7.3 正态总体区间估计

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第七章参数估计第三节正态总体的区间估计二、单个正态总体参数的区间估计四、小结一、置信区间的概念三、两个正态总体参数的区间估计

定义1：设总体的分布函数一、置信区间的概念中含有一个未知参数所有可能取值的范围），由总体的样本确定的两个统计量其中若对于给定的，使得则称随机区间是的置信水平为的置信区间，称为置信水平，分别称为的双侧置信上限和双侧置信下限.注：（1）置信区间的长度反映了估计的精度；（2）反映估计的可靠性，值越大，估计的（3）置信水平可靠性越高.而精度和可靠性是矛盾的.的含义：在随机抽样中，如果进行N次抽样，则随机得到N个区间，这N个区间中有的包含未知参数的真值，有的不包含.二、单个正态总体参数的区间估计设总体是总体的样本，分别是样本均值和样本方差，置信水平为1.正态总体均值的区间估计（1）已知时，的置信区间利用样本函数根据标准正态分布的上分位点定义，有即得到的一个置信水平为的置信区间或例1

从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滚珠直径服从正态分布，并且已知

求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间.解

计算样本均值，置信水平查表得，由此得的置信水平为95%的置信区间为即注：未知参数的置信水平为的置信区间并不是唯一的.置信区间的长度随置信水平变化.(2)未知时，的置信区间当未知时，选取样本函数由于t分布的分布曲线对称于y轴，故给定的置信水平，选取对称区间.使得即则于是置信区间为例2从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位mm）为：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8.若滚珠直径服从正态分布，求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间.解：样本均值，样本标准差，置信水平，，自由度，查表得，则的置信区间为即注：比较两例，未知时的置信区间要比已知时的置信区间长度大一些，这表明当未知条件增多，估计精度变差.2.正态总体方差的区间估计（1）已知时，的置信区间构造样本函数注：分布的分布曲线不对称，找到最短置信区间是困难的，所以仿照曲线对称情形选取区间.故有即即得到置信区间为例3

从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8.若滚珠直径服从正态分布，已知求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间.解：已知则方差的置信水平为95%的置信区间为即所以置信水平为95%的置信区间为(2)未知时，的置信区间选取样本函数选取分位点可得即置信区间为例4从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滚珠直径服从正态分布，若未知，求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间.解：样本方差置信水平自由度查表得置信区间为即三、两个正态总体参数的区间估计在实际问题中，有时需要研究两个正态总体均值或方差之间的差异问题，要讨论两个正态总体的均值差和方差比的区间估计问题.设总体是总体,的样本，样本均值和样本方差.,是总体的样本，样本均值和样本方差1.两个正态总体均值差的区间估计（1）已知时，的置信区间有有样本函数对于给定的置信水平，有即则有因此均值差的置信区间为例5比较甲，乙两种钢板的强度，从甲钢板中抽取20个样品，测得强度均值为从乙钢板中抽取25个样品，测得强度均值为设两种钢板强度服从正态分布，其方差分别为试计算两种钢板强度均值差的置信水平90%的置信区间.解：置信水平查表得数据代入得到置信区间为（2）均未知，但时，的置信区间选取样本函数其中有即置信区间为例6两批导线，从第一批中抽取4根，第二批抽取5根测得电阻如下（单位：）第一批：0.1430.1420.1430.138第二批：0.1400.1420.1360.1400138设第一批导线的电阻，第二批导线的电阻，可认为，其中都未知，计算两批导线电阻均值差的置信水平90%的置信区间.解：经计算可得查表得代入得置信区间即2.两个正态总体方差比的区间估计已知时，方差比的区间估计确定分位数有选取样本函数得到