第二课时函数奇偶性的应用

课标要求1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.素养要求1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思想方法，提升逻辑推理素养.2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.内容索引CONTENT01问题导学预习教材必备知识探究单击此处添加正文03拓展延伸分层精练核心素养达成单击此处添加正文02互动合作研析题型关键能力提升单击此处添加正文问题导学预习教材必备知识探究WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU一、函数奇偶性与单调性的关系1.问题想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？

提示奇函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递减；偶函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递增.2.填空(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______________. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为______. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为____.单调递增一致(相同)单调递减相反－MNA3.做一做已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)内单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(

)A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(0，1) D.[－1，1)解析∵f(x)在[0，＋∞)内单调递增，且是奇函数，∴f(x)在R上单调递增.因此f(x)<f(1)⇔x<1.0解析由f(0)＝a＝0，得a＝0(经检验满足).二、抽象函数的奇偶性1.问题设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.试判定函数h(x)＝f(x)＋g(x)与M(x)＝f(x)·g(x)在定义域D上的奇偶性.

提示

h(x)是奇函数，M(x)是偶函数.2.问题若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，试判定函数y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]的单调性.

提示

y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数.C3.做一做设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析易知f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，则A、B不正确.又f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，知f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确.显然|f(x)g(x)|是偶函数，D项不正确.×4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)若函数f(x)在y轴两侧的单调性相反，则f(x)是偶函数.() (2)若函数f(x)是奇函数，则函数y＝f(－2x)也是奇函数.() (3)若偶函数f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，且f(2m－1)>f(m＋3)，则必有2m－1<m＋3.()提示∵y＝f(x)是偶函数，且f(2m－1)>f(m＋3)，∴f(|2m－1|)>f(|m＋3|)，又y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递减，∴|2m－1|<|m＋3|，不一定有2m－1<m＋3.√×HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.x(x＋1)题型一利用奇偶性求函数解析式角度1求对称区间上的解析式解析设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1). (2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝ ____________________.解析设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，角度2构造方程组求解析式1.已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的解析式：在所求区间设出变量x，将x转化为－x(已知区间).应用奇(偶)函数的定义，推导出所求区间上的解析式.2.已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.提醒若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.思维升华训练1设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.解设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，例3已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(

)A.f(－0.5)<f(0)<f(－1) B.f(－1)<f(－0.5)<f(0)C.f(0)<f(－0.5)<f(－1) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5)解析∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)<f(－0.5)<f(0).B题型二单调性与奇偶性的应用角度1比较大小1.自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.2.自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.思维升华例4定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围.解∵g(x)在[－2，2]上是偶函数，且当x≥0时，函数g(x)是减函数.角度2求解函数不等式1.解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式.2.根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，去掉对应法则“f”，转化为简单的不等式(组)求解，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.思维升华训练2(1)设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(

)B解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，则f(－2)＝f(2).又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，(2)已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).①求函数g(x)的定义域.②若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.解由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f(x－1)≤－f(3－2x).因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3).而f(x)在(－2，2)上是减函数，题型三抽象函数的奇偶性例5定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，有f(x)>0.(1)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；解f(x)是奇函数.理由如下：取x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.对任意x∈R，取y＝－x，则f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函数.(2)试判断f(x)的单调性，并加以证明；解f(x)在R上单调递增.理由如下：任取x1，x2∈R，令x1<x2＝x1＋Δx(其中Δx>0)，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)，∴f(x2)－f(x1)＝f(Δx)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在R上单调递增.(3)若对于∀t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)<0恒成立，求实数k的取值范围.解∀t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)<0恒成立等价于f(t－t2)<f(k)，∴t－t2<k恒成立.判断抽象函数的奇偶性、单调性，主要是利用定义判定：(1)找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系.(2)赋值代换，至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值－1或0或1来达到解题目的.2思维升华(1)求f(0).(2)证明f(x)为奇函数.(1)解令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，解得f(0)＝0.(2)证明令y＝－x，则对任意x∈R，有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数.(3)解不等式f(2x－1)<1.课堂小结1.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).3.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.4.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.拓展延伸分层精练核心素养达成TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG01A.－1 B.1解析当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2－bx＝－x2－x.解之得a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.C2.f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上是(

) A.增函数

B.减函数 C.有增有减

D.增减性不确定

解析由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象(略)知，在区间(2，5)上为减函数.BA.b＜a＜c

B.b＜c＜aC.a＜c＜b

D.c＜a＜bC4.奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(

)B法二当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，5.已知定义在[m－5，1－2m]上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为(

)A.－8 B.8C.－24 解析∵f(x)是定义在[m－5，1－2m]上的奇函数，∴m－5＋(1－2m)＝0，得m＝－4.又当x≥0时，f(x)＝x2－2x.∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(42－2×4)＝－8.A7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是____________________________.

解析

∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又因为f(2)＝0，所以f(x)<0⇔f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，所以x>2或x<－2.

(－∞，－2)∪(2，＋∞)8.若函数f(x)＝x2－2ax＋3图象的对称轴为x＝1，则当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为________.解析由对称轴为x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，∴f(x)∈[2，6].[2，6]解F(x)在(－∞，0)上单调递减.证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0.即F(x1)>F(x2)，(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；解因为a>b，所以a－b>0，所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.解由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4].11.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法正确的是(

)A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数C.g(x)＝f(x)＋1为奇函数 D.g(x)＝f(x)＋1为偶函数解析∵对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1.∴令x1＝