专题2.4 有理数的乘除【十大题型】（举一反三）（华东师大版）

PAGE1专题2.4有理数的乘除【十大题型】【华东师大版】【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】 1【题型2巧用分配律简化运算】 2【题型3有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】 2【题型4关于有理数乘法的新定义问题】 3【题型5利用有理数的乘法解决实际问题】 4【题型6巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 5【题型7利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 6【题型8巧用倒数解有关有理数除法的问题】 7【题型9运用有理数的除法化简分数】 8【题型10与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 8【知识点1有理数乘法的法则】①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0．

③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=a−b>0，ab<0，那么（

）.A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0【变式1-1】（2023春·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（）A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定【变式1-2】（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（

）A．a>0、b>0 B．a<0，b<0C．a、b同号 D．a、b异号，且负数的绝对值较大【变式1-3】（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，A．ab>0 B．a+b>0C．a−1b+1<0 【题型2巧用分配律简化运算】【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：(1)4×(2)−(3)−5×(4)99【变式2-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算−0.125×20×−8×A．乘法交换律 B．乘法分配律C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：(1)913(2)−5×(−3【变式2-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：(1)−24×(−(2)(−【题型3有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|+4m−3cd的值．【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x−4|=3，求cd2x【变式3-2】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2【变式3-3】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.(1)求a＋b，cd，m的值；(2)求m+2cd−a+b【题型4关于有理数乘法的新定义问题】【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=−3ab．(1)若m与−2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值；(2)求(−3)※[6※(−4)]的值．【变式4-1】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．请根据“⊕”的定义计算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：(1)求2⊕−1(2)求−3⊕−4⊕(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．【变式4-3】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．(1)计算（﹣5）⊗4的值；(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；(3)填空：3⊗（﹣2）______（﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【题型5利用有理数的乘法解决实际问题】【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）序号1234567路程+5−3+10−8−6+12−10(1)这辆车离开出发点最远是千米；(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5−2−4+13−10+16−9(1)根据记录可知前四天共生产辆；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：与标准重量偏差（单位：千克）−2−10123袋数5103156(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：星期一二三四五六日每斤价格相对于标准价格（元）+1−2+3−1+2+5−4售出斤数2035103015550(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售价10元；为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．【知识点有理数除法的法则】①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．【题型6巧用分配律进行有理数的四则混合运算】【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：9998【变式6-1】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：−1【变式6-2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：(1)(-81)÷214-9(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：1她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．【题型7利用有理数的四则混合运算解决实际问题】【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为−0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，−0.8，0，−0.2，−0.3，0.4．(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．【变式7-1】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）+4；−3；−6；+13；−10；−4；+5．(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？【变式7-2】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化/万人+1.7+0.6+0.3−0.3−0.6+0.2−1.1(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？(3)求这7天每天平均人数是多少万人？【变式7-3】（2023·浙江·七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）1月2月3月4月5月6月7月水表读数（吨）433450468485500514535(1)填空：小高家1月份的用水量_______吨，1~6月平均每月用水量为_______吨．(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？【题型8巧用倒数解有关有理数除法的问题】【例8】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50÷(1解法一：原式＝50÷1解法二：原式＝50÷(412−解法三：原式的倒数为(＝(1故原式＝300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：计算：(−1【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：计算：−分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：2所以原式=−根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：−【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a:b=x，则材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；利用上述材料，请用简便方法计算：(−1【变式8-3】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）利用倒数的意义完成计算：−【题型9运用有理数的除法化简分数】【例9】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：（1）−217；

（2）3−36；

（3）−54−8；

【变式9-1】（2023春·全国·七年级专题练习）化简下列分数：（1）−72−8；（2）−13【变式9-2】（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1）−26=；（2）−6−24=；（3）0【变式9-3】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：(1)−2−6;

(2)−(3)0−3;

(4)-−a【题型10与有理数的混合运算有关的分