孔隙扩张推导

孔隙扩张理论

问题描述平面问题的极坐标解答平衡微分方程几何方程和物理方程

圆球孔隙扩张理论

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问题描述

无限大的土体内部存在一空腔，在空腔内部压力ug和土体外部平均总应力p的共同作用下，空腔的形态是如何变化的？又会对周围的土体造成什么样的影响？ppppug土体空腔目前，多采用圆孔扩张理论来分析此类问题问题描述

圆孔扩张理论最早于1945年由Bishop等提出用于解决金属压痕问题，此后Gibson等于1961年将其应用于岩土力学问题中，Vesic总结了球形孔和柱形孔的扩张问题的解答，将圆孔扩张理论推广到可压缩土体，自此以后圆孔扩张理论得到了快速发展。圆孔扩张理论在岩土工程中已经广泛地应用于旁压试验、静力触探试验、隧道施工、井筒、沉桩等问题的应力应变分析。问题描述

假设：土体为均匀、各项同性的理想弹塑性材料，且服从摩尔-库伦破坏准则；圆孔形状在扩张前后均为圆形；土体扩孔过程中，土体服从小变形理论；孔扩张过程为准静态过程；圆孔扩张过程为不排水过程；基于上述假设，可以解得两组临界状态对应的ug与p的关系：弹塑性界限：圆孔边界土体先发生屈服，塑性区出现（rp=r0）完全塑性：土体全部屈服，塑性区完全扩张（rp→∞）pppp塑性区塑性区弹性区rpr0ug

问题描述平面问题的极坐标解答平衡微分方程几何方程和物理方程

圆球孔隙扩张理论

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平衡微分方程

考虑轴对称性，可将圆孔扩张问题视为平面应变问题，采用弹性力学中平面问题的极坐标解答进行弹性分析在区域内任一点（ρ，φ）取一微分体，考虑其平衡条件。微分体由夹角为dφ的2条径向线和距离为dρ的2条环向线组成。平衡微分方程

注意：两φ面并不平行，其夹角均为dφ。两ρ面的长度并不相等，分别为ρdφ和(ρ+dρ)(dφ)。ρ从原点出发为正，φ从x轴向y轴转向为正。平衡微分方程

微分体上的作用力有：体力——fρ，fφ，以坐标正向为正。应力——±ρ，±φ面分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。平衡微分方程

平衡条件：应用假定：（1）连续性，（2）小变形，（3）均匀性。考虑通过微分体形心D的ρ、φ向，列出三个平衡条件：平衡微分方程

取，略去二阶微量，化简可得：平衡微分方程

取，略去二阶微量，化简可得：平衡微分方程

通过形心D的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得

平面问题的极坐标解答平衡微分方程几何方程和物理方程

圆球孔隙扩张理论

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几何方程和物理方程

几何方程——表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式过任一点P(ρ，φ)做两个沿正向的微分线段，PA=dρ，PB=ρdφOyφdφρPABxC几何方程和物理方程

只有径向位移uρ，求形变P,A,B,C

变形后变为P',A',B',C'，各点的位移如图所示。PABCP'A'B'C'OxyD几何方程和物理方程

PB线应变:PA线应变:在小变形假定下，PABCP'A'B'C'OxyD几何方程和物理方程

∴只有径向位移时切应变为PA转角:PB转角:PABCP'A'B'C'OxyD几何方程和物理方程

只有环向位移uφ，求形变P,A,B,C

变形后变为P'',A'',B'',C''，各点的位移如图所示。PABCP''A''B''C''OxyE几何方程和物理方程

PA线应变:PB线应变:PA转角:由环向位移引起的切应变为：PB转角:PABCP''A''B''C''OxyE几何方程和物理方程

当uρ和uφ同时存在时，几何方程为OxyPABP'''A'''B'''C'''C几何方程和物理方程

物理方程：由广义胡克定律

平面问题的极坐标解答平衡微分方程几何方程和物理方程

圆球孔隙扩张理论

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圆球孔隙扩张理论

问题描述：一气泡腔体被饱和基质包围，气泡直径大于土颗粒，饱和基质承受外部总应力p，气泡腔内存在压力ug，如何确定气泡腔体在外部总应力p与内部压力ug变化时的。采用如下图所示的单元模型来进行分析。圆球孔隙扩张理论

在区域内任一点（r，φ）取一微元体，考虑其平衡条件。微元体由夹角为dφ的4条径向线和距离为dr的4条环向线组成圆球孔隙扩张理论

注意：上下和前后的φ面并不平行，其夹角均为dφ。两r面的面积并不相等，分别为(rdφ)2和(r+dr)2(dφ)2。r从原点出发为正，φ从x轴转向y轴以及从z轴正向转向负向为正。由对称性和剪应力互等定理可得，τrφ=τφr=0由对称性可得，圆球扩张时只有径向位移，没有环向位移圆球孔隙扩张理论

取，略去二阶及以上微量，化简可得：平衡微分方程：（1）圆球孔隙扩张理论

几何方程：径向应变：

环向应变：式中：ω为径向的沉降（2a）（2b）（3a）（3b）物理方程：径向应力-应变：

环向应变：圆球孔隙扩张理论

联立式（2）、（3），化简可得：式中：由式（5）可得：（4）（5）（6）圆球孔隙扩张理论

将式（6）代入式（1）中，化简可得微分方程：求解微分方程可得通解为：将通解代入式（5）得：（7）（8）（9）圆球孔隙扩张理论

由边界条件：

可得方程组：联立解得：（10a）（10b）（11）（12）（13）（14）圆球孔隙扩张理论

将式（13）、（14）代入式（9），将所得结果再代入式（4）、（5）中可得：由式（16）、（17）可得：假设当时，发生屈服，可解得初始屈服界限为：（15）（16）（17）（18）（19）圆球孔隙扩张理论

将代入式（1）中可得微分方程：（20）（21）（22）（23）可解得：由边界条件：圆球孔隙扩张理论

将式（22）、（23）代入式（21）中可得方程组：联立解得：当时，土体完全屈服，发生破坏，此时可得：（24）（25）（26）（36）式中：

平面问题的极坐标解答平衡微分方程几何方程和物理方程

圆球孔隙扩张理论

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椭球孔隙扩张理论

问题描述：在实际情况中，气泡腔体多为椭球形，而非圆球形，因此采用圆球模型分析得到的结果并不符合实际，接下来介绍一种基于椭球模型分析得到的结果，单元模型如下图所示。（e）椭球孔隙扩张理论

平衡微分方程：由太沙基有效应力原理：平衡微分方程可重写为：（28a）（28b）（29）（30a）（30b）椭球孔隙扩张理论

物理方程：假设：，可得：（31a）（31b）（31c）（32）（33a）（33b）物理方程可重写为：椭球孔隙扩张理论

不排水条件下：将式（35）代入式（36）中可得：由此可得：（34）（35）（36a）（36b）（36c）椭球孔隙扩张理论

几何方程：将式（36）、（37）代入式（30）得：（37）（38a）（38b）椭球孔隙扩张理论

由式（36a）和式（37）可得：对式（39）积分可得：忽略体力，将式（40）代入式(38)得：（39）（40）（41a）（41b）联立式（41a）、（41b)可得设：将式（43）代入式（42）中可得椭球孔隙扩张理论

（42）（43）（44）（45）设：，，将其代入式（44）可得根据加载模式可知，切向位移uφ=0，径向位移随距离的增大而减小，因此可得：边界条件：其中：联立式（33）、（36）、（37）可解得由式（47）、（48）可解得：椭球孔隙扩张理论

（47）（46）（48）（49）椭球孔隙扩张理论

将式（49）代入式（48），并将结果代入式（37）可得：（50a）（50b）由式（50）可得：式中：（51）由式（51