A．

B．

C．3

D．8【答案】A【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.【详解】设等差数列的公差，∵等差数列的首项为1，成等比数列，∴，∴，且，，解得，∴前6项的和为.故选：A.4．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，则（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040【答案】A【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出通项公式，再由关系求的通项公式，进而求.【详解】由知：为等差数列，又，，则公差，所以，故，则，可得，而也满足，所以，则.故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.【详解】A：由，得，即，则、取值同号，若，则不是递增数列，故A错误；B：由，得，即，则、取值同号，若，则数列不是递增数列，故B错误；C：若等比数列，公比，则，所以数列为递增数列，但，故C错误；D：由数列为递增数列，得，所以，即，所以，故D正确.故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，得到，利用裂项相消法求和.【详解】因为，所以.所以前5项和为故选：D7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列的公差分别为和,即,即①,即②由①②解得故选：C8．（2023·全国·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，则（

）A． B．C．，，成等差数列 D．，，成等差数列【答案】BCD【分析】利用等差数列求和公式分别判断.【详解】由已知得，A选项，，，，所以，A选项错误；B选项，，B选项正确；C选项，，，，，，则，C选项正确；D选项，，，，则，D选项正确；故选：BCD.10．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（

）A．数列是等比数列B．数列是等差数列C．数列的通项公式为D．【答案】AC【分析】由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误.【详解】因为，所以，，即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：AC.11．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知数列满足，，则（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前n项和【答案】AD【详解】因为，所以，又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即，所以，所以，所以为递减数列，的前n项和．故选：AD．12．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．存在使得【答案】BC【分析】利用退位相减法可得数列的通项及即可判断A选项，按照给出的定义求出即可判断B选项，数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.【详解】当时，，当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，A选项错误；则，所以，，B选项正确；当时，，假设当时，成立，当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，故，C选项正确；D选项，当时，由知不成立，当时，由C选项知：，则，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；故选：BC.【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.三、填空题13．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．【答案】2【分析】根据题意可得，直接利用等差数列前n项和公式计算即可.【详解】由题意知，，，解得.故答案为：14．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的各项均为正数，且，则___________.【答案】【分析】根据等比数列性质可得，再利用对数的运算得解.【详解】由已知得数列是各项均为正数的等比数列，则，，所以，故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.【答案】330【分析】分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.【详解】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，，故答案为：33016．（2022·全国·高三专题练习）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.【答案】【分析】找出满足条件的最小整数值为，可知满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被除余，被除余，被除余，则这个正整数的最小值为，因为、、的最小公倍数为，由题意可知，满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，设该数列为，则，由，可得，所以，的最大值为，所以，满足条件的这些整数之和为.故答案为：.四、解答题17．（2019·湖北·校联考高考模拟）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．18．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.20．（2023·全国·高三专题练习）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.【提能力】一、单选题21．（2019·湖南长沙·宁乡一中校考模拟预测）（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【详解】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（

）A． B． C．2022 D．4044【答案】A【分析】先判断函数是奇函数，再求出，再利用等差数列的前项和公式得解.【详解】解：因为是奇函数，因为，，所以，所以，所以，所以.故选：A23．（2022秋·北京·高三北京八中校考开学考试）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】由等差中项及等比中项的性质求解即可.【详解】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.24．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：，∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，由，故得，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题利用函数的奇偶性及单调性求得函数的值域，然后利用均值不等式判断与的大小关系从而进行判断．【详解】，均为偶函数，故函数为偶函数，，令，，，，故单调递增，即单调递增，又，∴在恒成立，故在函数递增，且，故函数在递减，在递增，且函数恒成立，，，成等比数列，当，均为正数时，由均值不等式有：，①，当，均为负数时，由均值不等式有：，②，由①②有：，又，，互不相等，故，故，，故选：D．26．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.【详解】由，则当时，得，两式相减得，变形可得：，又，，所以，，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.27．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列的前10项和（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.【详解】解：∵，∴，∴．∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∴．∴，∴数列的前10项和．故选:C．28．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设是公差的等差数列，如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，即可得解.【详解】由已知可得.故选：D.二、多选题29．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（

）A． B．C． D．数列的前项和为【答案】BCD【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项.【详解】对于A，，A错误；对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；对于C，当为奇数且时，累加可得，时也符合；当为偶数且时，累加可得；则，C正确；对于D，设数列的前项和为，则，又，，D正确.故选：BCD.【点睛】本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前项和，使问题得以解决.30．（2022·河北·模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析题意发现是一个等比数列，按照等比数列的性质逐一验证即可，其中B选项是化简成一个等差数列进行判断，CD两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证单调性.【详解】由题可知，；，；，由此可知，即一个等比数列；A：，A错误；B：，因为，所以该数列为递减数列，又因为当时，，所以恒成立，B正确；C：，即，两边约去得到，当时，，原式成立；当时，恒成立，所以成立，即成立，C正确；D：令，再令，令解得，因为，所以取，由此可知时；时，故为最大值，，根据单调性，即不恒成立，D错误.故选：BC31．（2022·全国·高三专题练习）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，，2此时所以，故A项正确；结合A项中列出的数列可得：用等比数列求和可得则又所以，故B项正确；由B项分析可知即，故C项错误.，故D项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.32．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）.若SA=，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为，点P到AB，AC，BC的距离分别为，那么（

）A．为定值 B．为定值C．若成等差数列，则为定值 D．若成等比数列，则为定值【答案】BCD【分析】由等面积法计算判断选项AB，由等体积法计算，并结合等差中项与等比中项的性质，判断选项CD.【详解】如图，作，由题意，根据等面积法可得，即，得，所以为定值，B正确；因为SA平面ABC，所以，又因为，，所以平面，平面，设点到平面的距离为，由等体积法可知，，即，得，因为，若成等差数列，即，所以为定值，C正确；若成等比数列，即，所以为定值，D正确；故选：BCD【点睛】一般关于三棱锥体积计算一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入棱锥的体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高或者分为多个小三棱锥的和计算；三、填空题33．（2022秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）在正项等比数列中，若，则______．【答案】2【分析】依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决．【详解】．故答案为：234．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．【答案】【分析】利用配凑法、累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】依题意，，所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.，也满足，所以，，所以.故答案为：35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则__________．【答案】##【分析