九年级上学期期中测试模拟卷02（解析版）

九年级上学期期中考试模拟卷02考试范围：九上＋九下；考试时间：120分钟；满分：120分一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（）A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．【解答】解：彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，故选：D．2．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8 B．2，3，4，5 C．1，2，3，4 D．5，6，7，8【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、3×8＝4×6，故选项符合题意；B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；C、1×4≠2×3，故选项不符合题意；D、5×8≠6×7，故选项不符合题意；故选：A．3．如图是一个正方体的表面展开图，则在正方体中“成”对面的字是（）A．祝 B．你 C．考 D．试【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与面“试”相对，面“祝”与面“成”相对，面“考”与面“功”相对．故选：A．4．如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（）A． B． C． D．【分析】根据tanA＝＝2，于是设CB＝2k，AC＝k，由勾股定理得到AB＝＝k，于是得到结论．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90o，∴tanA＝＝2，∴设CB＝2k，AC＝k，∴AB＝＝k，∴cosA＝＝＝，故选：B．5．圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（）A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．至此可确定直线与圆相交时，d的取值范围．【解答】解：由题意得圆的直径为12，那么圆的半径为6．则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离d＜6cm．故选：A．6．如图，为了美化校园，在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为9m，那么花圃的面积为（）A．54πm2 B．27πm2 C．18πm2 D．9πm2【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝，代入计算即可得出答案．【解答】解：S扇形＝（m2），故选：B．7．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（）A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．故选：D．8．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A．5 B．6 C． D．【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，故选：C．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac﹣b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到B（2+c，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵点A到直线x＝1的距离大于1，∴点B到直线x＝1的距离大于1，即点B在（2，0）的右侧，∴当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③正确；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故选：C．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是20πcm2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这个圆锥的侧面积＝•2π•4•5＝20π（cm2）．故答案为20πcm2．12．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是36°．【分析】根据黄金分割的定义得到AD2＝BD•AB，而AD＝AC＝BC，则BC2＝BD•AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A＝∠BCD，设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，根据三角形外角性质得∠ADC＝∠BCD+∠B＝2x，所以∠ACD＝∠ADC＝2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x＝180°，再解方程即可．【解答】解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，∴AD2＝BD•AB，∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD•AB，即BC：BD＝AB：BC，而∠ABC＝∠CBD，∴△BCD∽△BAC，∴∠A＝∠BCD，设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝2x，而AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x，∴x+2x+x+x＝180°，解得x＝36°．故答案为36°．13．已知方程x2﹣7x+12＝0的两根恰好是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC内切圆的半径为1．【分析】通过解方程可求得直角三角形的两条直角边，进而由勾股定理求得斜边的长，再利用直角三角形外接圆直径为斜边长以及内切圆半径为，由此得解．【解答】解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得x＝3，x＝4；所以直角三角形的两条直角边为：3、4，由勾股定理得：斜边长＝＝5；所以直角三角形的外接圆直径长为：5，其内切圆的半径为：＝1．故答案为：1．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝62°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．15．如图，Rt△ABC和Rt△ACD叠放在一起，∠B＝45°，∠D＝30°，若AB＝3，则CD＝3．【分析】首先根据等腰直角三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质分别求得AC、AD的长度；然后根据勾股定理求得CD的长度．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，则∠ACB＝45°，∵AB＝3，∴AC＝AB＝3．在Rt△ACD中，AC＝3，∠D＝30°，则AD＝2AB＝6．由勾股定理知，CD＝＝＝3．故答案是：3．16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），在抛物线上存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形与△AOC相似，则点P的坐标为（1，4）．【分析】根据A，B，C三点的坐标，可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据三角形相似分情况进行求解即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵A（﹣1，0），B（3，0）．∴OA＝1，OB＝3，OC＝3．设P（n，﹣n2+2n+3），①当点C为直角顶点时，设P（n，﹣n2+2n+3），①当点C为直角顶点时，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝45°∴∠DCP＝45°∴DC＝DP∴n＝﹣n2+2n+3﹣3解得n1＝1，n2＝0（舍去）∴点P的坐标为（1，4）；②当点P为直角顶点时，如图所示：∵△BCP∽△CAO∴＝＝设PC＝x，则PB＝3x，∵BC＝＝3∵PC2+PB2＝BC2∴x2+9x2＝18解得x＝∴PB＝3x＝∵PD＝OE＝n，∴BE＝OB﹣OE＝3﹣n，PE＝﹣n2+2n+3∴PE2+BE2＝PB2即（﹣n2+2n+3）2+（3﹣n）2＝此方程无解；③当点B为直角顶点时，∵△AOC∽△CBP，∴＝，∴＝，解得PB＝9，∴PP′＝BP′＝9，∴P（﹣6，﹣9），当x＝﹣6时，y＝﹣36﹣12+3＝＝﹣45，所以不符合题意．所以点P的坐标为（1，4）．故答案为（1，4）．三、解答题（本题有7小题，共66分）17．（6分）计算：|cos60°﹣|+（sin30°）﹣1﹣．【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算绝对值、负整数指数幂、开方，最后计算加减．【解答】解：|cos60°﹣|+（sin30°）﹣1﹣＝|﹣|+﹣＝|﹣1|+2﹣＝1+2﹣3＝0．18．（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．【分析】（1）根据题意直接列表，即可得出所有可能出现的结果；（2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．【解答】解：（1）所有可能出现的结果如下：2352（2，2）（2，3）（2，5）3（3，2）（3，3）（3，5）5（5，2）（5，3）（5，5）从表格可以看出，总共有9种结果；（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．19．（6分）如图，在5×6的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形（非矩形）；（2）在图2中过点C作CE⊥AB，使点E在格点上；（3）在图3中作∠FBA＝∠CBA，使点F在格点上，且不在直线BC上．【分析】（1）根据网格，以BC为对角线在图1中即可画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形（D为格点）；（2）根据网格画2×4格对角线即可在图2中作直线CE⊥AB（E为格点）；（3）根据网格作AB的垂直平分线交3×4格对角线于点G，即可在图3中作∠FBA＝∠CBA（F为格点，且不在直线BC上）．【解答】解：（1）如图1，四边形ABDC即为所求作的平行四边形；（2）如图2，直线CE即为所求；（3）如图3，∠FBA＝∠CBA．20．（8分）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式；（2）当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；（3）求出宾馆每天获得的最大利润．【分析】（1）根据当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据题意，可以得到（200+x﹣20）（50﹣）＝10560，然后求解即可；（3）根据题意，可以写出利润与x的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，y＝50﹣，即y与x的函数关系式为y＝50﹣；（2）由题意可得，（200+x﹣20）（50﹣）＝10560，解得x1＝60，x2＝260，∵每个房间每天的房价不得高于340元，∴200+x≤340，∴x≤140，∴0≤x≤140（x为10的整数倍），∴x＝60，∴200+x＝260，答：当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元；（3）设利润为w元，由题意可得：w＝（200+x﹣20）（50﹣）＝﹣0.1（x﹣160）2+11560，∴当x＜160时，w随x的增大而增大，∵每个房间每天的房价不得高于340元，∴200+x≤340，∴x≤140，∴0≤x≤140（x为10的整数倍）∴当x＝140时，w取得最大值，此时w＝11520，答：宾馆每天获得的最大利润是11520元．21．（8分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．【分析】（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义求出AC即可；（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，证出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，证出A'C＝2A'N＝x，由题意得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则CD＝BC＝60海里，∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，即＝，∴AC＝40（海里），答：此时点A到军港C的距离为40海里；（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，∵A'E∥CD，∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，∴∠BA′A＝45°，∵∠BA'E＝75°，∴∠ABA'＝15°，∴∠2＝15°＝∠ABA'，即A′B平分∠CBA，∴A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，∴A'C＝2A'N＝x，∵A'C+AA'＝AC，∴x+x＝40，解得：x＝60﹣20，∴AA'＝（60﹣20）海里，答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．22．（10分）如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，点P是BC边上的动点，PD⊥BC交AB于D，以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F．（1）求证：∠EFP＝∠EPB．（2）若AB＝20，sinB＝．①当∠APB＝4∠APD，求PC的长．②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长．（3）若sinB＝，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为．【分析】（1）利用切线的判定定理与弦切角定理解答即可；（2）①利用直角三角形的边角关系解答即可；②利用分类讨论的方法分三种情况讨论解答：当EF＝EP时，通过证明△BEP≌△AEP，利用直角三角形的边角关系解答即可；当EP＝FP时，利用垂径定理和直角三角形的边角关系解答即可；当FE＝PF时，利用等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系和勾股定理解答即可；（3）画出符合题意的图形，通过证明△ACP∽△CPD，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定与性质，通过等量代换得到关于DP与AC的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的直径，PD⊥BC，∴BC为⊙O的切线，∴∠EFP＝∠EPB；（2）解：①∵∠APB＝4∠APD，∠APB＝90°+∠APD，∴4∠APD＝90°+∠APD，∴∠APD＝30°．∴∠APC＝90°﹣∠APD＝60°．∵AB＝20，sinB＝，∴AC＝AB•sinB＝20×＝12．∵tan∠APC＝＝，∴PC＝＝4；②当EF＝EP时，∵EF＝EP，∴∠EPF＝∠EFP，∵∠EFP＝∠EPB，∴∠EPF＝∠EPB．∵PD为⊙O的直径，∴PE⊥AB．∴∠BEP＝∠AEP＝90°，在△BEP和△AEP中，，∴△BEP≌△AEP（ASA），∴BE＝AE＝10．∵sinB＝，∴tanB＝＝，∴PE＝；当EP＝FP时，∵EP＝FP，∴，∵PD为⊙O的直径，∴PD⊥EF，∵PD⊥BC，∴EF∥BC．∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠DPF，∴∠B＝∠DPF．∵PD⊥EF，AC⊥BC，∴DP∥AC，∴∠DPF＝∠PAC，∴∠PAC＝∠B．∴tan∠PAC＝tanB＝＝．∴PC＝9．∴PB＝BC﹣PC＝7．∵sinB＝＝，∴PE＝；当FE＝PF时，∵FE＝PF，∴∠FEP＝∠FPE．∵FEP+∠AEF＝90°，∠FPE+∠FAE＝90°，∴∠AEF＝∠FAE，∴EF＝AF．∴AF＝FP＝EF．∵∠DPA＝∠AEF，∴∠DPA＝∠DAP，∴PD＝AD．设PD＝AD＝3x，∵sinB＝＝，∴BD＝5x．∴AB＝BD+AD＝8x＝20，∴．∴BD＝5x＝．∵cosB＝，∴BP＝10．∴PC＝BC﹣BP＝6．∴AP＝＝6．∴PF＝AP＝3．综上，当△PEF为等腰三角形时，满足条件的△PEF的腰长为3或或．（3）解：当D，F，C在一条直线上时，∵PD为⊙O的直径，∴PF⊥CD，∴∠FAC+∠FCA＝90°，∵∠FCP+∠FCA＝90°，∴∠FAC＝∠FCP．∵∠ACP＝∠DPC＝90°，∴△ACP∽△CPD．∴，∴PC2＝AC•PD．∵sinB＝，∴∠B＝45°．∴BC＝AC，PD＝PB．∴PC＝BC﹣BP＝AC﹣PD．∴（AC﹣PD）2＝AC•PD，∴DP2﹣3DP•AC+AC2＝0．解得：DP＝AC或DP＝AC（不合题意，舍去）．∴，故答案为：．23．（10分）【证明体验】（1）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，在上取一点P，连结AP，BP，CP．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；【思考探究】（2）如图2，在（1）条件下，若点P为的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；【拓展延伸】（3）如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP＝∠E，求AP•PE的值．【分析】（1）利用等弦对等弧和同弧所对的圆周角相等的性质解答即可；（2）延长BP至点D，使PD＝PC，连接AD，设PA＝x，则PD＝x，BD＝5+x，利用相似三角形的判定与性质解答即可；（3）连接OP，OC，过点C作CH⊥BP于点H，利用等边三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求得BP，再利用相似三角形的判定与性质，通过证明△EPC∽△BPA即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴．∴∠APB＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABP＝∠ACP，∠CBP＝∠PAC，∴∠ABC＝∠PAC+∠PCA．∴∠APB＝∠PAC+∠PCA．（2）解：延长BP至点D，使PD＝PC，连接AD，如图，∵点P为的中点，∴．∴PA＝PC，∠ABP＝∠CBP．∴PA＝PD．∴∠D＝∠PAD．∴∠APB＝∠PAD+∠D＝2∠PAD．∵AB＝AC，∴．∴∠APB＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝2∠ABP，∴∠PAD＝∠ABP．∵∠D＝∠D，∴△DAP∽△DBA，∴．∵∠D＝∠PAD，∠PAD＝∠ABP，∴∠D＝∠ABP．∴AD＝AB＝6．设PA＝x，则PD＝x，BD＝5+x，∴．∴x2+5x﹣36＝0．解得：x＝4或﹣9（负数不合题意，舍去）．∴PA＝4；（3）连接OP，OC，过点C作CH⊥BP于点H，如图，∵⊙O的半径为5，CP＝5，∴OP＝OC＝PC＝5，∴△OPC为等边三角形．∴∠POC＝60°．∴∠PBC＝∠POC＝30°．在Rt△BCH中，BH＝BC•cos30°＝6×＝3，CH＝BC＝3．在Rt△PCH中，PH＝＝4．∴PB＝PH+B