近世代数基础

近世代数主讲教师:刘兴祥延安大学数学与计算机科学学院代数与数学教育教研室二零壹叁年八月二十八日1延安大学数学与计算机科学学院

近世代数基础

(AbstractAlgebra)2学历是铜牌能力是银牌性格是金牌3挫折比顺境更重要梦想比条件更重要行动比空想更重要失败比成功更重要方向比努力更重要45678近世代数基础(AbstractAlgebra)

近世代数是以群、环、域等代数系统为其基本内容的一门数学分支.它对高等代数中的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念做了进一步的概括,加之群、环、域等代数系统具有抽象性的特点并适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理能力.因而近世代数不仅是将来学习现代代数的一个入门书,而且与几何、拓扑、泛函和有限数学等学科都有着密切的联系.910第一章

绪论11第1讲

绪论一关于代数的观念二数学史的发展阶段三代数发展的阶段(数学发展史)四代数学发展的四个阶段五几类与近世代数的应用有关的实际问题12

第二章基本概念13

第1讲集合及其之间的关系——集合第2讲集合及其之间的关系——对应关系(映射)(人造关系)

第3讲代数运算适应的规则——运算律第4讲与代数运算发生关系的映射——同态映射第5讲等价关系与分类14第1讲基本概念之集合及其之间的关系

—集合1

集合与集合元素的定义2集合与集合元素的表示符号3集合与集合元素之间的关系——属于关系4集合的分类标准及分类5集合的表示方法6集合之间的内在关系——包含关系7集合运算8运算律9特殊集合的表示符号10集合的补充说明11包含与排斥原理15第2讲基本概念之集合及其之间的关系

—对应关系(映射)(人造关系)1映射概念回忆2映射及相关定义3映射的充要条件4映射举例5符号说明6映射的合成及相关结论7映射及其映射相等概念的推广8集合及其之间的关系——特殊的映射（代数运算）9集合及其之间的关系——一一映射

16

第3讲基本概念之代数运算适应的规则

——运算律

1与一种代数运算发生关系的运算律（1）结合律（2）交换律（3）消去律2与两种代数运算发生关系的运算律（1）第一分配律（2）第二分配律17

第4讲基本概念之与代数运算发生关系的映射

——同态映射

1同态映射

2同态满射

3同构映射

4自同构映射

5举例

18

第5讲基本概念之等价关系与集合的分类

——商集

1商集2等价关系3集合的分类4集合A上的等价关系与集合A的分类之间的联系19第三章群

20第1讲代数系统第2讲半群第3讲群的定义及性质第4讲有限群第5讲子群的定义及性质第6讲群中元素的阶第7讲循环群第8讲变换群第9讲特殊子群第10讲群的同态与同构第11讲群与对称的关系21第1讲代数系统

2代数系统的举例1代数系统及子代数系统的定义22第2讲半群

1

半群、子半群、交换半群的定义及判定定理2半群的举例3半群中幂的定义及性质23

1群的第一定义

第3讲群的定义及性质

2单位元及逆元的定义

3群的第二定义

4

群的举例

5群的重要性质24

第4讲有限群

1群的分类及群的阶

2有限群的判定定理3由有限集合上代数运算的运算表观察代数运算的性质4有限集合上代数运算适合结合律的有限群举例251子群定义

第5讲子群的定义及性质2子群的判别方法3子群的性质26

1元素阶的定义

2元素阶的举例

3元素阶的性质

第6讲群中元素的阶272循环群与元素阶的关系

1循环群的定义及举例3循环群的一般形式5循环群生成元的确定定理第7讲循环群4循环群的生成元的个数定理28第8讲变换群

1变换、满变换、单变换、一一变换的定义及符号说明2特殊集合关于乘法的结论3变换群举例4特殊的变换群291循环群子群的一些结论

第9讲特殊子群2循环群概念的推广3特殊子群的几何意义探讨4子群的陪集5正规子群与商群301群的同态的定义及举例2同态的性质及结论3同构的性质及结论4循环群的构造及循环群之间的同态5同态基本定理与同构定理第10讲群的同态与同构31

第11讲群与对称的关系

1序言2几何对称3代数对称32

第四章环论33第1讲环的定义及基本性质第2讲特殊元素及性质第3讲环的分类及特殊环的性质第4讲环的特征第5讲子环、理想(主理想)及素理想和极大理想第6讲环的同态与同构第7讲特殊环第8讲商域第9讲有限域34

第1讲环的定义及基本性质

1环的定义2环的举例3环的初步性质35

第2讲特殊元素及性质

1特殊元素—零元、负元及单位元、逆元、零因子

2零因子的性质

3求环中的特殊元素——举例36第3讲环的分类及特殊环的性质

1特殊环的定义

2除环的性质

3有限环的几个相关结论

4域中元素的计算方法

5循环环的性质37

第4讲

环的特征

1环的特征的定义

2特殊环的特征(数)及相关结论

3举例38

第5讲子环、理想(主理想)及素理想和极大理想

1子环

2理想(主理想)3素理想和极大理想39

第6讲环的同态与同构

1环的同态及同构的定义2环的同态的举例3环的同态基本性质4

商环及环的同态基本定理5环的同构基本定理40第7讲特殊环

1矩阵环

2多项式环

3剩余类环41

第8讲商域

1构造域的方法

2挖补定理

3扩域定理

4扩域的形式

5商域的定义及结论

6举例42第9讲有限域43

第五章

整环里的因子分解44第1讲不可约元、素元、最大公因子第2讲唯一分解环第3讲特殊的唯一分解环45

1整环的单位定义及性质2整除的定义及性质3相伴关系的性质4不可约元5最大公因子6最大公因子、互素的概念推广到多元的情形第1讲不可约元、素元、最大公因子46

第2讲唯一分解环

1唯一分解元、唯一分解元的标准分解式、唯一分解环、非唯一分解环举例2最大公因子的存在性定理、不可约元与素元的关系定理3唯一分解环的判定定理47

第3讲特殊的唯一分解环1主理想环2欧氏环3唯一分解环上的一元多项式环4因子分解与多项式的根48第六章群论补充49第1讲共轭元与共轭子群第2讲群的直积第3讲群在集合上的作用第4讲西罗定理50

研究群内一些特殊类型的元素和子群第1讲共轭元与共轭子群

1中心和中心化子

2共轭元和共轭子群

3共轭子群与正规化子51一群的外直积

第2讲群的直积

1群的外直积的定义

2群的外直积的基本性质

3群的外直积定义的推广

4群的外直积举例二群的内直积

1群的内直积定义2群的内直积的充要条件3群的内直积定义的推广三群的内外直积52一群在集合上的作用的定义第3讲群在集合上的作用二群在集合上的作用举例1置换群在集合上的作用2群在自身集合上的作用3群的共轭变换定义了群在它自身上的作用4群在自身的全体子群的集合上的作用三X中的元素x在G下的轨道1X中的元素x在G下的轨道定义2X中的元素x在G下的轨道举例四轨道的相关结论53

第4讲西罗定理54

第一章绪论55

绪论

第一讲5657一关于代数的观念二数学史的发展阶段三代数发展的阶段(数学发展史)四代数学发展的四个阶段五几类与近世代数的应用有关的实际问题58一关于代数的观念

从人们的观念上来看,人们关于代数的观念大致有三种理解：1用字母的代数2解方程3各种代数结构的理论59

现代代数学的研究对象不再是以解方程为中心,而重点是研究各样的代数结构的代数性质以及它们之间的联系.当然,所谓代数结构实际上就是带有运算的集合.一般说来,这些运算还适合某些所希望的若干条件.

初等代数、高等代数、线性代数都称为经典代数.它的研究对象主要是代数方程和线性方程组.而现代代数学也即近世代数(又称为抽象代数),其主要内容是研究60各种代数系统(代数结构),而对于代数结构,其基本成分则是集合和集合上的映射.

而近世代数就像古典代数那样,是关于运算的学说,是计算规则的学说,但它不把自己局限在研究数的运算的性质上,而是企图研究更具一般性的元素上运算的性质,这种趋向是现实中的要求所提示的.近世代数已广泛应用于近代物理学、近代科学、计算机科学、数字通讯、系统工程等领域.61二数学史的发展阶段1萌芽阶段2初等数学阶段3高等数学阶段4近代数学阶段5现代数学阶段62三代数发展的阶段(数学发展史)63四代数学发展的四个阶段

代数学经历了漫长的发展过程,抽象代数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支.1最初的文字叙述阶段

2代数的简化文字阶段

3符号代数阶段

4结构代数阶段641最初的文字叙述阶段

古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学.此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方法.例如通过图形的组合可以得到不要认为简单的几何变换只能产生简单的代数结论,恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结论(如勾股定理与勾股数.652简化文字阶段

缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学.直到古希腊数学后期,数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化,利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式.这一时期称为代数的简化文字阶段,这一时期大致延续到欧洲文艺复兴时代.丢番图对代数学的发展做出了突出的贡献,《算术》一书是丢番图留下来的著作,该著作研究了一系列不定方程的求解问题.例如把一个平方数表为两个平方数之和的问题.后来欧拉发现了正整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件.把一个给定的整数表为四个数的和再加上这四个数的平方和.求两个有理数使它们的和等于它们的立方和,例如七分之五与七分之八等等.正是在丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上,17世纪伟大的法国数学家费马(PierredeFermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n≥3时不可解问题.19世纪费马问题的研究也是导致近世代数理想论产生的重要契机.663符号代数阶段

这一阶段是经过欧洲文艺复兴之后的好几位数学家的努力而达到(它大致在17世纪完成).它的标志是用字母表示数,这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式.较早的代表著作是德国数学家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述《综合算术》.其利用10进制小数表示实数.对代数学的符号体系做出了重要贡献的另一位代表人物是法国数学家韦达(F.Viete,1540-1603).韦达是第一个系统使用字母表示数的人,在代数、三角学等许多方面都做出了杰出的贡献.674结构代数阶段

这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算,而是抽象的运算系统(如群、环、域等)的代数结构.它起因于年轻的法国数学家EvaristeGalois(1811-1832)对代数方程式解的研究.Galois引入了群与扩域的工具,解决了高次方程的求根问题.这个问题是在16世纪中叶,两位意大利数学家G.Cardano(1506)与L.Ferrari(1545)发现了三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题.Galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径,发现根的对称性群的结构能够决定根的可解性.Galois的研究不但确立了群论在数学中的地位,同时也开创了结构代数这个新型的代数学研究方向.

在数学家们致力于解决高次方程的求根问题的同时,CarlGauss(1777-1855)为了解决Fermat问题,开始一般性的研究代数数域.他的学生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基础上引入理想数,使Fermat问题的研究推进了一步.直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论.68

1834年爱尔兰数学家WilliamR.Hamiton(1805-1865)在Gauss把复数解释为二元数这一思想的启发下创建了一种奇特的不交换的数系,后来称之为Hamiton四元数.

三大进展奠定了近世代数学的重要基础.1931年荷兰数学家B.L.van.der.Waerden出版了两卷本《近世代数学》,1955年该书第四版更名为《代数学》.这一著作标志着群、环、域等抽象结构理论已经成为现代代数学的主要研究对象,该著作同时也成为现代结构主义数学的起点.1951年美国数学家N.Jacobson又出版了新的代数学著作,书名为《抽象代数学讲义》(共三卷).因此近世代数也被称为抽象代数.69五几类与近世代数的应用有关的实际问题1项链问题2分子结构的计数问题3正多面体的着色问题4图的构造与计数问题5开关线路的构造与计数问题6数字通信的可靠性问题7几何作图问题8代数方程根式的求解问题70

1)基本问题:用黑白两种颜色的珠子做成有五颗珠子的项链,问可以做成多少种不同的项链？

2)问题解决思路:枚举法

3)问题推广:用n种颜色的珠子做成m颗珠子的项链,问可做成多少种不同类型的项链？1项链问题71数

学

表

述

把m颗珠子做成一个项链用一个正m边形来代替,其中每个顶点代表一颗珠子.从任意正m边形一个顶点开始,沿逆时针方向,依次给每个顶点标以码:1,2,3,…,m.这样的一个项链称之为有标号的项链.由于每一颗珠子的颜色有n种选择,因此由乘法原理,这些有标号的项链共有种.但是其中有一些项链可通过旋转一个角度或反转180度使它们完全重合.对于这些项链称它们为本质上是相同的.对那些无论怎样旋转或反转都不能使它们重合的项链,称之为本质上不相同的项链,即为问题所提的不同类型的项链.当n与m较小时,不难用枚举法求得问题的解答.但随着n与m的增加,用枚举法越来越难,因而必须寻找更为有效的可解决一般正整数n与m的方法.采用群论可解决此问题,且至今尚未发现其它更为简单和有效的方法.722分子结构的计数问题1)背景:在化学中研究有某几种元素可合成多少种不同物质的问题,可以知道人们在大自然中寻找或人工合成这些物质.

2)问题:在一个苯环上结合原子或原子团,问可以形成多少种不同的化合物？

3)转化:如果假定苯环上相邻原子之间的键都是互相等价的,则此问题就是两种颜色六颗珠子的项链问题.73其中:下图中外圈球右边两个每个代表一个,其余四个每个代表一个;内圈每个代表一个

.743正多面体的着色问题1)问题:用n种颜色对正六面体的面着色,问有多少种不同的着色方法？2)数学模型:为了将问题中的概念量化:设n种颜色的集合为,正六面体的面集合为,则每一种着色法对应一个映射:,反之,每一个映射对应一种着色法.

由于每一面的颜色有n种选择,所以全部着色法的总数为,但这样的着色与面的编号有关,其中有些着色可适当旋转正六面体使它们完全重合,对这些着色法,称它们为本质上是相同的.因而我们的问题转化为求本质上不同的着色法的数目.

当n很小时,不难用枚举法求得结果,如当n取2时,本质上不同的着色数为10,对于一般的情况则必须用群论方法才能解决.75

4图的构造与计数问题

1)图的概念：设称为顶点集合,是由的一些二元子集构成的集合,称为边集,则有序对称为一个图.2)图的画法:

每一个顶点用圆圈表示,对边集中的每一对元素用一条直线或曲线连接顶点与.顶点的位置及边的长短、形状均无关紧要.

76一个图可以代表一个电路、水网络、通讯网络、交通网络、地图等有形的结构,也可以代表一些抽象关系.例如:可用一个图代表一群人之间的关系,其中点代表单个人,凡有边相连的的两个点表示他们之间互相认识,否则表示不认识,则这个图就表示出这群人之间的关系.

图论中自然会涉及到某类图有多少个的问题.773)问题:画出所有点数为3的图.解决办法:首先画出3个顶点:1,2,3,在每两个点之间有“无边”和“有边”两种情况,因而全部有8种情况,每种情况对应一个图.213132123321321321321321784)推广:当点数为时,共可形成个二元子集,每个二元子集可以对应图中的边或不对应边两种情况,故可形成个图.我们观察上图中的8个图,可以发现有些图是完全相同的,如不考虑它们的顶点号,这些图可完全重合,这样的图称它们是同构的,可以看出:上图中有4个互不同构的图.那么,对于一般的情况,也即顶点数为的图中互不同构的图有多少个呢?这个问题也不能用初等方法解决.79

1)问题:一个有两种状态的电子元件称为一个开关,例如普通的电灯开关、二极管等.由一些开关组成的二端网络称为开关线路.一个开关线路的两端也只有两种状态:通与不通.我们的问题是:用n个开关可以构造多少种不同的开关线路？5

开关

线路

的构

造与

计数

问题80

2)模型：我们用个变量代表个开关,每个变量的取值为0或1且代表开关的两种状态.开关线路的状态也用一个变量来表示,它的取值也是0或1代表开关线路的两种状态.是的函数,称为开关函数,记为,其中每一个函数对应一个开关线路.3)数学计算：由于每一个函数对应一个开关线路,因而开关线路的数目就是开关函数的数目.又由于的定义域的点数目为,在定义域的每一个点上的取值有两种可能.所以全部开关函数的数目为,这就是个开关的开关线路的数目.4)总结上面考虑的开关线路中的开关是有标号的,有一些开关线路结构完全相同,只是标号不同,我们称这些开关线路本质上是相同的.要进一步解决本质上的开关线路的数目问题,必须用群论方法.

816数字通信的可靠性问题现代通信中用数字代表信息,用电子设备进行发送、传递和接收,并用计算机加以处理.由于信息量大,在通信过程中难免出现错误.为了减少错误,除了改进设备外,还可以从信息的表示方法上想办法.由数字表示信息的方法称为编码.编码学就是一门研究高效编码方法的科学.以下通过两个简单的例子说明检错码与纠错码的概念.82

简单检错码的编码方法:奇偶性检错码设用六位二进制码来表示26个英文字母,其中前五位顺序表示字母,第六位作检错用,当前五位的数码中1的个数为奇数时,第六位取1,否则第六位取0.这样编出来的码中1的个数始终是偶数个.例如:A:000011;B:000101;C:000110;D:001001……用这种码传递信息时可检查错误.当接收一方收到的码中含有奇数个1时,则可断定该信息是错误的,可要求发送者重发.因而,同样的设备,用这种编码方法可提高通信的准确度.但是,人们并不满足仅仅发现错误,能否不通过重发的办法,仅从信息本身来纠正其错误呢?这在一定程度上也可用编码方法解决.

83简单纠错码的编码方法:重复码设用3位二进制重复码表示A,B两个字母如下:A:000;B:111则接受的一方对收到的信息码不管其中是否有错,均可译码如下:

接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111

译码:A;A;A;B;A;B;B;B

这就意味着对其中的信息做了纠正.

利用近世代数方法可得到更高效的检错码与纠错码.84

古代数学家们曾提出了一个有趣的作图问题:用圆规及没有刻度和记号的直尺可做出那些图形?为什么会提这样的问题呢?一方面是由于生产发展的需要,且圆规、直尺(最初的的直尺是无刻度的)是当时丈量土地的基本工具;另一方面,从几何学观点看,古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素.据说古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性.且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本的工具.

历史上有几个几何作图问题曾经困扰人们很长时间,它们是:1二倍立方体问题作一个立方体使其体积等于已知立方体体积的二倍.2三等分任意角问题给定任意一个角,将其三等分.3圆化方问题给定一个已知圆,作一个正方形使其面积等于已知圆的面积.4n等分一个圆周

这些问题直到近世代数理论出现以后才得到完全解决.

7几何作图问题858代数方程根式求解问题

我们知道,任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解.对于一元三次和四次代数方程,故人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点.于是人们自然会问:是否任何次的代数方程的根均可用根式表示?许多努力都失败了,但这些努力促使了近世代数的产生,并最终解决了这个问题.19世纪初,法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华是法国数学家(ÉvaristeGalois,1811年10月25日－1832年5月31日,与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人.)在研究五次代数方程的解法是提出了著名的伽罗华理论,成为近世代数的先驱.但他的工作在当时未被数学家所认识,且由于且由于其它原因于21岁过早地去世了.直到19世纪后期,他的理论才有其他的数学家加以进一步的发展和系统阐述.86第一章练习题87

第二章基本概念8889

第二讲基本概念之集合及其之间的关系——集合90集合的概念是德国数学家康托尔(G.Cantor,1845-1918)于1894年所首先建立的.到现在,集合论不仅已成为数学的一个专门理论和独立学科,而且广泛地应用到数学的各个分支.

在近世代数中,不仅每章每节甚至几乎处处离不开集合,由此可见集合的重要性.但这只是问题的一方面.另一方面我们在这里讲集合主要是为了在近世代数中讲最基本的概念:群、环、域而作准备,并不是要对集合本身的理论作太多和深入的阐述.这是因为,在近世代数中只用到集合的一些初步概念,诸如子集、真子集、集合的相等、幂集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它们的简单性质,而并不用到集合理论的其它内容及知识.911

集合与集合元素的定义2集合与集合元素的表示符号3集合与集合元素之间的关系——属于关系4集合的分类标准及分类5集合的表示方法6集合之间的内在关系——包含关系7集合运算8运算律9特殊集合的表示符号10集合的补充说明11包含与排斥原理921集合与集合元素的定义集合正如像以前所学初等几何学中的点、线、面等概念一样,也是一种不加定义而可直接引入的最基本的原始概念.931.1集合定义

把随便一些对象(事物)放在一起做为一个整体进行研究的话,这个整体就叫做集合(这是描述性定义);组成集合的对象或事物叫做这个集合的元素.定义2.1941)线性方程组AX=B的解向量的集合.2)多项式f(x)的零点的集合.3)数域P上所有m行n列的矩阵的集合.4)延安市全体居民身份证号码的集合.5)延安大学数学与计算机科学学院2011级数学与应用数学专业的全体学生的集合.6)延安大学2011年西安世界园艺会志愿者的集合.7)大学生技能测试的所有项目的集合.8)延安大学2013—2014学年第一学期所有公选课的课程名称的集合.1.2集合举例例2.195集合是不能严格定义的,因为定义是用已知概念去定义未知概念,然而集合是数学中的一个最基础及最基本的概念,不能再用其它数学概念来定义,正如哲学中的物质概念一样,它只能描述而不能定义.尽管集合没有定义,但我们都能理解它是什么意思,可以说具有特定性质的抽象或具体的事物的全体称为集合.1.3集合定义的注意问题96

若干个(有限个或无限个)固定事物的全体称为集合;组成一个集合的事物称为这个集合的元素(浓度或元数).1.4集合的等价定义定义2.2972集合与集合元素的表示符号集合:大写字母表示如集合的元素:小写字母表示如983集合与集合元素之间的关系

——属于关系定义2.3994.1集合的分类标准及分类标准1:元素的个数分类:有限集合与无限集合为了集合的另外的一个分类标准,先给出一个定义.标准2:与自然数集合或其子集进行比较分类:可数集合与不可数集合定义2.44

集合的分类1004.2集合等势的判断准则定理2.11014.3集合等势的判断准则的应用例2.2例2.3例2.4对于无限集合等势的问题以下按区间(开,闭)进行举例：102103104问题1055集合的表示方法给出集合的方式,不外乎以下两种．列举法:把集合中的所有元素都描写出来(也即列出它的全部元素).但须注意列举法不仅可以表示有限集合,而且还可以表示有些有规律的无限集合.

描述法:用性质描述出集合(也即给出这个集合中的元素所具有的特征性质).定义2.5定义2.6106子集:设是两个集合,如果集合的每一个元素都是集合的元素,那么就称集合是集合的子集,记为:读作集合属于集合(集合包含集合或集合被包含于集合).6.1子集定义2.7

6集合之间的内在关系—包含关系107真子集:设是两个集合,如果集合的每一个元素都是集合的元素,但集合中至少有一个元素不属于集合,那么就称集合是集合的真子集,记作

.6.2真子集定义2.8108集合相等:如果集合与集合是由完全相同的元素组成的,就说集合与集合相等,记作

6.3集合相等定义2.9109

性质1定理2.26.4几个定义的逻辑等价式110

性质2(包含关系)定理2.36.5几个关系的自反性、反对称性、对称性及传递性111

性质3(相等关系)定理2.4112性质4(真包含关系)定理2.51137.1集合运算定义7集合运算定义2.10定义2.11定义2.12定义2.13114定义2.14定义2.15定义2.16115

7.2集合运算之关于子集之间的运算(即我们通常所说的集合运算

定义2.17定义2.18定义2.19定义2.20116定义2.21定义2.23定义2.221177.3.1文氏图的用法文氏图可以用来描述集合之间的关系及其运算.在文氏图中全集用矩形表示,子集用圆形区域表示,阴影区域表示运算结果的集合.7.3集合的图形表示—文氏图1187.3.2文氏图的特点文氏图表示法的优点是直观和形象,富有启发性,帮助我们理解各种概念和定理,所以文氏图可作为思考的出发点.1197.3.3文氏图应注意的问题但文氏图绝不能用作推理的依据,因为直观是不可靠的,只有逻辑推理才是可靠的.1207.3.4文氏图的适用范围当集合的数目较多时,文氏图将变得很复杂.也即对于集合的数目较少时,文氏图适用.1217.3.5.1A∩B

可用下图阴影部分表示BBA(B)A(2)若BA则A∩B=B(3)若A=B则A∩B=A=B(1)若AB则A∩B=AA7.3.5文氏图表示举例（例2.5）122A

BAB

A与B相切

相交的特例A∩BAA∩B

BA∩B=

AB(5)A与B分离A∩B=

(4)A与B相交 A∩BAA∩B

B1237.3.5.2A∪B可用下图阴影部分表示(1)若AB则A∪B=BBABA(B)A(2)若BA则A∪B=A(3)若A=B则A∪B=A=B124A

B(4)A与B相交

A∪BA

B

(5)A与B相切

相并的特例AB(6)A与B分离

A∪B1251261277.4元素不属于集合运算结果的判断准则定理2.61288运算律定理2.71299特殊集合的表示符号及性质第一类:空集

;全集:

空集的绝对唯一性;全集的相对唯一性;空集表示形式的多样性.130

第二类:特殊集合13110集合的补充说明集合的概念应注意以下几点：1)元素的确定性；2)元素的无序性；3)元素的互异性；4)集合可以作为元素,但是不能做为它自己的元素；5)元素与集合之间的关系是个体与整体的关系,应严加区分.13211.1包含与排斥原理的特殊形式定理2.811包含与排斥原理13311.2包含与排斥原理举例例2.6例2.7例2.8134135136137138139思考题

1)包含关系的重要性质有那些？2)相等关系的重要性质有那些？3)运算律是否成立及如何得出？4)写出集合的并、交、差这三个运算所适合的所有运算律并加以证明.1401)写出并证明包含排斥原理的一般形式.

习题2)举出包含排斥原理在现实生活中的应用实例三个.141

第三讲基本概念之

集合及其之间的关系—对应关系(映射)(人造关系)1421映射概念回忆2映射及相关定义3映射的充要条件4映射举例5符号说明6映射的合成及相关结论7映射及其映射相等概念的推广8集合及其之间的关系——特殊的映射(代数运算）9集合及其之间的关系——一一映射

143：

映射是两个集合之间建立的一种联系,也是近代数学上最基本的概念之一,我们借助“法则”来说明映射的含义.

：：

1映射概念回忆144

2.1.1映射的定义定义2.242.1映射的定义及图形2映射145

2.1.2映射的图形定义2.251462.2定义域、像、原像的定义定义2.261472.3映射与通常函数的关系1481491503映射的充要条件定理2.91514.1例2.94映射举例1521531544.2例2.101554.3从映射举例观察结论1564.4映射相等定理2.10定义2.271575符号说明158

6.1映射的合成的定义

定义2.286映射的合成1596.2映射合成的性质

定理2.11160

7.1映射的一般概念定义2.297映射概念的推广161

7.2映射相等定义2.30162

设和是任意三个非空集合,则到的任何一个映射

都称为从的一个代数运算.

8.1代数运算定义定义2.318集合及其之间的关系1631)代数运算是特殊映射；2)代数运算是具有普通计算法的特征(也即所给代数运算能够对a与b进行运算,而得到一个结果d=a⊙b.)8.2代数运算定义观察1648.3代数运算描写符号1658.4代数运算问题思考

当元素a=b时,a与b的次序对代数运算没有影响,a与b的次序可以调换,只是说a⊙b与b⊙a都有意义并且a⊙b=b⊙a.但并不是说当a⊙b与b⊙a都有意义时就有a⊙b=b⊙a.1668.5有限集合代数运算运算表167

假如是一个的代数运算,也即说集合对于代数运算是封闭的,也说是集合的代数运算或二元运算(二元合成).8.6代数运算的特例：二元合成定义定义2.321688.7代数运算的特例:二元合成举例例2.111699.1特殊映射的定义1满射的定义2单射的定义3一一映射的定义4逆映射的定义9集合及其之间的关系(特殊映射)1709.1.1满射的定义若在一个集合A到集合B的映射f之下,集合B的每一个元都至少是集合A中某一个元的像,那么f叫做从集合A到集合B的一个满射.这时有f(A)=B..定义2.33171若在一个集合到集合的映射之下,集合中任意两个不同元素在集合中的像不相同,那么叫做从集合到集合的一个单射.9.1.2单射的定义定义2.34172如果既是满射又是单射,即如果满足下列条件:1);2)那么就称是集合到集合的一个双射.9.1.3一一映射的定义定义2.35173

9.1.4逆映射的定义定义2.36--2.381749.2特殊映射的等价命题1单射的等价命题2满射的等价命题3双射的等价命题4可逆映射的等价命题1759.2.1单射的等价命题定理2.121761771781791809.2.2满射的等价命题定理2.13181证明182证明1831841859.2.3双射的等价命题定理2.141869.2.4可逆映射的等价命题定理2.151879.3一一映射的性质

。188

1)假设是一个有限集合,是一个映射,则

2)假设是一个有限集合,则

9.4有限集合上几个充要条件定理2.16;2.171899.5时的特殊映射—变换

一个A到集合A的映射叫做集合A的一个变换;一个A到集合A的满射、单射、一一映射叫做集合A的一个满射变换、单射变换、一一变换.

定义2.391909.6特殊变换—单位变换的定义定义2.401911)举出三个现实生活中映射的例子.

2)举出四个现实生活中代数运算的实例.

思考题192应用题

1)你站在某地,你的四周比你所在位置的高低能否建立一个映射呢?2)能否构造一个集合B,使得大学毕业生的集合与B之间可以建立映射?能建立一一映射吗?(注意:大学毕业生的集合你也可以规定,但不是几个人应该是一个学校或一个专业或一个县的大学毕业生的集合)3)利用体育上的由:向左转、向右转、向后转、原地不动这几个动作要领能否建立一个映射呢?193194195

第四讲基本概念之

代数运算适应的规则

—运算律196一与一种代数运算发生关系的运算律（一）结合律（二）交换律（三）消去律二与两种代数运算发生关系的运算律（一）第一分配律（二）第二分配律197问题

给一个集合赋予了代数运算后,犹如使一潭死水泛起了波澜,好比对这集合赋予了生命.

一个代数运算是可以任意规定的,但未必都会有用,即任意取几个集合,任意规定几个代数运算,很难希望得到好的结果,因而在以后所遇到的代数运算都适合一些从实际中得来的规律(结合律、交换律、分配律),分与一种运算(结合律、交换律)、两种运算(分配律)发生关系的运算律.1981结合律未必都成立例2.13例2.12（一）结合律一与一种代数运算发生关系的运算律1992结合律的定义假如对于集合上的任意三个元素来说,都有,则称一个集合上的代数运算适合结合律.定义2.412003加括号的方式(有多少种呢?)在中任意取出个元素假如我们写下这个记号这个符号在现在当然没有意义了.只有加上括号才有意义,但是加括号的步骤不止一种,假设共有种,我们把由这个步骤所得的结果用以下式子来表示:

这个式子当然未必相等,但是它们也可能相等。也未必有意义,何时有意义呢?201

4有意义的情形假如对于的任意个固定的元素来说,所有的都相等,这时就把由这些不同的加括号步骤得到的唯一结果用下式表示:

这时上式也就有意义了.2025结合律定理假如一个集合的代数运算适合结合律,那么对于的任意个元素来说,所有的都相等,因而以下的符号:也就有意义了.定理2.18203设集合上的代数运算适合结合律,则对于中的任意个元素来说,只要不改变元素的排列顺序,任何一种加括号方法计算所得的结果都相同.结合律定理的等价形式定理2.192045结合律定理的证明证明2051交换律的定义一个到的代数运算适合交换律.假如对于集合的任意两个元素

,都有

.定义2.42（二）交换律2062交换律未必都成立例2.14例2.152073交换律定理假如一个集合的代数运算同时适合结合律和交换律,那么在里,元素的次序的互换不影响运算结果。定理2.202084交换律定理证明证明209（三）消去律定义2.432101问题的提出

结合律和交换律是只同一种代数运算发生关系,而分配律是同两种代数运算发生关系的一种规律.二与两种代数运算发生关系的运算律

——分配律2112第一(左)分配律定义2.44212定理2.212133第二(右)分配律定义2.45214定理2.22215练习题1)判断下列定义在有理数集合上的代数运算是否适合结合律、交换律、左消去律、右消去律？216217218

思考题

1)现实生活中的代数运算是否都适合这三个运算律,举例说明.2)利用运算表如何判断交换律、结合律及左消去律、右消去律是否成立？219补充例2.16证明220第五讲基本概念之

与代数运算发生关系的映射

—同态映射2211同态映射2同态满射3同构映射4自同构映射5举例2221同态映射223(1)问题的提出224225226(2)举例并观察结果例2.18例2.17227(3)同态的定义定义2.462282同态满射（1）同态满射的定义定义2.47229（2）同态满射在比较两个集合上的结论

定理2.23230的等价定理定理2.23定理2.24231证明232证明233定理2.25234的等价定理定理2.26定理2.25235证明236证明237(3)举例例2.20例2.192383同构映射（1）同构映射的定义定义2.48239

2）同构映射的逆映射还是同构映射;3）同构映射的合成还是同构映射.（2）同构映射的性质定理2.27240（3）同构映射在比较两个集合上的结论定理2.28241定理2.29242的等价定理定理2.30定理2.28;2.29243

同构的两个代数系统由运算所带来的规律性是相同的,因此,同构的两个代数系统尽管可能有这样或那样的差别,但从近世代数的宗旨来看,我们自然认为:它们的差别是表面上的,次要的,而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的,主要的.于是,我们需要阐明近世代数的观点是:凡同构的代数系统都认为是(代数)相同的.（4）同构的两个集合之间关系的结论244在上述的观点下,一个代数系统经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质.于是,由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质.我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构.因此,同构的代数体系由于完全相同的代数结构.研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的的代数结构.而为了确定一个代数结构,只须让它与一个已经清楚的代数结构同构则可.245定理2.312464自同构定义2.49247同态映射同态满射单射同构映射满射自同态映射自同态满射自同构映射满射单射2485举例例2.23例2.22例2.21249例2.24例2.25250123133323333333456466656666666例2.26251例2.272526应用题某单位准备招聘一批文秘人员,为了保证录取的公平性,对考试实行保密,其方法是:报名号即试卷编号,评阅编号实行试卷编号加密得到评阅编号.

若以集合A表示试卷编号,集合B表示评阅编号,由于试卷编号与评阅编号都是数字,因而,我们提出问题:

1怎样编号就能找到(A,+)到(B,+)的同态映射吗?

2怎样编号就能找到(A,+)到(B,+)的同态满射吗?

3怎样编号就能找到(A,+)到(B,+)的同构映射吗?例2.28253

我们知道身份证编号是由0至9十个数字组成,但现在存在一个问题,我国的身份证有时出现相同的编号,你认为(在我国人口不超过20亿的情况下)身份证需要几位数字,才能使得在身份证号码的确定中(除人为的错误外)不会出现重复号码的身份证.应用题例2.29254关于身份证的相关知识我国第二代身份证由18位数字组成它包括:地址码;出生年月日码;顺序码(男用单数,女用双号);校验码.

其中:1)地址码:省(两位);市(或地区)(两位);区(或县)(两位).2)出生年月日码:出生年(四位);出生月(两位);出生日(两位).3)顺序码:顺序码(三位).4)校验码:校验码(一位).255例2.30256证明257证明258证明259证明260

第六讲基本概念之

等价关系与集合的分类261一商集二等价关系三集合的分类四集合上的等价关系与集合的分类之间的联系262

在以后除了把两个集合拿来比较外,有时在研究某一问题时常常需要对研究对象做分类,以便有条理地探讨它们的性质.例如生物中把所有的生物分为两类(界):动物界和植物界,而动物界又分为十类(门),植物界又分为五类(门),门下还要分纲、目、科、属、种等等,这些分类可有助于对生物学系统研究,再如对整数集进行研究,可把全体整数分为几奇、偶两类,同类整数具有许多共同的性质,掌握这些性质,自然可加深对整数的了解,当然,也可做其它的分类.总之,对一个集合的全体元素进行分类,是研究这个集合性质的手段,以下我们将要回答以下两个问题:1怎样才能对一个集合做成功的分类呢？

2分类的依据是什么？我们在对一般集合做每一种分类时,总存在着起支配作用的一种特殊关系.

将集合按一定的规则进行分类是研究集合的一种有效方法,而等价关系则是对于集合的分类起着重要作用的特殊关系.

引言263一商集1商集的定义2商集的举例2641商集的定义定义2.502652商集的举例例2.31266267268269270271

二等价关系

“关系”一词,我们早有接触,诸如同学关系;血缘关系;同龄关系;实数的大于关系、小于关系、相等关系;整数的整除关系等等,这里需要指出的是:就一个关系而言,它不是在每个集合上都有意义,比如同学关系在整数集合上就无意义,不是整数集合上的关系,整数的整除关系在人的集合上也无意义,不是人与人之间的关系.272

1关系的定义定义2.51273例2.322关系的举例—274例2.33275例2.34276例2.35277设上的一个二元关系,若满足下列性质:1)反射律(自反性):2)对称律(对称性):3)推移律(传递性):

3等价关系的定义定义2.522784等价关系的等价定义定义2.532795等价关系的等价定义及等价关系的定义的等价性证明定理2.32280

例2.366等价关系的举例—281282283284

例2.37285例2.38286例2.39287例2.402881集合的分类的定义定义2.54三集合的分类2892集合的分类的性质定理2.332903集合的分类举例——例2.41291例2.42292四集合上的等价关系与

集合的分类之间的联系定理2.34293证明294295定理2.35296证明297298例2.43299解300301五等价关系的性质定理2.36302例2.44解303

举例:设φ是集合A到集合B的映射,a,b∈A,规定关系:≈.a≈b当且仅当φ(a)=φ(b).

证明:≈是集合A的一个等价关系,并求其等价类.304第三章群

305306

近世代数的主要研究对象是各种各样的代数结构,即具有至少一个代数运算的集合.

群是具有一种代数运算的代数系统,它是近世代数中一个比较古老而且内容相当丰富的重要分支,在数学、物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有着广泛的应用.307第七讲

代数系统3081代数系统、子代数系统的定义及判定定理

2代数系统的举例309代数系统定义（定义3.1）某个二元运算具有交换性的代数系统的定义（定义3.2）1代数系统、子代数系统的定义及判定定理如果代数系统的运算满足交换律,则称二元运算是具有交换性的代数系统.310子代数系统的定义（定义3.3）311

带有规定⊙的集合S关于给定的规定⊙是否做成代数系统的判别方法：

1)集合S非空；

2)规定⊙是集合S上的代数(或二元)运算．代数系统的判定定理(定理3.1)312例3.12代数系统的举例313314例3.2315例3.3316例3.4317例3.5318例3.6319例3.7320例3.8321例3.9322323例3.10324325

第八讲

半群3263半群中幂的定义及性质2半群的举例1半群、子半群、交换半群的定义及判定定理327半群的第一定义(定义3.4)子半群的定义(定义3.5)1半群、子半群、交换半群的定义及判定定理328

代数系统(S,⊙)是否做成半群的判断方法就是检验代数运算⊙在集合S上是否适合结合律.半群的判定定理1(定理3.2)子半群的判定定理（定理3.3)329半群的第二定义(定义3.6)

330

非空集合S关于给定的规定⊙是否作成半群的判断方法:1)检验规定⊙是否是集合S上的代数(二元)运算；2)检验代数(二元)运算⊙在集合S上是否适合结合律.半群的判定定理2(定理3.4)331交换半群的定义(定义3.7)332半群的性质定理(定理3.5)333可换半群的性质定理(定理3.6)334例3.12

半群的举例335336例3.2337例3.3338例3.4339例3.5340例3.6341例3.7342例3.8343例3.9344例3.10345346例3.11347例3.12348运算为乘法的半群幂的定义(定义3.8)3半群中幂的定义及性质3.1半群的运算为乘法运算349运算为乘法的半群幂的性质定理(定理3.7)350运算为加法的半群幂的定义(定义3.9)3.2半群的运算为加法运算351运算为加法的半群幂的性质定理(定理3.8)352第九讲

群的定义及性质353

1群的第一定义2单位元及逆元的定义3群的第二定义4群的举例5群的重要性质354群的定义1(定义3.10)1群的第一定义355群的判定定理1(定理3.9)

集合S关于给定的规定⊙做成群的判定方法:1）集合S非空；2）规定⊙是集合S上的代数运算；3）代数运算⊙在集合S上适合结合律；4）左右方程有解.

若群G的运算⊙满足交换律,则G叫做交换群.或叫阿贝尔群,以纪念群论创始人之一的挪威数学家阿贝尔.356群的判定定理2(定理3.10)代数系统做成群的判定方法:1)规定⊙在集合S上适合结合律；2)左右方程都有解.357群的判定定理3(定理3.11)

半群做成群的判定方法:

左右方程都有解.358左右方程有解的充要条件(定理3.12)证明359群的定义1的等价定义(定义3.11)360左单位元、右单位元及单位元的定义(定义3.12)2单位元及逆元的定义361左逆元、右逆元及逆元的定义(定义3.13)362例3.1363例3.2364例3.3365例3.4366例3.5367例3.6368例3.7369例3.8370例3.10371372例3.11373群的定义2(定义3.14)3群的第二定义374375376群的判定定理4(定理3.13)

集合关于给定的规定做成群的判定方法:1)集合非空；2)给定的规定是集合上的代数运算；3)给定的规定在集合上适合结合律；

4)有单位元(注意:必须先找出单位元,再验证关系式.);5)每个元素都有逆元(注意:必须先找出每个元素的逆元,再验证关系式.)377群的判定定理5(定理3.14)

代数系统做成群的判定方法:1)给定的规定在集合上适合结合律；

2)有单位元(注意:必须先找出单位元,再验证关系式.);3)每个元素都有逆元(注意:必须先找出每个元素的逆元