能力专题15运算求解能力（教师版）

能力专题15运算求解能力运算求解是高中数学核心素养之一，是依据运算法则解决问题过程中的基本能力。高考考查目标是要求学生正确理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。通过本专题的复习要在运算求解的过程中,注意多算多思增强数学运算能力；注意有效借助运算方法解决实际问题；注意通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，注意运算中形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。运算求解是高中数学核心素养之一，是依据运算法则解决问题过程中的基本能力。高考考查目标是要求学生正确理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。通过本专题的复习要在运算求解的过程中,注意多算多思增强数学运算能力；注意有效借助运算方法解决实际问题；注意通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，注意运算中形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。专题中两个探究（变形中的运算技巧、建系解决几何问题）从两个方面阐述了计算的地位和作用。只要通过练习、比较、反思就能找到最佳的运算方法和运算方向，就能最快最准的解决问题。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：定义、公理公式及其变形中的运算技巧【典例剖析】例1.(2022·广东揭阳市·联考)已知椭圆x29+y2b2=1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，过点F1且不与x轴重合的直线l交椭圆于A，B(1)求椭圆的标准方程．(2)求△ABF选题意图:选题意图:圆锥曲线是历年高考的必考内容，小题和大题均会考查，正确解答圆锥曲线问题的一个前提是解决好数学运算的基本功，有时巧妙设定直线方程，可以避免分类讨论，利用韦达定理时注意优化运算过程的方法（例如利用点差法设而不求，面积转化法，化齐次方程等），本题第2问提供两种解法，运算量形成对比，法一明显优越于法二.思维引导：(1)由直线l垂直x轴时，|AB|=83，求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

(2)方法一、设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程x=ty-5，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得|y1【解析】解：1由直线l垂直x轴时，AB=83，

可设A-c,43，B-c,-43，

由c29+169b2=1b2+c2=9，解得b=2c=5，

所以椭圆的标准方程为x29+y24=1；

2法1：设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l的方程为x=ty-5，

联立x=ty-5x29+y24=1，消去x并化简得4t2+9y2-85ty-16=0，

由韦达定理得y1+y2=8AB=(x1-x2)2+(y=24≤245×145=6，

当且仅当41k2+1=51k2+1即k=±2时等号成立，【变式训练】练11.(2022·辽宁省·模拟)设a=log35，b=log57，则A.2b-1-2a1+a B.2b-2-a1+a C.2ab-1-2a1+a【答案】D

【解析】解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log3练12.(2022·江苏扬州市·月考)分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为U=kcq21R+1R+x1-x2-1R+x1-1R-x2，其中，kc为静电常量，A.kcq2x1x2【答案】D

【解析】解：U=kc≈kc故选：D．练13.(2021·湖北荆州市·模拟)已知函数f(x)=sin (2021x+π4)+cos (2021x-π4)的最大值为M，若存在实数m,n，使得对任意实数A.π2021 B.2π2021 C.4π【答案】B

【解析】解：f(x)==sin当2021x+π4=2k1π+当2021x+π4=2k2π-依题意，存在实数m,n，使得对任意实数x，总有f(m)⩽f(x)⩽f(n)成立，f(m)=-2,f(n)=2，M⋅|m-n|=2|2k1,k2是整数，2(k故选：B．【规律方法】1.牢固掌握运算所需要的概念、性质、公式、法则、定理等是进行数学运算的基础，对公式、法则的使用做到会顺用、逆用、变形用.2.圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其包含的几何性质，灵活运用性质，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便.圆锥曲线中未知直线的巧妙设置，可以避开分类讨论，运算过程中巧妙使用点差法设而不求，面积转化法，化齐次方程等，可以简化复杂的计算.3.三角函数部分公式的正用、逆用与变形用主要是从公式的结构方面着手考虑问题的，因此必须要熟悉每个三角公式的特点，同时解题时要善于观察所给三角函数式的结构特点与已知公式的结构的差异，在局部上寻求共同点.探究2：建系解决几何问题【典例剖析】例2.(2022·湖北·联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=23，2a-c=2bcosC．(1)求B；(2)如图，圆O是△ABC的外接圆，延长AO交BC于点H，过圆心O作OG⊥OA交BC于点G，且OG=3.求选题意图:选题意图:解三角形是历年高考必考内容，小题和大题都有可能考查，解题过程常结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，数学运算量一般较大，需要具备较好的运算求解能力。本题第2问提供两种解法，法一为常规解法，按部就班就能解决运算量较大，法二通过建系，利用向量共线的坐标运算使求解问题得到简化，运算量减少.思维引导:(1)由2a-c=2bcosC，根据正弦定理，运用“边化角”，结合sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，求解出cosB的值即可得出B；

(2)解法一：在△COG中，由余弦定理得出CG，再由正弦定理得出sin∠CGO，在△OGH中求解OH即可；

解法二：以O为原点，以OA，OG方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，得出G，C【解析】解：(1)因为2a-c=2bcosC，由正弦定理，得2sinA-sinC=2sinBcosC，

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得2cosBsinC-sinC=0，

由0<C<π，得sinC≠0，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．

(2)由正弦定理，得OA=OC=12×ACsin B=12×23sin π3=2．

由B=π3，得∠AOC=2π3．

解法一：由OG⊥OA，得∠GOC=5π6．

在△COG中，由余弦定理，得CG2=OC2+OG2-2OC×OG×cos 5π6=13，所以CG=13．

由正弦定理，得OCsin∠CGO=CGsin∠GOC，

则sin∠CGO=OC×sin∠GOCCG=【变式训练】练21.(2022·湖北·月考)在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若AC=2CB，则阴影部分与最大半圆的面积比为(

)A.1081 B.2081 C.4【答案】B

【解析】解：设BC=2r，则AC=4r，AB=6r，

记最大半圆的圆心为O，AC的中点为O1，CB的中点为O2，

两个内切圆的圆心分别为O3，O4．

建立如图所示的坐标系，

C(0,  0)，O1(-2r,  0)，O(-r,  0)，O2(r,  0)，

设O3(-a,  t)，O4(b,  v)，

则(2r+a)2-(2r-a)2=t2，得t=22ar，所以O3(-a,  22ar)，

由圆O与圆O3内切，得(-a+r)2+(22ar)2练22.(2022·全国·联考)在正三角形ABC中，M为BC中点，P为三角形内一动点，且满足PA=2PM，则PAPB最小值为(

)A.1 B.64 C.22【答案】D

【解析】解：以M为坐标原点，MC，MA正方向为x，y轴，建立平面直角坐标系，

不妨设正三角形ABC的边长为2，则A0,3，M0,0，B-1,0，

设Px,y，则PA2=x2+(y-3)2，PM2=x=41+2x+1x2+y2=41+2x+11-233y=41-3(x+12)y-32;

当x=-12时，PA2PB2=4，∴PAPB=2;

当x≠-练23.(2022·湖北襄阳市·月考)在平面内，定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅A.434 B.494 C.47+6【答案】B

【解析】解：由|DA|=|DB|=|DC|，可得D为△ABC的外心，

又DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA，

可得DB⋅(DA-DC)=0，DC⋅(DB-DA)=0，

即DB⋅CA=DC⋅AB=0，

即有DB⊥CA，DC⊥AB，可得D为△ABC的垂心，

则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．

由DA⋅DB=-2，即有|DA|⋅|DA|cos120°=-2，

当sin(θ-π6)=1，即θ=2π3时，|【规律方法】1.数形结合思想通过“以形助教，以数解形”