2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测合集2套（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（

）A． B． C． D．2．若虚数z使得z2+z是实数，则z满足（

）A．实部是 B．实部是 C．虚部是0 D．虚部是3．古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数．记，，则（

）A． B． C． D．4．已知函数，则A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为5．在中，为边上的中线，，若，则（

）A． B．1 C．0 D．6．在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（

）A． B． C． D．8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（

）A． B．z的虚部为－1 C．为纯虚数 D．10．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．存在，使得 D．当时，在上的投影向量的坐标为11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若是锐角三角形，恒成立C．若，，，则符合条件的只有一个D．若为非直角三角形，则12．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则（

）A．函数在上单调递增B．若，则C．若，则的最小值为0D．若，则的最小值为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若，其中、都是实数，是虚数单位，则__________．14．已知，若记，则______．15．锐角满足，则____________.16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．四、解答题：（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知，，且．(1)求和的值；(2)求与的夹角的余弦值．18．已知函数的部分图像，如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，当时，求函数的值域．19．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）(1)求的面积；(2)求点之间的距离．20．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.21．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.(1)求；(2)求的余弦值.22．对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．记向量的相伴函数为．(1)当且时，求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．答案解析1．A【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】.故选：A.2．A【分析】设（且），计算，由其为实数求得后可得．【详解】设（且），，是实数，因此，（舍去），或．故选：A．3．B【分析】利用锐角三角函数求出，，，，再利用两角和的余弦公式计算可得；【详解】解：由图可知，，，，所以故选：B4．B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.5．D【分析】根据题意画出三角形，结合向量加减法运算法则进行计算即可.【详解】

因为,所以，即，所以.故选：D6．B【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.【详解】因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故选：B7．D【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】，因为，，所以，因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得.故选：D8．C【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，结合平面向量数量积的几何意义可求得结果.【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，且，则，所以，，故的最大值为.故选：C.9．CD【分析】根据复数运算法则化简复数后，对各个选项进行运算和判断即可得到答案.【详解】因为，所以.对于A，，故A错误；对于B，z的虚部为1，故B错误；对于C，为纯虚数，故C正确；对于D，，故D正确.故选：CD10．ABD【分析】对于A，通过向量平行的坐标计算公式计算即可；对于B，先得到，再计算向量的模即可；对于C，通过向量垂直的坐标计算公式计算得到从而判断；对于D，通过投影向量相关知识直接计算即可.【详解】对于A，若，则，得，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，若，则，，在时无解，故C错误；对于D，当时，，，在上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：ABD11．AD【分析】由正弦定理可以判断A；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B；作出示意图判断C；根据两角和的正切公式可以判断D.【详解】对A，由正弦定理可知，故选项A正确；对B，因为三角形为锐角三角形，所以，则，故选项B错误；对C，如示意图，点A在射线上，，易得，

则，即符合条件的三角形有2个，故选项C错误；对D，因为为非直角三角形，所以，整理可得，故选项D正确.故选：AD.12．BCD【分析】直接利用定义性函数和三角函数关系式的变换逐项判断．【详解】因为，所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；因为，所以，故B正确；，令，则，所以，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：BCD13．【分析】根据复数的除法以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值.【详解】因为，则，解得，因此，.故答案为.14．【分析】由向量的线性运算，求解的值.【详解】，∴，则有，∴.故15．【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.【详解】由题意可知，，又，且为锐角，所以，即.故16．【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，所以，因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以，因为，所以，得，因为，所以，所以，所以，所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，故17．(1)，(2)【分析】（1）根据向量数量积的运算法则直接计算得到，运用转化法求得的值；（2）通过向量夹角的公式直接计算即可.【详解】（1）因为，所以，即，因为，，所以，化简得，；.（2）记与的夹角为，.所以与的夹角的余弦值为.18．(1)(2)【分析】（1）根据图像求出，得到，进而由图像得到函数解析式；（2）先根据图像变化求出解析式，再用代入法求值域即可.【详解】（1）根据函数的部分图像，得，，所以．根据图像可得，，所以，又因为，所以，所以.（2）将函数的图像向右平移个单位后，可得的图像，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．由，可得，所以，所以.所以函数在的值域为..19．(1);(2)．【分析】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.【详解】（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面积为．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即点C，D之间的距离为．20．(1)(2).【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.21．(1)(2)的余弦值为【分析】(1)由条件可得，两边平方结合数量积的性质可求，(2)与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.【详解】（1）又已知为的中点，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，（2）因为为的中点，所以，又，所以,所以，，所以，又与的夹角相等，所以，所以的余弦值为.22．(1)(2)【分析】（1）先通过已知条件求得，进而求得，通过配角的方法并结合正弦差角公式求得的值；（2）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离转化为最值问题进而求得答案.【详解】（1）由题意得，向量的相伴函数为，所以∵，∴．∵，∴，∴所以（2）向量的相伴函数为当时，，即，恒成立．所以①当，即时，，所以，即，由于，所以的最小值为，所以；②当，，不等式化为成立．③当，时，，所以，即，由于，所以的最大值为，所以．综上所述，k的取值范围是恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围.2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．下列函数中，其定义域和值域分别与的定义域和值域相同的是（

）A． B． C． D．3．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知中，，则等于（

）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°5．已知非零向量，，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（

）A． B．C． D．7．已知函数，则下列说法正确的是（

）①时，的最大值为；②时，方程在上有且只有三个不等实根；③时，为奇函数；④时，的最小正周期为A．①② B．①③ C．②④ D．①④8．已知函数．若为奇函数，为偶函数，且在至多有2个实根，则的最大值为（

）A．10 B．14 C．15 D．18二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（

）A． B． C． D．10．已知函数，，则（

）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0D．设，则的解集为11．如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（

）A．的长度为B．扇形的面积为C．当与重合时，D．当时，四边形面积的最大值为12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（

）A．设，，若，则，B．设，则C．设，，若，则D．设，，若与的夹角为，则三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数可用列表法表示如下，则的值是______．12314．若，且，则z的最小值是________.15．写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________．①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3．16．在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知是同一平面内的三个向量，其中．(1)若，且，求的坐标；(2)若，且与垂直，求在方向上的投影向量．18．设函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)若且，求的值．19．如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P．(1)求；(2)若，求的余弦值，20．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①，②，③．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．21．在中，角所对的边分别为，满足．(1)求B；(2)若，点D在边上，且，，求b．22．已知函数.(1)当时，解方程;(2)若对任意的都有恒成立，试求m的取值范围;(3)用min{m，n}表示m，n中的最小者，设函数，讨论关于x的方程的实数解的个数.答案解析1．B【分析】先求出集合，再由交集求解即可.【详解】，则.故选：B.2．B【分析】求出函数的定义域和值域，逐一验证即得.【详解】函数的定义域和值域均为.对于选项，的定义域为，值域为；对于选项，的定义域为，值域为；对于选项，的定义域为，值域为；对于选项，的定义域为，值域为.故选.本题考查函数的定义域、值域，属于基础题.3．A【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【详解】命题“”为假命题，”是真命题，方程有实数根，则，解得，故选：A.4．D【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，所以，且，所以或，故选：D.5．B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若，则，，所以“”是“”成立的必要条件，若，则，，当，时，，成立，但.所以，“”不是“”成立的充分条件，所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.6．C【分析】分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半【详解】①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.7．D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.【详解】因为，所以当时，，此时函数的最大值为，命题①为真命题；当时，，方程可化为，当时，，故，由正弦函数性质可得方程在上有两个解，当时，原方程可化为，方程在上无解，所以方程在上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；当时，，，，所以，所以不为奇函数，命题③为假命题；当时，，所以的最小正周期为，命题④正确；故选：D.8．A先根据函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，求出后，再利用换元法，求出在至多有2个实根时，的取值范围，从而得到的最大值.【详解】由题意，得为的图象的对称中心，直线为的图象的一条对称轴，所以，两式相加得，又因为，所以，代入，得，因为时，，即由已知可得，至多有2个实根，即，由此可得，又因为，所以时的最大值为10，故选：A．本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意三角函数的周期性特点，同时要注意换元法的灵活运用.9．BC【分析】分析可知为钝角，利用余弦定理结合三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为，，且，则，因为为钝角三角形，故为钝角，且，解得，由三角形三边关系可得，则，故，故选：BC.10．BCD【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案【详解】对于A：，定义域为，，则为奇函数，故A错误；对于B：，定义域为，，则为奇函数，故B正确；对于C：，，都为奇函数，则为奇函数，在区间上的最大值与最小值互为相反数，必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；对于D：，则在上为减函数，，则在上为减函数，则在上为减函数，若即，则必有，解得，即的解集为，故D正确；故选：BCD11．ACD【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.【详解】解：依题意圆的半径，，，，所以的长度为，故A正确；因为，所以扇形的面积，故B错误；当与重合时，即，则，则，故C正确；因为，所以所以当，即时，故D正确；故选：ACD12．AC【分析】根据题意得：，，对于A结合向量相等理解判断；对于B、D：利用以及进行运算判断；对于C：若，则，使得．【详解】，对于A：即，则，A正确；对于B：即B错误；对于C：若，当即时，显然满足：；当即或时，则，使得，即则可得，消去得：；C正确；对于D：结合可A、B知：若，则，，根据题意得：即，可得：即D不正确；故选：AC．13．3【分析】根据表格由内向外求解即可．【详解】根据表格可知，∴．故3．14．【分析】直接利用均值不等式结合指数运算计算得到答案.【详解】∵，∴，当且仅当即，时取等号，即z的最小值是.故答案为.本题考查了根据均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．（答案不唯一）【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择，答案不唯一.【详解】由题意，函数为偶函数，所以关于y轴对称，又关于中心对称，且在上的最大值为3，所以可以取三角函数（答案不唯一）.故（答案不唯一）.16．【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求．【详解】解：因为及，所以，由正弦定理得，所以，整理得，即，所以，即，又为锐角三角形，所以，解得，故，，则，令，则，在上单调递增，在上单调递减，又，，故，即．故；．17．(1)或(2)【分析】（1）设出的坐标，根据已知条件解方程，从而求得.（2）根据向量垂直列方程，化简求得，从而求得在方向上的投影向量．【详解】（1）设，则，解得或，所以或.（2）∵与垂直，∴,∴,∴在方向上的投影向量为．18．(1)最小正周期为；单增区间为：(2)【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式化简，整体法代入性质即可求出最小正周期及单调递增区间；（2）由，可先分别求出，，代入和差的余弦公式即可求解.【详解】（1）依题意，因为，即，所以的最小正周期为．由，可得∴的单增区间为.（2）因为，即，所以，因为，所以，所以，所以．19．(1)(2)【分析】（1）以为基底表示向量，再求其数量积即可；（2）利用两向量夹角的余弦公式求得结果即可.【详解】（1）因为为的中点，所以，又，，，.（2）由两边平方得，又，，，所以，即.因为为的中点，所以，所以,，又为的夹角,所以.20．(1)作图见解析；选②做为函数模型，(2)安排早上5点至7点以及11点至18点【分析】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②做