光杠杆放大法测量微小长度变化量的误差分析

光杠杆放大法测量微小长度变化量的误差分析

在北京大学的实验中，光棒盖的放大法主要采用光棒、尺读显微镜和小位移测量系统。这可以将难以测量的小位移量转换为更多的直接测量。这些原则和方法是明确和直观的。但在实际测量过程中,实验的计算结果较之理论值有较大偏差,通过研究发现光杠杆镜面法线与望远镜光轴之间的夹角,对实验测量误差影响较大。本文定量分析了这一夹角对测量误差的影响程度,并且通过改进实验装置,可以减小实验误差,提高测量精度。1构建镜鉴中的血肿和百分点,如通过回射线出现,有关光杠杆的前足和前足中,人光杠杆是测量长度微小变化量的仪器,如图1所示,平面镜M装在一个三脚架上,M能绕平行于前足连线的轴转动,前足连线与后足间垂直距离为b,测量时将光杠杆前足放在平台的凹槽中,后足尖置于被测金属的上端。在镜面M的前方距离D处,有一望远镜和标尺,镜面和标尺均处于竖直方向,设望远镜中的十字叉对准标尺上的读数为h0。当金属丝受到拉力时,光杠杆的前足随着金属丝的拉伸下移距离ΔL,而前足始终保持位置不动,此时M绕过一个小角度θ,由光的反射定律可知:镜面转过θ角时,反射线转过2θ,因此,从望远镜中看到十字叉丝对准标尺上的另一读数h,望远镜中标尺读数变化为Δh=hh0。则有tanθ=ΔLb(1)tanθ=ΔLb(1)tan2θ=ΔhD(2)tan2θ=ΔhD(2)由于ΔL≪b,Δh≪D,因此,tanθ≈θ,tan2θ≈2θ,从而由式(1)与式(2)得2ΔLb=ΔhD2ΔLb=ΔhD,即ΔL=b⋅Δh2D(3)ΔL=b⋅Δh2D(3)因D>b,即Δh>ΔL,从而获得微小变化量的放大,也提高了ΔL的测量精度,这就是光杠杆放大法。2金属丝上角的检测根据实验方法的设计,在测量微小变化量的时候,应按图1所示,使光杠杆镜面M与望远镜的光轴垂直,在这样的实验条件下,ΔL的误差来源于Δh,d和D的测量。但在实验操作中,金属丝未受力时,未经严格校对的情况下,很难做到使望远镜光轴与镜面M严格垂直,即镜面M的法线与望远镜光轴有一夹角α,如图2所示。α角度会给测量结果带来一定的误差。当镜面和望远镜光轴严格垂直时,由图1所示,可知当金属丝一端受到拉力F时,镜面M转过θ角时,其伸长量为ΔL,这时在望远镜这端标尺读数的变化量为,可得出Δh=Dtan2θ(4)当存在α角时,如图2所示,当金属丝一端同样受到拉力F时,其伸长量为ΔL,镜面也转过θ角,这时标尺读数的变化量为:AB(AB=AOBO),由ΔAOM和ΔBOM得:AO=D·tan(2θ+α);BO=D·tan(α);AB=AOBO=D·tan(2θ+α)D·tan(α)(5)比较(4)式和(5)式,且从图1、图2可看出Δh≠AB,由此给ΔL的测量引入误差Δδ,Δδ=ABΔh=D·tan(2θ+α)D·tanαD·tan2θ=D⋅tan2θ+tanα1tan2θ⋅tanα=D⋅tan2θ+tanα1tan2θ⋅tanαD·tanαDtan2θ=D⋅(tan2θ+tanα)⋅tan2θ⋅tanα1tan2θ⋅tanα=D⋅(tan2θ+tanα)⋅tan2θ⋅tanα1tan2θ⋅tanα从而镜面与望远镜光轴成α角度时,引起标尺读数变化的相对误差为:Τ=ΔδΔh100%=(tanα+2θ)⋅tanα12θ⋅tanα×100%T=ΔδΔh100%=(tanα+2θ)⋅tanα12θ⋅tanα×100%下面计算由存在角度而引起的相对误差。实验中,镜面与标尺间的距离D长度为1m,所挂砝码质量为1kg,即拉力F为9.8N,当挂上这个砝码时,从望远镜中测得标尺读数的变化量为5mm。由表1可以看出:随着α角度的增加,OB值增大,相对误差逐渐增大。当α≥5°时,OB的值已经超过8cm,这对于长度只有40cm的标尺,已经是很大的数值了,相对误差已经超过0.7%。当α≥8°时,OB值已经超过14cm,相对误差已经超过2%,不符合实验精度要求。3减少误差方案3.1小角度测量器利用旋转角度与光的折射原理,安装量角器,用于调节望远镜光轴与平面镜法线的偏转角。方法:(1)在光杠杆的镜面旋转轴上安装一个小角度测量器,用于测量镜面与竖直方向存在的夹角θ1,如图3所示;(2)在望远镜上安装一个同光杠杆上一样的量角器,用于测量望远镜光轴与水平底座之间的夹角θ2,如图4所示。3.2不左右调节工程测量数据前,若望远镜与光杠杆镜面光轴不在同一水平面上,观察光杠杆镜面上角度测量器的值θ1,根据此值,调节望远镜的上下偏转角度θ2,使两仪器上的角度测量器上显示的值相同,即:θ1=θ2。再左右调节望远镜找到反射的像,即完成了调节步骤。这种方法显著降低了调节望远镜光轴与镜面垂直的工作量。如图5所示,当镜面竖直,望远镜光轴与光杠杆镜面不在同一水平面,即存在角α时,会给测量结果带来误差。将存在的夹角进行转换,如图5所示,根据几何关系得出:α1=α2=α3。当望远镜与水平底座的夹角等于光杠杆镜面与竖直方向的夹角时(θ1=θ2),即光杠杆镜面与望远镜光轴垂直,则导致实验误差的望远镜光轴与光杠杆镜面垂直轴之间的夹角α将予以纠正,使得测量结果更精确。3.3实验结果和改进结果实验数据测量结果如表2所示,利用逐差法计算杨氏模量Y值:Y=8ˉDFˉLπd2kˉΝY=8D¯¯¯FL¯¯¯πd2kN¯¯¯,并与理论值进行比较计算相对误差。测量得到金属丝直径d=0.74mm,镜面到标尺的距离D=140.00cm,小镜后足到前足连线的垂直距离k=8.08cm,金属丝长度L=106.30cm,实验室中铁丝的杨氏模量理论值为1.81×1011N/m2。改进前计算结果为Y测前=8ˉDFˉLπd2kˉΝ前=1.71×1011Ν/m2,相对误差为E1=Y测前Y理Y理×100%=5.4%。而改进后计算结果为Y测后=8ˉDFˉLπd2kˉn后=1.79×1011Ν/m2,相对误差为E2=Y测后Y理Y理×100%=1.1%。由以上数据发现,改进实验装置后测得的实验值更接近理论值,实验误差更小,验证了本文的设