2023-2024学年广东省广州市天河区高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年广东省广州市天河区高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知是第二象限角，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】C【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.【详解】解：因为是第二象限角，所以，所以在第三象限.故选：C.2．设，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据向量线性运算的坐标表示列式计算.【详解】根据向量线性运算的坐标表示，得.故选：A3．已知为虚数单位，则（

）.A． B．C． D．【正确答案】C【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】，故选：C.4．（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】解：因为.故选：D.5．在中，若，，，则等于（

）A． B．或 C． D．或【正确答案】D【分析】利用正弦定理以及三角形内角的范围计算求解.【详解】由正弦定理可得，，化简得，又因为，且，所以或.故选：D6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【正确答案】B【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】，只需将的图象向右平移个单位长度即可.故选：B.7．下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若与是单位向量，则【正确答案】B【分析】运用数量积的运算可判断A项、D项，对等式两边同时平方可判断B项，由零向量与任意向量共线可判断C项.【详解】对于A项，∵，∴，又∵∴或，故A项不成立；对于B项，∵，∴，即：，∴，故B项正确；对于C项，因为零向量与任意向量共线，例如：，，，则满足，，但不满足，故C项不成立；对于D项，∵，，∴，又∵不确定，∴的值不确定，故D项不成立.故选：B.8．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为()A． B．－ C． D．－【正确答案】A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]＝(1－λ)2－·＋(1－λ)··－2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵＝λ，∴λ＝.故选A.1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.二、多选题9．设复数，（为虚数单位），则下列结论正确的为（

）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．【正确答案】AD【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；对于D：，则，D正确.故选：AD10．下列各式中，结果为零向量的是（

）A． B．C． D．【正确答案】BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.11．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【正确答案】ABD【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C；利用两角差的正切公式即可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.12．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则A． B． C． D．【正确答案】AD【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解.【详解】.整理可得:可得为三角形内角,故A正确，B错误.解得,由余弦定理得解得,故C错误，D正确.故选:AD.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.三、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是_______．【正确答案】先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数.【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周，所以转过的角的弧度数是.故本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．已知，若，则________.【正确答案】【分析】根据复数相等列式求解.【详解】根据复数相等，列式得，解得，所以.故15．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为___________.【正确答案】【分析】利用投影向量的定义化简即可求解.【详解】解：由题意可知，又因为，所以在方向上的投影向量为.故16．如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．【正确答案】【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.【详解】延长交于点，因为，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，则，所以时，取最小值.故答案为.四、解答题17．已知复数.(1)若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；(2)求的取值范围.【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）化间，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算即可；（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）解：化简得，所以在复平面中所对应的点的坐标为：，又因为此点在直线上，所以，解得；（2）解：因为，所以的取值范围为.18．已知，均为锐角，，.(1)求的值；(2)求的值.【正确答案】(1)(2)【分析】运用二倍角公式、同角三角函数平方关系、配凑角及差角公式求解即可.【详解】（1）由题意知，，（2）∵、为锐角，∴，又∵，，∴，，∴.19．设x，，向量，，，且，．(1)求x，y的值；(2)求的值．【正确答案】(1)，(2)10【分析】（1）根据向量垂直、平行的坐标表示即可求解；（2）由（1）知，从而计算，再根据模长的坐标公式即可求解.【详解】（1）若，则，且，得且.（2）由（1）可知，，则，则.20．已知，，．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【正确答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的单调递减区间为，；由可得：当时，函数取得最小值为当时，函数取得最大值为故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．21．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.(1)求点到点的距离；(2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.【正确答案】(1)；(2)当时，面积取最小值.【分析】（1）连接，在中，由余弦定理求解的值；（2）由三角形面积公式和，可推出，再结合基本不等式求解的最小值，从而求解出面积的最小值.【详解】（1）连接，在中，因为，，，所以，由余弦定理得，，所以，即点到点的距离为.（2）由，，，化简得，当且仅当，即时取等号，，故当时，三角形面积最小，最小值为.22．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求证：；(2)求的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解【详解】（1）由余弦定理得，∵，∴∴∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴（2）由（1）得，∴，∵，又，∴，∴，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，∴的取值范围为．2023-2024学年广东省广州市天河区高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数A． B． C． D．【正确答案】B【详解】试题分析：因为,由题意可得,解得.故B正确.复数的运算.【易错点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和的性质，属于容易题．解题时一定要注意和运算的准确性.当复数为纯虚数时一定要注意其实部等于0,虚部不等于0,否则极易出错.2．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（

）A． B．为实数0 C．与方向相同 D．【正确答案】D【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.故选：D.3．在中，，则为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.【详解】由正弦定理可得：，而，所以，则，即易知，所以在三角形中，所以.故选：C.4．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是，则其侧棱长为．A． B． C． D．【正确答案】B三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，即可求出其侧棱长．【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是，所以球的半径为1，所以正方体的对角线的长为2，设侧棱长为a,则.所以侧棱长为．故选．本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题．5．在中，，，为边上一点，且满足，此时，则边长等于（

）A． B． C．4 D．【正确答案】D【分析】本题首先可以结合题意绘出图像，然后根据求出、长，再然后在中通过余弦定理求出，最后在中通过余弦定理即可求出长.【详解】如图，结合题意绘出图像，因为，，所以，，因为，所以，在中，，即，解得或（舍去），，在中，,即，解得，故选：D.关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，主要考查余弦定理解三角形，考查的公式为，考查计算能力，是中档题.6．如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】首先利用平行关系，作出截面，再求截面面积.【详解】取中点G，中点H，则△AGH就是平面a被正方体ABCD—截得的截面，其中，，GH边上的高为，所以△AGH的面积.故选：D7．平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，由题意可得出，由此可求得实数的值.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、，，，，所以，，，，则，因此，.故选：A.关键点点睛：本题考查利用平面向量垂直求参数，解题的关键就是选择合适的位置建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解.8．如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【正确答案】D【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值．【详解】依题意可得如下图形，

在中，，，，由正弦定理得，解得，在中，，所以，所以红豆树的高度为千米．故选：D．二、多选题9．已知复数z满足，则下列结论中正确的是（

）A．z没有实部 B． C． D．【正确答案】BCD【分析】先根据复数的除法运算法则化简复数，结合复数实部的定义、共轭复数、复数的乘方法则、复数模的运算公式逐一判断即可.【详解】因为，所以，所以z的实部为0，，，.故选：BCD10．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（

）A． B．C． D．【正确答案】AD【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别判断即可【详解】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故选：AD.此题考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题11．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，则（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量为【正确答案】BD【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，设，根据求出，即可确定点位置，从而判断A、C，根据即可判断B，再根据向量数量积的坐标表示及向量模的坐标运算判断D；【详解】解：由题意知，为的中点，，以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，，，设，，则，，因为，所以，解得，即为的中点，即，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：，，所以因为，故C错误；对于D：因为，，在方向上的投影为，所以在方向上的投影为，故D正确．故选：BD．12．下列说法正确的有（

）A．若一个圆台的上，下底面半径分别为，，则其内切球的表面积为B．正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为C．已知边长为的菱形中，，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为D．正三棱锥的所有棱长均为，其外接球体积为【正确答案】AC【分析】画出球内切于圆台、正三棱锥的轴截面，利用图形中的长度关系可求出球的半径，即可判断A；分别取线段，，的中点为，，，即可得到经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，求出其面积可判断B；根据平面图形的原图形与直观图面积的关系可判断C；将三棱锥放到棱长为的正方体中，则正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算即可判定D．【详解】对于A，球内切于圆台的轴截面如图：

其中，，，，为球的直径，球的半径为，其表面积为，故A正确；对于B，分别取线段，，的中点为，，，

则经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，其边长为，面积为，故B错误；对于C，边长为1的菱形中，，菱形的面积为，用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为，故C正确；对于D，正三棱锥的所有棱长均为，此三棱锥一定可以放在正方体中，

我们可以在正方体中寻找此三棱锥，如图所示三棱锥．正方体的棱长为．此正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为，外接球的体积，故D错误．故选：AC．三、填空题13．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．【正确答案】【分析】根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，，所以，所以的周长为.故答案为.关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.14．已知正方形的边长为，边，的中点分别为，，则________．【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可.【详解】以为原点，，方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，，∴，，，∴，∴.故答案为.15．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.【正确答案】4【分析】写出侧面积表达式，求出，即可得圆台的母线长．【详解】解：，，．故416．已知平行四边形，，，为锐角，且，点是边上一定点，点是边上一动点，若恒成立，则______．【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出动点的坐标，计算的最小值，即可求出点的坐标，从而求出的值．【详解】平行四边形中，，，为锐角，且，所以，建立平面直角坐标系，如图所示：

因为，解得，又因为，解得，所以；又，，，设，，则，，所以，当时，取得最小值为，此时，若恒成立，则，所以．故．四、解答题17．已知复数z满足，其中i是虚数单位，a为实数．(1)若，求实数a的值；(2)若复数对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【正确答案】(1)或(2)【分析】（1）根据方程求出，然后利用复数的模长公式，解出即可；（2）首先求出，然后根据复数对应的点所在象限列出不等式，求出的范围.【详解】（1）由，得，所以．因为a是实数，所以，所以，解得或．（2）由（1）得，因为复数对应的点在第四象限，且a是实数，所以解得，所以实数a的取值范围是．18．设，，向量，，，且，．(1)求；(2)求向量与夹角的大小．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解，的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角．【详解】（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，则，则；（2）因为，，所以，，设向量与夹角为，则，故，即向量与夹角为．19．如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．(1)证明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．【正确答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理即可求证，（2）根据余弦定理得，进而可得,，根据比例即可由面积公式求解.【详解】（1）在中，由