2020年研究生入学考试数学一真题及答案

2020年研究生入学考试数学一真题及答案一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当x→0+时，下列无穷小量中最高阶的是______

A．

B．

C．

D．

2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则______

A．当时，f(x)在x=0处可导

B．当时，f(x)在x=0处可导

C．f(x)在x=0处可导时，

D．f(x)在x=0处可导时，

3、设函数f(x，y)在点(0，0)处可微，f(0，0)=0，，非零向量α与n垂直，则______

A．

B．

C．

D．

4、R为幂级数的收敛半径，r为实数，则______

A．发散，则|r|≥R

B．发散，则|r|≤R

C．|r|≥R，则发散

D．|r|≤R，则收敛

5、若矩阵A由初等列变换为矩阵B，则______

A．存在矩阵P，使PA=B

B．存在矩阵P，使BP=A

C．存在矩阵P，使PB=A

D．方程组Ax=0与Bx=0同解

6、已知直线相交于一点，记向量则______

A．α1可由α2，α3线性表示

B．α2可由α1，α3线性表示

C．α3可由α1，α2线性表示

D．α1，α2，α3线性无关

7、设A，B，C为三个随机事件，且则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为______

A．

B．

C．

D．

8、设X1，X2，…，X100为来自总体X的简单随机样本，其中，Φ(x)表示标准正态分布函数，则由中心极限定理可知，的近似值为______

A．1-Φ(1)

B．Φ(1)

C．1-Φ(0.2)

D．Φ(0.2)

二、填空题9、

10、

11、设函数f(x)满足f"(x)+af'(x)+f(x)=0(a＞0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则

12、设函数

13、

14、已知随机变量X服从区间上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=______．

三、解答题本大题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．

16、计算曲线积分，其中L是x2+y2=2，方向为逆时针方向．

17、设数列{an}满足a1=1，．证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和函数．

18、设∑为曲面的下侧，f(x)是连续函数，计算

19、设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，，证明：

(Ⅰ)存在ξ∈(0，2)，使|f'(ξ)|≥M；

(Ⅱ)若对任意x∈(0，2)，|f'(x)|≤M，则M=0．

20、设二次型经正交变换化为二次型，其中a≥b．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)求正交变换矩阵Q．

21、设A为2阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．

(Ⅰ)证明P为可逆矩阵；

(Ⅱ)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

22、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1，X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为

(Ⅰ)求二维随机变量(X1，Y)的分布函数，结果用标准正态分布Φ(x)表示；

(Ⅱ)证明随机变量Y服从标准正态分布．

23、设某种元件的使用寿命T的分布函数为其中θ，m为参数且大于零．

(Ⅰ)求概率P{T＞t}与P{T＞s+t|T＞s}，其中s＞0，t＞0；

(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，tn，若m已知，求θ的最大似然估计值

答案:

一、选择题

1、D[考点]

本题考查无穷小的阶的比较及常见的等价无穷小．

[解析]

当x→0+时，t→0+，选项A，因为当t→0+时，et2-1～t2，所以当x→0+时，；选项B，因为当t→0+时，，所以当x→0+时，；选项C，因为当t→0+时，sint2～t2，所以当x→0+时，；选项D，因为当t→0+时，，所以当x→0+时，．故答案为D．2、C[考点]

本题考查导数的定义．

[解析]

选项A，令f(x)=|x|，则，但f(x)在x=0处不可导，故A项不成立；选项B，令则，但f(x)在x=0处不连续，从而在x=0处不可导，故B项不成立；选项D，令f(x)=x，显然f(x)在x=0处可导，但不存在，故D项不成立；选项C，当f(x)在x=0处可导时，f(x)在x=0处连续，则f(0)=，从而是有界变量，，答案为C．3、A[考点]

本题考查二元函数可微的定义和内积的计算．

[解析]f(x，y)在(0，0)处可微，则4、A[考点]

本题考查幂级数的收敛．

[解析]

因为幂级数的收敛半径为R，则当|r|＜R时，级数绝对收敛，所以收敛，故其逆否命题成立，即当发散时，有|r|≥R．5、B[考点]

本题考查矩阵的初等变换．

[解析]

矩阵A经初等列变换化成B，则存在可逆矩阵Q，使得AQ=B，从而A=BQ-1，令P=Q-1，即BP=A．6、C[考点]

本题考查向量间的线性表示及两直线相交的判定．

[解析]

由于两直线相交，则向量α1，α2不平行，向量α1，α2，α3-α2共面，即向量α1，α2线性无关，向量α1，α2，α3-α2线性相关，所以α3-α2可以由α1，α2线性表示，则α3可以由α1，α2线性表示．7、D[考点]

本题考查随机事件概率的计算．

[解析]

由ABCAB，P(AB)=0，得P(ABC)=0．A，B，C中至少有一个发生的概率为A，B，C中至少有两个发生的概率为P(AB∪BC∪CA)=P(AB)+，所以A，B，C中恰有一个发生的概率为8、B[考点]

本题考查独立同分布的中心极限定理．

[解析]

总体X的分布律为，则是来自总体X的简单随机样本，则由独立同分布的中心极限定理，知近似服从N(50，25)，所以，二、填空题

9、-1[考点]

本题考查∞-∞型极限的计算．

[解析]

10、[考点]

本题考查参数方程确定的函数求二阶导数，

[解析]

所以11、n+am[考点]

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解和反常积分．

[解析]

由题意知特征方程为λ2+aλ+1=0，其判别式为Δ=a2-4．当Δ＞0时，说明有两个不相等的实根λ1，λ2，又由a＞0，则λ1＜0，λ2＜0，则f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x，得；当Δ=0时，即a=2，说明有两个相等的实根λ1=λ2=-1，则f(x)=e-x(C1+C2x)，得；当Δ＜0时，说明有一对共轭的复根λ1，2=α±βi，其中，则f(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)，得，所以f'(0)+af(0)=n+am．12、4e[考点]

本题考查变限积分求二阶偏导数．

[解析]

13、a2(a2-4)[考点]

本题考查行列式的计算．

[解析]

14、[考点]

本题考查随机变量函数的数学期望和协方差的计算．

[解析]

由题意随机变量X的概率密度函数为，则三、解答题15、解：

B2-AC=1＞0，所以(0，0)不是f(x，y)的极值点；

B2-AC=-3＜0，A=1＞0，所以是f(x，y)的极值点并且是极小值点，

所以f(x，y)的极小值为

16、解：

P(x，y)，Q(x，y)在(0，0)处没有定义，

取路径Lε：4x2+y2=82(其中ε2充分小)，方向为顺时针方向，

(其中D是由x2+y2=2和4x2+y2=ε2所围成的区域)

17、证：，则收敛半径

所以当|x|＜1时，幂级数收敛．

当|x|＜1时，令，则

即

关于S(x)是一阶非齐次线性微分方程，

通解

又由S(0)=C-2=0，得C=2，则

故

18、解：∑的函数为，则

又∑为曲面的下侧，则有

19、证：(Ⅰ)显然|f(x)|在[0，2]上连续，由闭区间上连续函数的最值定理知，存在一点c∈[0，2]，使得M=|f(c)|，

当c=0或c=2时，由f(0)=f(2)=0可知，M=0，则f(x)=0，x∈[0，2]，

f'(x)=0，x∈(0，2)，结论显然成立．

下面证明当0＜c＜2时，结论也成立．

当0＜c≤1时，由拉格朗日中值定理，ξ1∈(0，c)，使得

当1＜c＜2时，由拉格朗日中值定理，ξ2∈(c，2)，使得

综上可知，使得|f'(ξ)|≥M．

(Ⅱ)(方法一)反证法：假设|f(c)|=M＞0，其中0＜c＜2，f(0)=f(2)=0，由罗尔中值定理知，，使f'(η)=0，

于是2M＜Mc+M(2-c)=2M，矛盾；

同理当η∈(c，2)时，可得2M＜M(2-c)+Mc=2M，矛盾；

故M=0．

(方法二)反证法：假设|f(c)|=M＞0，其中0＜c＜2，

若0＜c＜1，由拉格朗日中值定理，，使得

M=|f(c)|=|f(c)-f(0)|=|f'(η1)|c≤Mc，得c≥1，矛盾；

若1＜c＜2，由拉格朗日中值定理，，使得

M=|f(c)|=|f(2)-f(c)|=|f'(η1)|(2-c)≤M(2-c)，

得2-c≥1≤1，矛盾；

若c=1，即|f(1)|=M＞0，

因为对任意x∈(0，2)有|f'(x)|≤M，所以|f'(x)|=Mf'(x)=±M，

又因为f(0)=f(2)=0，得

则f(x)在x=1处不具有连续导数与已知矛盾，故M=0．

20、解：(Ⅰ)二次型f(x1，x2)与g(y1，y2)对应的矩阵分别为则

得QTAQ=B，因为Q是正交矩阵，所以QT=Q-1，

即QTAQ=Q-1AQ=B，矩阵A与B既合同又相似，

(Ⅱ)

矩阵A与B相似，则A与B的特征值都是0和5．

当λ=0时，解(0E-A)x=0，得基础解为

当λ=5时，解(5E-A)x=0，得基础解为；

当λ=0时，解(0E-B)x=0，得基础解为；

当λ=5时，解(5E-B)x=0，得基础解为；

α1与α2正交，将α1与α2单位化，得

令Q1=(γ1，γ2)，Q2=(γ2，γ1)，则

21、证明：(Ⅰ)因为α是非零向量且α不是A的特征向量，故α与Aα线性无关，则r(α，Aα)=2，所以P可逆．

(Ⅱ)因为A2α+Aα-6α=0，则A2α=6α-Aα，

因为P可逆，所以

A2α+Aα-6α=0，则(A2+A-6E)α=0，

因为α是非零向量，得(A2+A-6E)x=0有非零解，

则|A2+A-6E|=|(A+3E)(A-2E)|=0，得|A+3E|=0或|A-2E|=0，

若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾；

同理若|A-2E|≠0，则有(A+3E)α=0，故Aα=-3α与题意矛盾，

所以|A+3E|=0，|A-2E|=0，于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2，故A可相似对角化．

22、解：(Ⅰ)二维随机变量(X1，Y)的分布函数为

F(x，y)=P{X1≤x，Y≤y}

=P{X1≤x，Y≤y|X3=0}P{X3=0}+P{X1≤x，Y≤y|X3=1}P{X3=1}

=P{X1≤x，X3X1+(1-X3)X2≤y|X3=0}P{X3=0}+P{X1≤x，X3X1+(1-X3)X2≤y|X3=1}P{X3=1}

若x≤y，则

若x＞y，则

(Ⅱ)FY(y)=P{Y≤y}=P{