微积分在电磁学中的应用

微积分在电磁学中的应用1引言微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一,它是用一种运动的思想看待问题,使我们研究变量更加容易.微积分是与应用联系着并发展起来的,它在诸多学科中都有着广泛的应用,并发挥着重要的作用,在电磁学方面微积分也对其产生了深刻的影响.本文对使用微积分求某些物理量诸如电场强度、电通量、磁感应强度、电势、感应电动势等进行分析来阐明微积分的应用.其基本思想是先把一种复杂的带电体分割成无穷多个电荷元,再求出每一部分对应的值最后运用积分求总值.其中涉及了定积分,二重积分等方面的内容在电磁学中的应用.特别是在计算积分时应建立适宜的坐标系,拟定积分微元,对的写出被积函数以及上下限等.本文就微积分在电磁学中的应用的某些具体实例进行探讨,以阐明微积分应用之广泛.2电场中微积分的应用2.1有关电场的理论 2.1.1场强比值是一种无论大小和方向都与试探电荷无关的矢量(其中是两点电荷间的互相作用力,是很小很小的点电荷,为试探电荷.),它是反映电场本身性质的,我们把它定义为电场强度,简称场强,用来表达,即,用文字来表达就是：某处电场强度定义为这样一种矢量,其大小等于单位电荷在该处所受电场力的大小,其方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致.2.1.2场强叠加原理如果是几个电荷共同作用于此点,则场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场强度的矢量叠加,这也就是电场强度的叠加原理.2.1.3电荷的体密度，线密度,面密度电荷的体密度,就是单位体积内的电荷.取一体积元包含点,设在内全部电荷的代数和为,则点电荷的体密度定义为=,应指出的是这里的“”是一种数学上的抽象,事实上只要在宏观上看起来足够小就行了.电荷的线密度,它的物理意义是单位长度内的电荷.如果电荷分布在某根细线或细棒上,在数学上可这样解决,设细线的截面积为,电荷的体密度为.在细线上取长度为的一段,它的体积为,其中包含的电荷量便是△q=.构想,,但是保持它们的乘积为一有限值,则,或=,称为电荷的线密度,在数学上能够写成=.电荷的面密度,它的物理意义是单位面积内的电荷.在数学上,我们能够把一种导体的表面层的厚度视为,层内电荷的体密度为.取面积为的一块表面层,它的体积是,其中的包含电荷量有,构想,,但是保持他们的乘积=为一有限值,则,或=,称为电荷的面密度,在数学上能够写成=.2.2电场中微积分的应用举例例1均匀带电细杆,长,带电荷,求其中垂面上距杆为的电场强度.图1解由于细棒有关其中垂面对称,因此求均匀带电细杆中垂面上的场强分布时,只需求细棒的中垂面与纸面交线为中垂线上任一点点处的场强即可.很显然,直接运用公式(其中是单位矢量)求处的场强是不能够的.在本例题中,能够把电荷当作在带电细棒上的持续分布.选用棒的中点为原点取坐标轴沿细棒向上,将整个细棒分割成一对一的线元,线元距点距离为，点距点距离为,其中每对线元和对于中垂线对称,所产生的元场强和也有关中垂线对称.它们在垂直于方向上的分量互相抵消矢量和为零,在中垂面上(称为方向)场强大小为2.这时就能够用得出,由题及上图可知,带电细棒的线密度,线元的带电量为,线元距点的距离为,,因此,细棒在点的总场强是全部这样一对对场强和的矢量和,方向为方向.由于电荷是持续分布的,求和事实上是沿细棒积分.令细棒在轴所在平面与细棒的中垂面线上任一点处的场强为,则根据以上的分析.3电通量中微积分的应用 3.1有关电通量的理论3.1.1当所取的面与该处场强垂直时,电通量.3.1.2当所取的面与该处场强不垂直时,通过一面元的电通量定义为该点场强的大小与在垂直于场强方向的投影面积=的乘积,其中是面元的法线矢量与场强的夹角.3.2有关电通量的计算中微积分的应用举例例2求通过包围点电荷的同心球面的电通量.解以点电荷所在处为中心,任意长为半径做一球面,根据库仑定律,在球面上各点场强大小同样——E=,场强的方向沿半径向外辐射.在球面上任意取一面元,其外法线矢量也是沿半径方向向外的,即和的夹角,因此通过的电通量为==,通过整个闭合球面的电通量为：.4电磁感应中微积分的应用4.1有关电磁感应的理论我们懂得载流导线产生的磁场的基本规律是毕奥-萨伐尔定律,写成微分的形式,则有.整个闭合回路产生的磁场是各电流元的迭加.4.2有关电磁感应计算中微积分的应用举例例3考虑在直导线旁任意一点的磁感应强度.图2解将本题中的直导线分割为许多无穷小的电流元,根据右手定则可知任意电流元产生的元磁场的方向都一致,垂直纸面对里.根据毕奥-萨伐尔定律的微分形式,可知任一电流元在直导线旁任一点处的磁感应强度,由图可知为到直线的距离即,又由于整根导线在点产生的磁感应强度方向相似,因此直导线在点产生的总磁感应强度的大小就是的代数和,,而=,由于电流元足够小,并且分割成为无穷多个小的电流元,因此求和号能够变成积分号,因此对于直导线来说=（*）如图2所示,为求积分我们能够将对电流元长度的积分转化成对角度的积分.设到距为,则=则,,,代入（*）式得==式中,是导线两端处角的数值.5电势中微积分的应用5.1有关电势的理论静电场中任意一点的电势等于把单位正电荷从该点沿任意途径移动到电势为零的参考点的过程电场力做的功.或静电场中任意一点的电势为电场强度沿任意途径从点到的参考点的线积分,即.5.2有关电势计算中微积分的应用举例例4求点电荷电场中的电势分布.解设无穷远处为电势零点,在电场中的分析我们懂得,点电荷的电场分布,有,根据电势的定义,在点电荷的电场分布中,任一点的电势为.当场源电荷,电场中各点的电势都为正值,并且离越远,电势越低,在无限远处电势为零,无限远处的零电势是正电荷电场中电势的最小值.若,电场中各点的电势为负值,并且离越远,电势越高,无限远处的零电势是负电荷电场中电势的最大值.例5求均匀带电球面的电场中的电势分布,已知球面半径为,带电量为.解设无限远处为电势零点,在电场中的分析我们懂得带电球面的电场分布为(),(),球面外的电场与点电荷的电场同样,因此带电球面外任意一点的电势与点电荷的相似,即(),球面内的电势可根据定义求得().6感应电动势计算中的微积分的应用6.1有关感应电动势的理论 6.1.1动生电动势是在稳恒磁场中运动中的导体内产生感应电动势,动生电动势能够看作是洛伦兹力引发的.6.1.2自由电子受到的洛伦兹力为,的方向可由安培定则判断.电动势是反映电源性能的物理量,是衡量电源内部非静电力大小的物理量.电动势定义为单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极的过程中,非静电力做的功.在这里,非静电力就是作用在单位正电荷上的洛伦兹力,作用在单位正电荷上的非静电力能够用一种等效的非静电场表达,这个非静电场的场强为.动生电动势就是.当时,单位正电荷受力的方向与的方向一致,因此上式的积分化为.6.2有关感应电动势计算中的微积分的应用举例例6长度为的一根铜棒,其一端固定,在均匀磁场中一角速度旋转,线速度的方向与磁场垂直,如图3所示.求这根铜棒两端的电位差.设磁场的方向垂直纸面对外.图3解铜棒旋转时切割磁感应线,故棒两端之间有感应电动势.棒上全部的线速度不同,由于棒与磁场垂直,由,导体棒上各点产生的电动势不同.这就需要用微积分的办法解决本题,将导体棒分割成无穷多个线元,设到端距离为,则处速度,线元产生感应电动势由于将导体棒分割成无穷多个线元,故导体棒产生的点电动势为这些线元产生的电动势的积分,即.其中端是负极,端是正极.因此,两者差,因此.6.3有关感生电动势的理论6.3.1当导体回路静止不动时,由于磁场的大小或方向的变化所产生的感应电动势,称为感生电动势.6.3.2空间的磁场随时间变化时,在其周边也激发一种电场叫做感应电场。若用表达感应电场的场强,则根据电动势的定义,处在变化磁场空间的,某导体回路中的感生电动势为,根据法拉第电磁感应定律,该回路的感生电动势还能够表达成=,因此.6.4有关感生电动势的计算中微积分的应用举例例7半径为的圆柱形区域内,有一均匀磁场（方向垂直图面对里）正以速率增加,放入一根长为的导体棒,求棒上的感生电动势.图4图5解由于磁场分布含有柱对称性,因此它产生的涡旋电场也含有柱对称性,在同二分之一径的圆周上数值相等,方向沿圆周切线.本题磁场正在增加,因此涡旋电场线是逆时针方向的同心圆周线.在磁场区域内采用上述公式用于半径为的圆周环路得:,有,得.（1）如图4,当棒沿半径方向放置时,此时感应电场与棒到处垂直,.若将棒分割成无穷多个电荷元,则线元产生的感应电场也与垂直,则.这阐明在沿半径方向放置的导体棒中不会产生感生电动势.（2）当棒沿任意方向放置时,如图5所示.棒离圆心的垂直距离为,将棒分割成无穷多个电荷元,则线元产生的感应电场,元电动势为,则导体