第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷解析(五年级)

第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷五年级组决赛第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷五年级组决赛第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷（五年级组）2015年2月1日8:30~9:30时间：60分钟总分：120分第一部分（每题6分，共30分）【第1题】111111中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰好等于1那么，删去的两个加数分别2 4 6 8 10 12是 和 。【分析与解】111111

1111

111111

1111；

6 12

2 4 8 10 4 8 10而119；8 10 4040235，分母含因数5的只有110

，故另一个数为1；8删去剩下的两个加数分别是1和1。8 10【第2题】用四则运算符号及括号，对10、10、4、2这四个数进行四则运算，使所得结果是24。那么，这个四则运算的算式是 。【分析与解】算24点：24101024【第3题】把一个正方体切成27个相同的小正方体。这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积大432平方厘米。那么，大正方体的体积是 立方厘米。【分析与解】设原来大正方体的棱长为3a厘米，则每个小正方体的棱长为a厘米；每个小正方体的表面积为6a2平方厘米；大正方体的表面积为6a254a2平方厘米；6a22754a2432；a24；a2；大正方体的棱长为236厘米；大正方体的体积为63216立方厘米。4题】4题】若a，b，c，d是互不相等的正整数，abcd357，则abcd。【分析与解】把357分解质因数：3573717；所以把357拆成四个互不相同的正整数的乘积只能是35713717；即a,b,c,d1,3,7,17；则这四个数的和是1371728。【第5题】从一只装有1

31

13

升混合液，再加入等量的水并搅匀，最后再倒出3【分析与解】

升混合液，并加入等量的水。这时瓶内液体中海油酒精 升。每倒出一次，剩下的酒精是倒出之前的112；3 3233最后瓶内液体中还有酒精13

8升。27第二部分（每题8分，共40分）【第6题】某学校招收艺术特长生，根据学生入学考试成绩确定了录取分数线，并录取了2的考生，所有被录取者的5平均成绩比录取分数线高15分，没有被录取的考生的平均分比录取分数低20分。若所有考生的平均分是90分，那么录取分数线是 分。【分析与解】设分数线是x分；x152x201290；5 5 解得x96；录取分数线是96分。【第7题】两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 。【分析与解】74547

472571470

235；107 55107 454

5235547

67157065。7 7 10 10 10

10 78题】某文艺团队为庆祝元旦排练体操。若让1000名队员排成若干排，总排数大于16，且从第二排起每排比前一排多1人。该队形应排成 排才能满足要求，此时第一排应排 名队员。【分析与解】若正整数n可以表示为从m开始的连续k个正整数的和；nmmmkmmkk2

k2mk；2若k为奇数，则2mk1是偶数，2mk1是整数；nk2mk1，即n奇数整数；2 2一个等差数列有奇数项，那么这个等差数列的和中间项（整数）项数（奇数；若k为偶数，则2mk1是奇数，k是整数；n2mk1k，即n奇数整数；2 2一个等差数列有偶数项，那么这个等差数列的和中间两个数的和（奇数）项数的一半（整数故一个正整数可以表示为连续正整数的和，那么这个数一定可以表示为“奇数整数”的形式；k1时，这个整数只能表示为“1一个正整数数表示为连续正整数的和的情况个数等于这个正整数的奇约数的个数1。10002353，有314个奇约数；故把1000拆成若干连续的正整数的和，有413种拆法；10005200，把1000拆成5个数，中心数是200，1000198199200201202；10002540，把1000拆成25个数，中心数是40，1000282952；10001258，把1000拆成16个数，中间两个数是62和63，1000555670；因为总排数大于16；所以该队形应排成25排才能满足要求，此时第一排应排28名队员。【第9题】n只小球外观相同其中有一只小球的重量比其他小球（其他小球重量相等若用一架没有砝码的天秤作为工具，至少称量5次就可以把那个重量较轻的小球找出来，那么，n的最大值是 。【分析与解】每次称重量时，可以把所有小球分成三堆，用天平秤比较其中的两堆；若天平不平衡，则较轻的那堆中有重量较轻的小球；若天平平衡，则剩下的那堆中有重量较轻的小球；n最大是35243。10题】如图，在△ABC中，已知ABAC，AEBC，CDCA，ADBD，则DAE度。AB D E C【分析与解】设Bx；ABAC；所以BCx；ADBD；所以BBADx所以ADCBBAD2x；因为CDCA；所以ADCDAC2x；所以BACBADDAC3x；三角形内角和180，得BACBC5x180；解得x36；ADC2x72；因为AEBC；所以ADCDAE90；所以DAE90ADC907218。第三部分（每题10分，共50分）【第11题】将1~5排成一排组成一个五位数使得每个数位上的数均不大于它相邻两侧的两个数的平均（万位与个位上的数除外。满足要求的五位数分别是 。【分析与解】5必须在两头（即5必须在万位或个位上；而4必须在两头或者3和5之间；⑴若4在两头（即4在万位或个位上；考虑53不能在中间（即3不能在百位，43215、41235、42135符合要求；根据对称性，51234、53214、53124也符合要求；⑵若4在3和5之间；考虑543□□的形式，只能是54321；根据对称性，12345也符合要求；综上所述，满足要求的五位数分别是43215、41235、42135、51234、53214、53124、54321、12345。12题】一只自行车轮胎，如果把它安装在前轮，则自行车骑行5000千米后报废；如果把它安装在后轮，则自行车骑行3000千米后报废若骑行一定路程后再交换前后轮胎并且使前后轮胎同时报废那么这辆自行车能骑行 千米。【分析与解】每行驶5000,300015000千米，前轮报废1500050003个，后轮报废1500030005个，一共报废358个；所以一对轮胎（2个）最多可以行米。即当行驶了375021875千米时，将前后轮调换；则恰好在3750千米时，这对轮胎同时报废。【第13题】在一次元旦晚会上，9位学生共演唱n首“三重唱”歌曲。在演唱中任何两人都曾合作过一次，并且仅合作一次。那么n。【分析与解】每个人都要和其余8人都合作一次，即每人都要唱824次；那么一共有4936次；而每首歌又是三人演唱；一共演唱36312首；即n12。14题】ABCDEF//ABHG//ADAHPE的面积是5PECG的面积是16平方厘米，那么三角形PBD的面积是 平方厘米。EPFEPFA H B【分析与解】S△PDGS△PBFS△PDES△PBHS△BCDS△BAD；S平行四边形PECGS平行四边形AHPES平行四边形PECGS△PDGS△PBFS平行四边形AHPES△PDES△PBH四边形PCD四边形BD△CD△BD△AD△BD△PD2；S△PBDS平行四边形PECGS平行四边形AHPE216525.5平方厘米。【第15题】平面上