专题07导数与隐零点问题（练）【解析版】

第一篇热点、难点突破篇专题07导数与隐零点问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2022·重庆高三阶段练习）若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】求导数，由题意知是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图像可得答案.【详解】，对于有是方程的两根令，则，，，不妨设，利用有两根，所以，根据三次函数的性质，可以画出的图像，如图所示，又因为，所以由图可知，有1个解，有2个解故选：A．2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数，再借助导数探讨函数在有两个零点作答.【详解】，，由得，，则，令，依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，函数在上单调递减，在单调递增，则，要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，所以的取值范围.故选：C3．（2022·四川泸州·一模（理））已知函数，若方程恰好有三个不等的实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将问题转化为与的图象有三个交点的问题，利用导数判断的单调性，数形结合，即可求得结果.【详解】当时，，故不是方程的根；当时，方程恰好有三个不等的实数根即与的图象有个交点；又，当时，，故当时，单调递减，在时，单调递增；当，时，；时，；且；又当时，，故在单调递减，当，时，；时，；故在同一坐标系下，的图象如下所示：数形结合可得，当，即时满足题意，故的取值范围为.故选：D.二、多选题4.（2022·福建泉州·高三开学考试）设函数，则下列判断正确的是（）A．存在两个极值点B．当时，存在两个零点C．当时，存在一个零点D．若有两个零点，则【答案】BD【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D.【详解】因为函数的定义域为，，设，，且方程的两根之积为，在上有一个正根，设为，在上，，函数单调递增，在上，，函数单调递减，所以存在一个极大值点，A错误；令，即，函数的零点即为与的交点，如图所示：函数图像与轴的交点为，当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确；当时，与有两个不同的交点，所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误；若有两个零点，假设，则有即两式相减得：，，则，，，所以，即，D正确.故选：BD.5．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，，设方程的3个实根分别为，，，且，则的值可能为（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用导数研究的单调性、极值及区间值域，由题设可知在上必有两个不等的实根(假设)且，结合的性质有且，，进而求目标式的值，即可确定答案.【详解】由题设，的定义域为，且，∴当时，，即递减；当时，，即递增.∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.（如图2）∴的图象如图1、图2：图1图2∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，∴令，要使的3个实根，则、，即，可得.∴由知：，，∴.故选：BC.【点睛】首先应用导数研究的性质，根据有3个实根，则在上必有两个不等的实根，结合的值域求m的范围且、，即可求目标式的范围.三、填空题6．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为____________．【答案】【分析】根据极值点的定义，求导求零点，将问题转化为两函数求交点问题，可得答案.【详解】解：因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的实数根，即有两个不同的解．令，则函数的图象与直线有两个不同的交点．因为，令，得．所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以．所以当时，；当时，．所以函数的图象与的图象有两个不同的交点的充要条件是：，即．故实数a的取值范围为．故答案为：.7．（2023·广东广州·高三阶段练习）方程有唯一的实数解，实数的取值范围为__________．【答案】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性，结合零点存在性定理求解作答.【详解】令函数，依题意，函数有唯一零点，求导得，当时，，无零点，当时，，函数在上单调递增，，当且时，，则在上存在唯一零点，因此，当时，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，当且仅当，即时，在上存在唯一零点，因此，所以实数的取值范围为.故答案为：8．（2022·广东·高三阶段练习）已知，函数，若函数无零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】先将的解析式代入并求得的解析式，将无零点等价转化为无零点，再通过求导判断的单调性和最值，将其等价转化为，据此求得实数a的取值范围.【详解】∵，无零点，即无实根．∴无实根．令，则，由，得；，得．∴在上单调递增，在上单调递减，∴．而时，，时，，∴若无零点，需，即．又，∴.故答案为：．9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】令，由于有且仅有一个零点，所以分，,讨论的单调性即可.【详解】由题知，构造新函数，等价转化令，则，由题意知有且仅有一个零点．，①当时，令，解得；令，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，且．又因为，且当越小时，越大，所以有两个零点．②当时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，且，又因为，且当时，，所以只有一个零点．③当时，由，得或，当时，，则、上，上，所以、上递增，上递减；故极大值为，极小值为；当时，，此时，在R上，即递增，故无极值；当时，，则、上，上，所以、上递增，上递减；故极大值为，极小值为；又，，当趋于负无穷时，接近负无穷，当趋于正无穷时，接近正无穷，综上，只有一个零点．综上所述，，即实数的取值范围为．故答案为：【点睛】关键点点睛：由函数的零点、图象的交点求参数的值（或取值范围）问题，往往需要对参数分类讨论，如何划分讨论的区间是思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号是确定的.四、解答题10．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数（）(1)当时，有两个实根，求取值范围；(2)若方程有两个实根，且，证明：【答案】(1)取值范围是(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得的单调区间，由此求得的取值范围.（2）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，解得或导数证得不等式成立.【详解】（1）的定义域为，，在上单调递增，所以的取值范围是.（2）的定义域为，有两个不相等的实数根，令，由（1）知在上递增，则，则有两个不相等的零点，，，.要证，只需证，即证，即证，，故只需证，不妨设，令，则只需证，只需证，令，，所以，即当时，成立.所以，即，所以.【点睛】利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立.【冲刺提升】一、单选题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级高三阶段练习）已知函数，下列说法中错误的是（

）A．函数在原点处的切线方程是B．是函数的极大值点C．函数在上有3个极值点D．函数在上有3个零点【答案】C【分析】由导数的几何意义求出切线方程判断A，由导数确定函数的单调性，极值点判断B，由的性质判断其与函数的图象的交点个数判断D．利用导数确定极值点个数判断C．【详解】，，又，所以切线方程是，即，A正确；或时，，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，因此是极大值点，B正确；显然1是极小值点，，，时，，时，，，，，在上递增，在和上递减，因此与的图象有3个交点，即有3个零点，D正确；设，，令，则，设，则恒成立，所以是增函数，而，所以时，，时，，所以在上递减，在上递增，，易知，所以存在两个零点，由的单调性知这两个零点就是的两个极值点，C错．故选：C．2．（2022·四川·达州外国语高三阶段练习（理））若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则有，令函数，画出其图象，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，，即可求解．【详解】解：由关于的方程，令，则有，令函数，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，其图象如下：要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，，由韦达定理知，，，，又，可得，故选：B．3．（2022·天津·南开高三阶段练习）设函数①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出的图像，利用函数与方程之间的关系，分析问题，即可得出答案．【详解】解：对于①：作出的图像如下：若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，所以，，所以，所以，所以，故①正确；对于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②错误；对于③：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以，所以当与相切时，即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，当时由图可知只有3个交点，当时，令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故③错误；对于④：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确；故选：B．二、多选题4．（2022·河北·邢台高一阶段练习）已知，设，，其中，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】ABD【分析】作出函数的图像,当时，即，可推得即，判断A，结合基本不等式可判断B;取特殊值，举反例，可判断C;由，，可得为的两个解，说明，即，可判断D.【详解】作出函数的图像如图示：由于，，其中，故，不能同时为0，当时，即，，则，，故，A正确；由可得（，取不到等号），即，B正确；取，则，即，符合题意，故C错误；若，，则，由，可得，说明为的两个解，设，则，又单调递增，当时，，递增，故，即此时，当时，由，可得，由于，故，由于递增，即存在唯一的，使得，当时，，递减，当时，，递增，故，而，故此时，综合上述，说明的零点仅有0和1，即，即，则，故D正确，故选：.5．（2022·海南昌茂花园高三阶段练习）已知函数，其中，均为实数，则下列说法错误的是（

）A．若，则为奇函数B．若，则为奇函数C．若，则方程有一个实数根D．若，则方程（为实数）可能有两个不同的实数根【答案】ABC【分析】根据函数的结构特点，可利用特殊值检验法推出选项A、B不正确，根据时的表达式得出的解析式，然后利用导数研究出函数的单调性，求得极值，画出图像，利用数形结合可得C、D的正误.【详解】对于A，时，若，则，此时，即函数的图象可由函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，易知函数为奇函数，故函数的图象不关于原点对称，所以A不正确；对于B，，时，满足，此时，的图象不关于原点对称，所以B不正确；若，则，，求导可得，易知，，当时，，当时，，故函数在，上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极大值，为，在处取得极小值，为.如下图，结合图象对于C，方程有一个实数根，等价于函数与函数有一个交点，由图可得C不正确，对于D，方程可能有两个不同的实数根，等价于函数与函数有两个交点，由图可得当时，方程可能有两个不同的实数根，所以D正确.故选：ABC.6．（2022·全国·模拟预测）已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】首先等式变形，并构造函数，利用导数判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，求的取值范围，判断AB；首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，并假设，利用函数的单调性，比较自变量的大小，即可判断C;变形不等式得到，再结合C的判断，即可判断D.【详解】A，B选项：方程等价于方程，构造函数，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，因此只需满足，即．当时，，，由以上可知，当时，分别在，上各有一个零点，（零点存在定理的应用）则方程有两个不同的根，，因此选项A正确，选项B错误；C选项：构造函数，则，因此在上单调递减，易知，假设,则，即成立，又，则，因此，即，因此选项C正确；D选项：由即，得，不一定成立，故选项D错误．故选：AC7．（2022·山东·济南高一阶段练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】注意到，又可得在单调递增，则有，后由零点存在性定理可得范围.，之后判断各选项正误即可得答案..【详解】，又函数的零点为，则，其中.，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点.又，得.注意到，，则，且.对于A，因，，则，故A正确.对于B，因，则.令.在上单调递减，则，得在上单调递增.则，即，故B错误.对于C选项，因，，则，故.则由基本不等式结合有：，故C正确.对于D选项，因，则，由C选项分析可知.则令，.得在上单调递增，故，即.故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点:（1）若题目中同时出现与，常通过使出现相同结构.（2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题.三、填空题8．（2022·江苏省江浦高级高三阶段练习）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】先利用同构得到，换元后得到，参变分离得到有两个不同的根，构造，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到函数图象，数形结合得到，解出答案即可.【详解】由题意得有两个不同的根，即有两个不同的根，变形为，即，令，则，其中令，，恒成立，故在单调递增，得到，故有两个不同的根，令，则，，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，且当时，，当时，，画出的图象如下图：故时，有两个不同的根，解得：.故答案为：.【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，即从而构造进行求解.四、解答题9．（2019·天津·高考真题（文））设函数，其中.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】（I）在内单调递增.；（II）（i）见解析；（ii）见解析.【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.【详解】（I）解：由已知，的定义域为，且，因此当时，，从而，所以在内单调递增.（II）证明：（i）由（I）知，，令，由，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以，从而，又因为，所以在内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，，即，从而，即，因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得，【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.10．（2022·江西·金溪高三阶段练习（文））已知函数，．(1)设，当a＝3，b＝5时，求F（x）的单调区间；(2)若g（x）有两个不同的零点，，求证：．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为(2)证明见解析【分析】（1）代入a，b的值，求的单调区间；（2）分离参数得，研究的单调性得，再将所证变形为由比值代换法令可转化成，研究的单调性即可证明.【详解】（1）当，时，，的定义域为，∴，令，解得或，令，解得，∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．（2）由得：，令∴在有两个交点.由得：，由得：∴在上单增，在上单减，又∵，，当时，由于，是方程的实根，∴，不妨设由，，∴，，∴，．要证：，只需证：，即证：，即证：．设，则，代入上式得：．∴只需证：设，则，∴在上单调递增，∴，∴，故．【点睛】极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．11．（2022·河北邯郸·高三阶段练习）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)已知在上的最大值为，讨论关于x的方程在内的根个数，并加以证明.【答案】(1)(2)关于x的方程在内有两个不相等的实数根，证明见解析【分析】（1）由函数解析式，求导，并求出该点处的函数值与导数值，根据切线方程的求法，可得答案；（2）由（1）分三种情况，