培优专题05全等三角形十大模型之平移和轴对称模型-解析版

培优专题05全等三角形的十大模型之平移、轴对称模型（题型较难，根据情况选做，部分题目是后面学习内容）◎模型一：平移模型【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】1．（2022·江西赣州·八年级期末）我们知道两个全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧．(1)如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MB＝MC．(2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC．①如图3，当∠CAE=∠BAD时，求证：MB＝MC；②当∠CAE＞∠BAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_______．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②补全图形见解析，MB＝MC【分析】（1）根据三角形SAS判定定理证明三角形△BDM≌△CEM，证得MB＝MC．（2）先根据三角形ASA判定定理证明△ECM≌△DFM，再证明△BFM是等边三角形，证得MB＝MF＝MC；根据图4直接写出MB＝MC．（1）如图2，依题意可知：∠ADB＝∠AEC，BD=CE，AD=AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠AEC﹣∠AED，即：∠MDB＝∠MEC，∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MB＝MC；（2）①如图3，延长CM交BD于点F．∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥DF，∴∠CEM＝∠FDM，在△ECM和△DFM中，，∴△ECM≌△DFM（ASA），∴CM＝FM，∵∠BCM＝30°，∴∠BFM＝60°，BF＝CF＝FM，∴△BFM是等边三角形，∴MB＝MF＝MC．②补全图形如图4，MB＝MC．【点睛】此题考查了三角形判定定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出所需要的条件证明三角形全等得出相应的结论．2．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形．(1)如图1，计算图中格点△ABC的面积为_______；(2)如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．【答案】(1)(2)①见解析；②见解析；③见解析【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案；（2）依据平移，旋转，轴对称的性质即可画出图形．（1）△ABC的面积为：，故答案为：；（2）①如图，即为所求．②如图，即为所求．③如图，即为所求．【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换，全等变换等知识，熟练掌握网格中作图方法是解题的关键．3．（2022·山西·大同市云州区初级示范中二模）数学活动—三角形平移中的数学问题．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合．(1)独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明．(2)合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：．②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段．(3)提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索．“爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题．【答案】(1)矩形，理由见解析(2)①见解析；②（或者等）(3)【分析】（1）只需要证明AC与DE互相平分即可证明四边形AECD是矩形；（2）①只需要证明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可证明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可证明，；（3）如图所示，连接AD，由△ABC≌△DFE，得到点D到EF的距离与点A到BC的距离相等，得到，证明△DAM≌△EBM（AAS），得到，设，则，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．(1)四边形AECD是矩形理由如下，，，点G是AC的中点，，，∴，∴AG=CG，DG=EG，∴四边形AECD是平行四边形，又AC=DE，四边形AECD是矩形；(2)解：①∵，，，，∴，即BE=FC，∴△MBE≌△NFC（ASA）∴MB=NF，∴HB-MB=HF-NF，即；②∵△ABC≌△DFE，∴AB=DF，∵HB=HF，∴AB-HB=DF-HF，即，同理可证；(3)解：如图所示，连接AD，∵△ABC≌△DFE，∴点D到EF的距离与点A到BC的距离相等，∴，∴∠DAM=∠EBM，∠BEM=∠ADM，∵M是DE的中点，∴ME=MD=3，∴△DAM≌△EBM（AAS），∴，设，则，在Rt△MDH中，，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，矩形的判定，图形的平移等等，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．4．（2021·江苏扬州·八年级期末）如图，Rt△ABC与Rt△DEF的边BC、EF在直线l上，∠ACB＝∠EDF＝90°，DE＝DF＝，Rt△DEF沿直线l向左平移．（1）如图1，当点F与点B重合时，连接AE，若AC＝，BC＝3，判断△ABE的形状，并说明理由；（2）如图2，当点D刚好落在AB的中点处，若AB＝4，求CE长；（3）如图3，当点E与点C重合时，若点D刚好落在边AB上，过点F作FM⊥BC，交AB于点M，若AC＝，求FM长．【答案】（1）△ABE是等腰三角形，理由见解析；（2）﹣1；（3）【分析】（1）先求出EF，进而求出BE，再求出AE，即可得出结论；（2）先判断出BD＝CD＝2，再判断出CH＝BH＝BC，再利用等腰直角三角形的性质求出EH＝FH＝EF＝1，进而求出BH，即可得出结论；（3）先判断出DF＝DG，CG＝2，进而判断出△ADG≌△FDM，即可得出结论．【详解】（1）△ABE是等腰三角形，理由：在Rt△DEF中，DE＝DF＝，∴EF＝DE＝2，∵点F与点B重合，∴BE＝2，∵BC＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AE＝＝2，∴AE＝BE，∴△ABE是等腰三角形；（2）如图2，连接CD，∵点D是AB的中点，∴CD＝BD＝AB＝2，过点D作DH⊥BC于H，∴CH＝BH＝BC，在Rt△DEF中，DH⊥BC，∴EH＝FH＝EF＝1，在Rt△BHD中，BH＝＝，∴CE＝CH﹣EH＝BH﹣FH＝﹣1；（3）如图3，延长FD交CA的延长线于G，∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴∠CDG＝∠CDF＝90°，∠ACD＝∠FCD＝45°，∵CD＝CD，∴△GDC≌△FDC（ASA），∴CG＝CF＝EF＝2，∵MF⊥BC，∴∠MFB＝90°＝∠ACB，∴AC∥FM，∴∠G＝∠DFM，∠DAG＝∠DMF，∴△ADG≌△FDM（AAS），∴FM＝AG＝CG﹣AC＝2﹣＝．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．◎模型二：轴对称模型【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】5．（2019·山东威海·七年级期末）已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD＝CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接A，D，F．（1）如图1，若点D，点E在边BC上，试判断△ADF的形状并说明理由；（2）如图2，若点D，点E在边BC外，求证：．【答案】（1）△ADF为等边三角形，见解析；（2）见解析【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，然后证明，得出，再根据对称的性质得出,从而有，则结论可证；（2）先根据等边三角形的性质得出，然后证明，得出，再根据对称的性质得出,从而有，则△ADF为等边三角形，则，通过等量代换即可得出答案．【详解】解：（1）△ADF为等边三角形，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴．在和中，，．∵点F，点E关于直线AC成轴对称，，．，，即,∴△ADF为等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴．在和中，，．∵点F，点E关于直线AC成轴对称，，．，，∴△ADF为等边三角形．∵∴【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质及判定，掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质及判定是解题的关键．6．（2022·河南南阳·八年级期末）【教材呈现】东师版数学八年级上册教材页的部分内容，我们都知道演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你写出完整的证明过程．我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对称，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．已知：如图，，垂足为点，______，点是直线上的任意一点．求证：______．证明：【学以致用】如图，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由．【答案】【教材呈现】，，证明过程见解析；【学以致用】，证明过程见解析【分析】（1）根据题中教材补充完成即可；（2）根据定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等求证即可．【详解】《教材呈现》已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点，求证：．故答案为：，．证明：∵∴在和中，∴；《学以致用》，理由：是线段的垂直平分线，，，∴，，∴，即．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、三角形的全等证明，读懂题意，灵活应用相关知识解题是关键．7．（2022·山西·八年级期末）综合与实践问题情境：如图（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD．(1)若BC＝4，则D到BC边的距离为______．(2)小明在图（1）的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图（2），连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．(3)在图（2）中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想．【答案】(1)2(2)△BCE为等边三角形；证明见解析(3)AE＝AD，AE⊥AD；证明见解析【分析】（1）过点D作DF⊥BC于F，由含30度角直角三角形的性质求得DF＝BD＝BC；（2）△BCE为等边三角形．根据对称图形的性质得到BE＝BC．（3）由△ABD≌△ABE得AE＝AD，再证明，从而可得AE⊥AD，故可得结论．(1)如图（1），过点D作DF⊥BC于F，∵BD＝BC＝4，∠DBC＝30°，∴DF＝BD∴DF＝BC=．故答案是：2；(2)△BCE为等边三角形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°．∵以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，∴△ABD≌△ABE，∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD，∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°．∵BD＝BC，∴BE＝BC，∴△BCE为等边三角形．(3)AE＝AD，AE⊥AD．证明：∵△ABD≌△ABE，∴AE＝AD．∵△EBC是等边三角形，∴∠BEC＝60°，BE＝CE．∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACE，∴，∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°．∵∠EAB＝∠DAB，∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°，∴AE⊥AD，AE＝AD．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．8．（2022·河南南阳·八年级期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC