2023-2024学年广东省广州市高一下册期中数学质量检测模拟试题 合集2套（含解析）

2023-2024学年广东省广州市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．是虚数单位，复数等于（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，故选：C．2．下列四个命题正确的是（

）A．所有的几何体的表面都能展成平面图形 B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等C．棱柱的各条棱长度都相等 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面【正确答案】B【分析】根据球的表面特征判断A，根据棱锥的结构特征判断B，根据棱柱的结构特征判断CD.【详解】对于A，球的表面不能展成平面图形，错误；对于B，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，正确；对于C，棱柱的各条侧棱长度都相等，但是侧棱长度与底面中的棱长不一定相等，错误；对于D，正六棱柱中，相对的两个侧面互相平行，但它们不是正六棱柱的底面，错误；故选：B3．已知两点，，则与向量同向的单位向量是（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】由平面向量的坐标表示与单位向量的概念求解即可.【详解】由，，得，则，所以与向量同向的单位向量为.故选：D4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则角A为（

）A． B． C．或 D．【正确答案】D【分析】由正弦定理求解.【详解】由正弦定理，得，又，所以，所以为锐角，所以．故选：D．5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则b的取值是（

）A． B． C． D．3【正确答案】D【分析】由余弦定理列方程求解．【详解】由题意，即，解得（舍去），故选：D．6．已知向量，满足，，，则（

）A．1 B． C． D．【正确答案】C【分析】结合已知条件，首先对两边同时平方求出，然后利用数量积夹角公式求解即可.【详解】因为，，，所以，即，故.故选：C.7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有，所以.该圆锥的底面积与侧面积比值为.故选：A.8．平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（

）A．13 B．7 C．14 D．【正确答案】C【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案.【详解】如图，由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，因为，又，所以，所以的最大值为.故选：C.二、多选题9．已知i是虚数单位，复数，则以下说法正确的有（

）A．复数的虚部为i B．C．复数的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点在第三象限【正确答案】BD【分析】由复数的定义判断A，复数模的定义判断B，共轭复数定义判断C，复数的乘方与复数的几何意义判断D．【详解】复数的虚部是，A错；，B正确；，C错；，对应点坐标为，在第三象限，D正确．故选：BD．10．下列四个命题正确的是（

）A．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内D．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行【正确答案】AC【分析】由线面平行的性质定理判断A，由平面的基本性质判断BC，由空间直线的位置关系判断D．【详解】选项A，若直线平行平面，则过直线的平面与的交线都与平行，这样的交线有无数条，A正确；选项B，当空间三点共线时，过这三点有无数个平面，B错；选项C，两两相交且不过同一点的三条直线，如图，直线两两相交，交点分别为，则点不共线，因此由这不共线的三点确定一个平面，从而可得这三条直线都在平面内，即它们共面，C正确；选项D，若空间两条直线不相交，这两条直线平行或异面，D错．故选：AC．11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，下列结论正确的是（

）A．是钝角三角形 B．C．若，则的面积是 D．【正确答案】ABC【分析】由余弦定理求得角大小，判断A，根据数量积的定义判断B，由三角形面积公式判断C，结合正弦定理判断D．【详解】由题意，设，则角最大，，是三角形内角，则是钝角，A正确；由选项A知为锐角，，B正确；，则，，C正确；由正弦定理得，，D错误；故选：ABC．12．已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为C．存在，使得D．的最大值为【正确答案】ACD【分析】若，可求得,即，从而可得的值，故A正确；若在上的投影模为，且，则或，故B不正确；对化简运算即可计算得当向量与的夹角为时，，故C正确；可得的最大值为，故D正确.【详解】若，则，则，可知，再由，解得，故A正确；若在上的投影向量的模为，且，则或，故B不正确；若，若，则，即，故且时故，时，C正确；，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选:ACD.本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于较难题.三、填空题13．已知一个球的半径为R，其体积的数值和表面积的数值满足关系，则半径______．【正确答案】【分析】利用球的表面积公式和体积公式即可求解【详解】因为，所以，解得，故14．已知中，，，，是的角平分线，则________．【正确答案】/【分析】由余弦定理结合角平分线性质求解．【详解】设，因为是角平分线，则，又由已知得，同理，∴，解得．故．15．已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为________．【正确答案】【分析】根据复数的几何意义求复数的对应点的坐标，由条件列不等式求的取值范围.【详解】因为，所以复数在复平面上的对应点的坐标为，由已知可得，，由可得，由可得或，所以，所以实数的取值范围为，故答案为.16．如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为________．【正确答案】【分析】利用向量的坐标表示求解．【详解】如图，延长交轴于，由已知，，，由题意，，，又，所以，，所以点坐标为．故．四、解答题17．已知i是虚数单位，，．(1)求；(2)若满足，求实数a，b的值【正确答案】(1)；(2)，．【分析】（1）由复数的乘法法则计算；（2）根据复数相等的定义求解．【详解】（1）由题意；（2）由已知，，又，∴，解得．18．已知向量，．(1)若，求k的值；(2)若，求k的值．【正确答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量平行的坐标表示求解；（2）由向量垂直的坐标表示求解．【详解】（1）由已知，，∵，∴，解得；（2），∵，∴，解得．19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的周长的最大值．【正确答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化角为边，由余弦定理求得；（2）由正弦定理用表示出，计算，利用两角和与差的正弦公式化简变形，再由正弦函数性质得最大值．【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，所以，是三角形内角，则；（2）由（1），则，由正弦定理得，，，，，则，，所以．时，取得最大值．20．为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线AC开通一条穿山隧道．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，且测得，，.用以上数据（或部分数据）表示以下结果.(1)求出线段PB的长度；(2)求出隧道DE的长度．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由条件求出角，在中由正弦定理即可得结果；（2）在中由正弦定理求出，从而求解得.【详解】（1）由题意，，，所以，，又，，在中，由正弦定理得，即，解得；（2）因为，，所以，，又由（1）知，，在中，由正弦定理得，所以，即，所以.21．如图，在四边形中，，．(1)若，，求；(2)若，，，求．【正确答案】(1)2(2)【分析】（1）用表示出，然后由数量积的运算律及定义计算；（2）先求得，然后平方后转化为数量积求模．【详解】（1）由题意，∴；（2）由已知，，∴．22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【正确答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角为边后，再由余弦定理可求得；（2）由正弦定理化角为边，代入（1）中结论化简后，得出，由锐角三角形得，化简后可得的取值范围，然后利用函数的单调性的范围，从而得出结论．【详解】（1）∵由正弦定理和余弦定理得,整理得，，又是三角形内角，∴；（2）为锐角三角形，则，，∴，又，，，，则，，设，，则，则，因此当时，，，，单调递减，当时，，，，单调递增，，当时，，当或时，，∴，∴，即．2023-2024学年广东省广州市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数纯虚数，则实数（

）.A．0 B． C．1 D．2【正确答案】B【分析】根据纯虚数的定义列方程求即可.【详解】∵复数为纯虚数，，，.故选：B.2．已知是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数（

）.A．2 B． C．4 D．【正确答案】D【分析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.【详解】由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，又，，即，∴，∴，所以，故选：D.3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．3【正确答案】A【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：A.本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.4．已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【正确答案】D【分析】根据平面向量数量积坐标运算公式以及向量模的坐标表示，列出关于的方程，从而可得结果.【详解】因为向量，，所以，，又，所以，所以，即.故选：D.5．若复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据复数的运算化简，求出，即可得出的虚部.【详解】因为，所以，故的虚部为.故选：B.6．如图，在中，弦AB的长度为2，则的值为（

）.A．与半径有关 B．1 C．2 D．4【正确答案】C【分析】设圆C的半径为r，，则，然后可得答案.【详解】设圆C的半径为r，，连接圆心与线段的中点，则，所以，∴.故选：C.7．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】分别在和中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故选：C8．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（

）A．3 B．4C．5 D．6【正确答案】A【分析】由向量共线的推论知且，结合已知有，再由重心的性质有，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.【详解】由题意且，而x＝，y＝，所以，又G是△ABC的重心，故，所以，可得，即.故选：A二、多选题9．实数满足，设，则下列说法正确的是（

）A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．C．z的虚部是 D．z的实部是1【正确答案】ABD【分析】由条件结合复数相等的定义列方程求，由此可得，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.【详解】实数满足，可化为，所以，解得，所以，对于A，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.10．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得B．在中，若，则点为边上的中点C．已知，均为非零向量，若，则D．若且，则【正确答案】ABC【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，B选项，，根据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.C选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.故选：ABC11．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，，则直线a平行于平面内的无数条直线B．若，，，则a与b是异面直线C．若，，则D．若，，则一定相交【正确答案】AC由题意得出或，不管是哪一种情况，都能在平面内找到无数条直线与直线平行即可判断A选项；由题意得出直线与b没有交点，则与b可能异面，也可能平行，即可判断B选项；由，得出直线与没有公共点，则，即可判断C选项；当直线平行时，也满足题意，即可判断D选项.【详解】A中，，，则或，所以不管在平面内还是平面外，都有结论成立，故A正确；B中，直线与b没有交点，所以与b可能异面，也可能平行，故B错误；C中，直线与平面没有公共点，所以，故C正确；D中，直线与平面有可能平行，故D错误.故选：AC本题主要考查了直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题.12．现有满足，且的面积，则下列命题正确的是（

）A．周长为 B．三个内角A，C，B满足关系C．外接圆半径为 D．中线的长为【正确答案】AB【分析】由已知可得，可得，利用余弦定理求，再求，结合面积公式求，可得周长，结合正弦定理可得外接圆半径，由此判断A，B，C，结合余弦定理求中线长，判断D.【详解】因为，所以，设，则，所以，又，所以，又，所以，B正确；因为，所以，所以，所以，所以周长为，A正确；设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以外接圆半径为，C错误；由余弦定理可得，，由，可得，由已知，所以，所以，所以，中线的长为，D错误；故选：AB.三、填空题13．已知平面向量，若，则__________.【正确答案】0【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为，所以，又，所以，解得；故四、双空题14．已知是关于x的方程的一个根，则实数________，实数________.【正确答案】【分析】由条件可得，根据复数相等定义列方程求即可.【详解】∵方程的一个根，∴即.∴解得.故；.五、填空题15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．【正确答案】【详解】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．几何体的体积的计算．16．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.【正确答案】【分析】由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值.【详解】因为，为的角平分线，所以，又，故由三角形面积公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为.故答案为.知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.六、解答题17．已知平面向量，，，．(1)求；(2)若，求实数k的值．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据列方程求得，进而求得.（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.【详解】（1）因为，，且，所以，则，故．又因为，所以，故．（2）由（1）及条件，．因为，所以，解得．18．在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面积为，求的值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理求解即可；（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意在中，，，，由正弦定理可得.（2）由，，，即，解得，由余弦定理，可得.19．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形.(1)求该几何体的体积（单位：）；(2)求该几何体的表面积（单位：）.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）求出球体的半径，圆锥的底面半径、母线长以及