北师大版数学八年级下册解答题专题训练50题-含答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北师大版数学八年级下册解答题专题训练50题含答案一、解答题1．计算:(1)计算：(2)化简求值，其中。【答案】(1)-2(2)，【分析】（1）结合零指数幂的意义和绝对值的意义等知识，先求出每一部分的值，再求和即可得解；（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．(1)；(2)，将代入，得：原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，零指数幂、绝对值的意义、二次根式等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练地运用法则进行化简是解（2）的关键，注意运算顺序．2．已知：如图，．求证：．【答案】证明见解析【分析】先利用证明再结合从而可得结论.【详解】解：【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握“两边及其夹角相等的两个三角形全等”是解题的关键.3．解不等式：．【答案】x＞－2【分析】利用不等式的基本性质，即可求得原不等式的解集．【详解】解：去分母得6（5x＋1）－3（x－2）＞2（5x－1）＋4（x－3）去括号得30x＋6－3x＋6＞10x－2＋4x－12移项得30x－3x－10x－4x＞－2－12－6－6合并同类项，得13x＞－26系数化为1，得x＞－2【点睛】此题主要考察不等式的解法．4．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】-3＜x≤2．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：x＞-3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为-3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．5．如图，五边形的内角都相等；(1)尺规作图：过点D作交于点F，在图中画出（保留作图痕迹，不写画法）；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可，（2）根据垂直的性质和四边形的内角和为，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，DF即为所求作的线段（2）由已知，，且∵四边形的内角和为360°∴【点睛】本题考查了尺规作图，垂直的性质和四边形的内角和为，解题的关键是掌握尺规作图的方法．6．如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，(1)仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F；(2)在（1）的条件下，求证：EF=BC．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC、BD，两者交于点G，连接EG并延长交CD与点F，即可．（2）证明四边形ADFE是平行四边形即可．（1）作图如下：点F即为所求，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，CD=AB，对角线交点G平分对角线AC、BD，∴点G为AC、BD的中点，∵E点为AB中点，∴EG为△ABD的中位线，∴，即，∵，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE=DF，∵E点为AB中点，∴，∴，即有，∴F点为DC中点，即F点满足要求．（2）证明：在（1）中已证明有：四边形ADFE是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，结论得证．【点睛】本题主要考查了基本作图，平行四边形的判定与性质、中位线的判定与性质等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．注意作图只能用无刻度直尺，并非尺规作图．7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形．【答案】见解析【分析】当，和时，在网格中找出点C即可．【详解】如图所示：【点睛】本题考查作等腰三角形，掌握等腰三角形两边相等是解题的关键．8．甲、乙两同学从家到学校的距离之比是，甲同学的家与学校的距离为米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙同学骑自行车速度的倍，甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到分钟．（1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？（2）求公交车的速度．【答案】（1）乙同学的家与学校的距离为米；（2）公交车的速度为米/分．【分析】（1）根据甲、乙两同学从家到学校的距离之比是10：7，甲同学的家与学校的距离为5400米，即可求出乙同学的家与学校的距离；（2）设乙同学骑自行车的速度为米/分，则公交车的速度为米/分，根据“甲同学比乙同学早到分钟”列分式方程求解即可；【详解】解：（1）甲、乙两同学从家到学校的距离之比是，甲同学的家与学校的距离为米，乙同学的家与学校的距离（米），答：乙同学的家与学校的距离为米；（2）设乙同学骑自行车的速度为米/分，则公交车的速度为米/分．依题意得：，解得：，

经检验，是方程的根．

，答：公交车的速度为米/分．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．先化简，再求值：，其中．【答案】；3【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当x=2时，原式=3．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．10．一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数是多少？【答案】4【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n-2）×180°=360°，求出即可．【详解】解：设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=360°，解得：n=4，∴这个多边形的边数是4．【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．11．在中，，平分交于点，垂直平分线段．（1）求；（2）若，，求的长．【答案】（1）30°；（2）．【分析】（1）由角平分线性质解得，由线段的垂直平分线性质解得继而得到，从而得到，据此解题；（2）由线段垂直平分线的性质，得到，结合角平分线上的点到角两边的距离相等，解得，继而计算线段的和即可．【详解】（1）平分垂直平分线段；（2）垂直平分线段平分．【点睛】本题考查角平分线性质、线段的垂直平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．如图，在边长均为1个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系xOy，按要求解答下列问题：（1）写出△ABC三个顶点的坐标；（2）画出△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形△A1B1C1；（3）求△ABC的面积．

【答案】（1）A（﹣1，8），B（-5，3），C（0，6）；（2）见解析；（3）6.5【分析】（1）直接利用已知坐标系得出各点坐标即可；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【详解】解：（1）A（﹣1，8），B（-5，3），C（0，6）；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）S正方形=55=25，所以，S△ABC=25﹣×4×5﹣×3×5﹣×1×2=25﹣10﹣7.5﹣1=6.5【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．13．如图，是的两条高，它们交于O点．(1)和的大小关系如何？并说明理由；(2)若，求和的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）根据是的两条高，故，即可；（2）根据，利用三角形的内角和得出，利用是的高得出，故，再利用四边形的内角和为求得的度数．【详解】（1）解：∵是的两条高，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵是的高，∴，故，在四边形中，∴．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，多边形内角和定理是解题的关键．14．阅读理解，并解答问题：观察发现：如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．问题解决：用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）按照轴对称的意义得出答案即可；（2）按照轴对称的定义和中心对称的定义设计，所设计的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形．【详解】（1）解：（1）参考图案，如图所示：（2）（2）参考图案，如图所示：【点睛】本题考查利用轴对称或中心对称设计图案，关键是理解轴对称和中心对称的定义．15．计算：（1）（2x﹣y）2+2x（2y﹣x）+（x﹣y）（x+y）（2）．【答案】（1）3x2；（2）﹣．【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开化简即可．（2）先括号内通分，除法转化为乘法，再约分化简即可．【详解】解：（1）原式＝4x2﹣4xy+y2+4xy﹣2x2+x2﹣y2＝3x2．（2）原式＝．【点睛】本题考查的是整式与分式的运算，能够熟练掌握乘法公式和分式化简的方法是解题的关键.16．（1）解分式方程：．（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】（1）无解（2）无解，数轴见解析【分析】（1）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．【详解】解：（1），约去分母得：，解得：，检验：当时，，所以是增根，故原方程无解；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组无解．把解集在数轴上表示出来，如下图：．【点睛】本题主要考查了解分式方程，一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程，一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键．17．观察下列等式：，①，②，③，④，⑤……（1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；（2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________；（3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8【分析】（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可；（2）根据（1）中的结论计算即可；（3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可．【详解】解：（1）．（2）．（3）∵∴∴∴这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8．【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关键．18．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接．(1)等于多少度？(2)说明与相等的理由．【答案】(1)(2)理由见解析【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，由可知，再根据三角形外角的性质即可得出结论；（2）根据等边三角形三线合一的性质得出，在由在同一三角形中等角对等边的性质即可得出结论．(1)解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴．(2)理由如下：∵是等边三角形，∴，，∵是的中点，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．一次知识竞赛共有20道选择题，每答一题对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过95分，小明至少要答对多少道题？【答案】见解析【分析】设小明答对x道题，则小明答错（20﹣x）道题，根据规则：答对一题得10分，则小明得了10x分；答错或不答都扣5分，则小明扣了5（20﹣x）.列式求解即可.【详解】解：小明答对x道题，则小明答错（20﹣x）道题，根据题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞95，解得：x＞13，∵x为整数，∴x的最小整数为14，答：小明至少要答对14道题．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确表示不等关系是解题关键.20．如图所示，在中，，；（1）下列操作中，直线是______的垂直平分线，作直线的正确顺序应该是______．（填序号）①过点，作直线．②分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，．③则直线就是线段______的垂直平分线．（2）若直线交于点，交于点，连接，则的周长为______．【答案】（1），②①③，；（2）20【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作法，即可求解；（2）先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，据此可得出结论．【详解】（1）由基本作图知：MN是线段BC的垂直平分线，分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线，则直线MN就是线段BC的垂直平分线．故答案为：BC，②①③，BC；（2）从作法可知：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8+12=20，故答案为：20．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线性质，能灵活运用线段垂直平分线性质是解此题的关键．21．如图，在直角坐标系中，.(1)若把向下平移个单位，再向右平移个单位得到，画出平移后的图形,并写出的坐标；(2)求的面积.【答案】（1）平移后的图形见详解，点C’（1,1）；（2）7.5.【分析】（1）根据题意进行平移即可得到，则点的坐标可直接写出.（2）用三角形的面积公式找到相应的底和高即可.【详解】解：（1）作图如下：点的坐标为：（2）的面积是：；【点睛】本题主要考查图形的平移和三角形面积的求法，准确画出平移后的图形是解题的关键.22．如图，在中，是的边上的高，E为垂足且．（1）试判断的形状，并说明理由．（2）求的长．【答案】（1）△ABD是直角三角形；（2）4．【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）由是的边上的高，利用面积桥计算即可．【详解】解：（1）∵在中，，根据勾股定理AB=，∵，∴△ABD是直角三角形；（2）∵是的边上的高，∴S△ABD=，∴．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式是解题关键．23．某市在精准扶贫活动中，因地制宜指导农民调整种植结构，增加种植效益．2018年李大伯家在工作队的帮助下，计划种植马铃薯和蔬菜共15亩，预计每亩的投入与产出如下表：（1）如果这15亩地的纯收入要达到54900元，需种植马铃薯和蔬菜各多少亩？（2）如果总投入不超过16000元，则最多种植蔬菜多少亩？该情况下15亩地的纯收入是多少？投入（元）产出（元）马铃薯10004500蔬菜12005300【答案】（1）需种植马铃薯11亩，需种植蔬菜4亩；（2）最多种植蔬菜5亩，该情况下15亩地的纯收入是55500元．【分析】（1）设需种植马铃薯x亩，需种植蔬菜y亩，根据等量关系：一共15亩地；这15亩地的纯收入要达到54900元；列出关于x和y的二元一次方程组，解出即可；（2）设种植马铃薯a亩，则需种植蔬菜（15﹣a）亩，根据“总投入不超过16000元”，列出关于a的一元一次不等式，解出即可．【详解】解：（1）设需种植马铃薯x亩，需种植蔬菜y亩，依题意有，解得．故需种植马铃薯11亩，需种植蔬菜4亩；（2）设种植马铃薯a亩，则需种植蔬菜（15﹣a）亩，依题意有1000a+1200（15﹣a）≤16000，解得a≥10，15﹣10＝5（亩），（4500﹣1000）×10+（5300﹣1200）×5＝35000+20500＝55500（元）．答：最多种植蔬菜5亩，该情况下15亩地的纯收入是55500元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解决本题的关键．24．在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接．（1）求的度数；（2）求三角形的面积．【答案】（1）45°；（2）4【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；（2）根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，根据中线的性质求得答案即可．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝（180°−∠BAC）＝45°；（2）∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD=BC=4，∵点E是AB的中点，∴S△AED＝S△BED＝S△ABD＝×AD•BD＝××4×4＝4．【点睛】此题主要是运用了等腰三角形的性质和三角形的中线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．25．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且，，AE=CF．(1)证明；；(2)证明：四边形ABCD是平行四边形．【答案】(1)过程见解析(2)过程见解析【分析】对于（1），根据“ASA”证明即可；对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得OE=OF，再结合AE=CF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案．（1）∵∠1=∠2，OB=OD，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）∵△BOE≌△DOF，∴OE=OF．∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即AO=CO．∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等，灵活选择判定定理是解题的关键．26．（1）计算：；

（2）求的值：【答案】（1）-2；

（2）x=【分析】（1）根据零指数幂、开平方、平方、绝对值的概念计算即可；（2）直接开立方即可求得答案．【详解】解：（1）===（2）移项得：，直接开立方得：解得：．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握开立方、绝对值、零指数的概念是解题的关键．27．如图，点E，F在BC上，BF＝EC，AF交DE于点G，GE＝GF，∠A＝∠D．求证：CD＝AB．【答案】见详解【分析】由等腰三角形的性质得出∠GFB=∠GEC，证明△ABF≌△DCE(AAS)即可．【详解】∵GE=GF，∴∠GEF=∠GFE，∵∠A=∠D，BF=EC，∴△ABF≌△DCE(AAS)，∴CD=AB.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角的知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．28．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料分析：因式分解：．解：将“”看成整体，设，则原式．再将代入，得原式．实践探索：上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”，请你结合上述解题思路，自己完成下列题目：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)（1﹣x+y）2(2)（5a﹣6）2【分析】（1）将看成整体，令代入原式即可求解；（2）将看成整体，令代入原式即可求解.【详解】（1）设x﹣y＝a，则原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2，将x﹣y＝a代入，得原式＝（1﹣x+y）2；（2）设a﹣1＝m，则原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2，将a﹣1＝m代入，得原式＝（5a﹣6）2.【点睛】本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键．29．如图，在中，，，点P在线段，作射线，将射线绕点C逆时针旋转，得到射线，过点A作于点D，交于点E，连接．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图形见详解；（2）线段，，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（DE-AD）2，【分析】（1）根据作图语句，即可补全图形：（2）线段，，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，将△ACE顺时针旋转90°得到△BCG，连结GE，证得点D在EG上，再得到∠AEC=∠BGC=∠CEG=45°，可求∠EGB=90°，在Rt△EGB中，由勾股定理，BG=AE=AD-DE，GE=ED+DG=2DE，可证．【详解】解：（1）根据作图语句，补全图形如下：（2）线段，，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，证明如下，将△ACE顺时针旋转90°得到△BCG，连结GE，则△ACE≌△BCG，AE=BG，CE=CG，∠AEC=∠BGC，∵AD⊥CP，∠ECD=45°，∴∠CED=90°-45°=45°，∴CD=ED，∵CE=CG，∠ECG=90°，∴∠CEG=∠CGE=45°，∴点D在EG上，∴∠AEC=∠BGC=∠CEG=45°，∴∠EGB=∠CGB+∠CGE=45°+45°=90°，在Rt△EGB中，由勾股定理，∵CE=CG，，∴ED=DG,∵BG=AE=DE-AD，GE=ED+DG=2DE，∴．【点睛】本题考查作图，等腰直角三角形旋转，三角形全等变换，直角三角形的判定，勾股定理，等腰三角形性质，掌握尺规作图方法，等腰直角三角形性质，三角形全等变换，直角三角形的判定方法，勾股定理应用，等腰三角形性质是解题关键．30．（1）因式分解（2）对于任何实数，规定一种新运算，如.当时，按照这个运算求的值.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）先提公因式，在利用平方差公式即可解答；（2）把已知方程移项得，在按新运算公式得到关于x的多项式【详解】解：（1）（2）由已知得：=2（）-1.【点睛】本题考查因式分解、整体代入思想，解题关键是熟练掌握因式分解方法.31．【答案】【分析】先化简括号内的式子，再根据分式的除法即可解答本题．【详解】=，=，=，=．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．32．在方格中的位置如图所示．请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得、两点的坐标分别为、．并求出点的坐标；作出关于横轴对称的△A1B1C1，再作出以坐标原点为旋转中心、旋转后的，并写出，两点的坐标．【答案】坐标系如图所示，；，如图所示，，．【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定C点坐标；（2）由轴对称性画△A1B1C1，由关于原点中心对称性画△A2B2C2，可确定写出C1，C2两点的坐标．【详解】（1）坐标系如图所示，C（3，﹣3）；（2）△A1B1C1，△A2B2C2如图所示，C1（3，3），C2（﹣3，3）．【点睛】本题考查了坐标系的确定方法，轴对称、中心对称的画图．关键是根据题意，建立坐标系．33．某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为336米的旧路上进行整修铺设柏油路面，铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原来增加，结果共用30天完成这一任务．求后来每天铺设路面的长度．【答案】12米【分析】原计划每天铺设路面的长度为x米，根据铺设路面共用了30天，列出关于x的分式方程求解即可．【详解】解：设原计划每天铺设路面的长度为x米，由题意得，，解得：，经检验：是原方程的解，则后来每天铺设：（米）答：后来每天铺设路面的长度为12米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．34．如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点．”那么：（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有个（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=，则∠APB的度数为（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长．【答案】（1）无数；（2）90°；（3）2或.【详解】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质可知，△ABC的开心点有无数个；（2）连接PA、PB，根据开心点的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据开心点的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解.试题解析：（1）无数.（2）①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°.∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB.与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC.②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC.③若PA=PB，由PD=AB，得PD="AD"=BD，∴∠APD=∠BPD="45°."∴∠APB=90°.（3）∵BC=5，AB=3，∴AC=.①若PB=PC，设PA=，则，∴，即PA=.②若PA=PC，则PA=2.③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能.∴PA=2或.考点：1.新定义；2.线段垂直平分线的性质；3.等腰（边）三角形的性质；4.勾股定理；5.分类思想的应用.35．（1）计算：．（2）计算：．（3）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）利用绝对值的定义，二次根式的性质计算即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）根据分式的混合运算法则把原式化简，把值代入计算即可．【详解】（1）计算：；（2）计算：；（3），当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，实数的混合运算，平方差公式，掌握分式的化简是解题的关键．36．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论.（2）①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论；②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.【详解】解：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°，∴∠B=∠FCA，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF.（2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G，∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形，∴BG=EG，∠3=45°，AE平分∠BAD，∵BM=2DE，∴BM=2BG，即点G是BM的中点∴EG是BM的垂直平分线，∴∠4=∠3=45°∴∠MEB=∠4+∠3=90°，∴ME⊥BC②∵AD⊥BC，∴ME∥AD，∴∠5=∠6∵∠1=∠5，∴∠1=∠6，∴AM=EM∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN.37．如图，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作

等腰直角△PAQ，∠PAQ=90°，QE⊥AB于E．（1）求证：△PAB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求的值；【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据题目中的信息可以得到AQ＝AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题；（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题．【详解】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE＋∠BAP＝∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△PAB和△AQE中，，∴△PAB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵由（1）知，△PAB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．38．如图，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点D，点D在AC的垂直平分线上，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，CE=AC，BC=AD．(1)求证：∠BEC=∠BAC；(2)求∠CAE的度数；(3)若BF=3，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)∠CAE的度数为72°；(3)BD的长为6．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角以及三角形内角和定理求得∠DAC=36°，∠ABC=∠CDB=∠ADE=∠CEA=72°，证明△ADE≌△CBD，即可求得∠BEC=∠BAC=36°；（2）由（1）知∠CAE=36°；（3）过点C作CG⊥BD于点G，证明△FBE≌△GBC，再根据等腰三角形的性质即可求解．(1)解：∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∠DAC=∠DCA，∵BC=AD，∴BC=DA=DC，∴∠CBD=∠CDB，∵CE平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD=∠DCA=∠DAC，∠CDB=∠DAC+∠DCA=2∠DAC=∠CBD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，即2∠DAC+2∠DAC+∠DAC=180°，∴∠DAC=36°，∴∠BCD=∠DCA=∠DAC=36°，∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠ADE=72°，∵CE=AC，∴∠CAE=∠CEA，∵∠DCA=36°，∴∠CAE=∠CEA==72°，∴∠ABC=∠CDB=∠ADE=∠CEA=72°，又DA=DC，∴BC=DA=DC=AE，∴△ADE≌△CBD，∴DE=DB，∴∠DEB=∠DBE，∵∠DEB+∠DBE=∠CDB=72°，∴∠DEB=∠DBE=36°，∴∠BEC=∠BAC=36°；(2)解：由（1）知∠CAE=72°，∴∠CAE的度数为72°；(3)解：过点C作CG⊥BD于点G，∵∠BCD=∠BEC=36°，∴BE=BC，∵∠FBE=∠BCD+∠BEC=72°=∠CBG，∴△FBE≌△GBC，∴BG=BF=3，∵CB=CD，且CG⊥BD，∴BG=GD，∴BD=6，∴BD的长为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．39．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC＝2CD．(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)若CD＝2，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；（2）根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据勾股定理，可得答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MD=NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形；（2）如图：连接ND，∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN=DC．∵N是BC的中点，∴BN=CN，∵BC=2CD，∴CN=CD，∵∠C=60°，∴△NCD是等边三角形．∴ND=NC，∠DNC=60°．∴DN=NC=NB，∴∠NBD=∠NDB，∵∠NBD+∠NDB=∠DNC=60°，∴∠NBD=∠NDB=30°，∴∠BDC=90°，∵CD＝2，∴BC=2CD=4，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，证得△NCD是等边三角形是解题的关键．40．已知，如图1，在ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．(1)求证：；(2)如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作，交DF于点K．求证：HC=2AK．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ADBC，得到∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，利用AAS定理证明即可；（2）取FH中点N，连接BN，利用AAS证明，然后根据全等三角形的性质、三角形中位线定理证明．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，AD=BC，∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，又AE＝BE，∴（AAS）；（2）解：如图，取FH中点N，连接BN，∵，AD=BC，∴BF=AD=BC，∴BN=HC，BNHC，∵，∴BNAK，∴∠AKE=∠BNE，∠KAE=∠NBE，又AE=BE，∴（AAS），∴AK=BN，∴HC=2AK．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，掌握它们的判定定理和性质定理是解题的关键．41．计算：+-【答案】1【详解】试题分析：根据分式加减的运算法则进行运算即可.试题解析：原式42．（1）化简：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，约分后根据分式的加法法则进行计算即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式；（2）方程两边同乘以得：，解得：，检验：当时，，∴是原分式方程的解．【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，注意在解分式方程时要检验．43．如图，中，，于，在上，且，，求证：是的平分线．【答案】见解析.【分析】利用“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△EDB，得到DC＝DE，然后根据角平行线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．【详解】证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB，∴DC＝DE，∵DC⊥AC，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的判定定理．44．分解因式（1）（2）【答案】（1）；（2）(x−2).【分析】（1）先提取公因式3x，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案；（2）先去括号，再根据完全平方公式进行分解即可．【详解】(1)原式=3x(1−4x)=3x(1−2x)(1+2x)(2)原式=x−4x+4=(x−2).【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.45．如图，OC平分∠AOB,OA=OB,PD⊥AC于点D,PE⊥BC

于点E，求证：PD=PE.【答案】详见解析.【分析】根据OC平分∠AOB，得到∠AOC=∠BOC，证得△AOC≌△BOC，根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC．

在△AOC和△BOC中，∵OC=OC，∠AOC=∠BOC，OA=OB，∴△AOC≌△BOC(SAS)，∴∠ACO=∠BCO．又∵PD⊥AC，