山东、湖北省部分重点中学2023-2024学年高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

山东、湖北省部分重点中学2023-2024学年高二数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设变量满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.C.3 D.42．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.C. D.3．复数，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（）A.2 B.C. D.04．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（）A. B.C. D.5．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形6．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.7．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．对数的创始人约翰·奈皮尔（JohnNapier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.6079．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B.C.1 D.10．，则（）A. B.C. D.11．已知直线l，m，平面α，β，，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为A.2 B.1C. D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________14．设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_______________.15．圆与圆的公共弦长为______16．曲线在点处的切线方程为_____________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.18．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（1）求椭圆M的方程；（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.19．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，（1）证明：；（2）设平面平面，求l与平面MND所成角的正弦值20．（12分）已知直线：，直线：.（1）若，求与的距离；（2）若，求与的交点的坐标.21．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.（1）求抛物线的方程；（2）若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.22．（10分）已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.（1）求实数的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由，可得，因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为，故选：A.2、B【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【详解】设等差数列公差为，由得：；又，，.故选：B.3、B【解析】根据复数的几何意义求出的范围，即可得出答案.【详解】解：当z在复平面内对应的点在第二象限时，则有，可得，结合选项可知，B正确故选：B4、A【解析】不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以故选：A5、C【解析】利用余弦定理角化边整理可得.【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故选：C6、C【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.7、B【解析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.故选：B.8、D【解析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.【详解】设，则，则，则，，的数位是607.故选：D.9、B【解析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得.故选：B10、B【解析】求出，然后可得答案.【详解】，所以故选：B11、A【解析】由题意可知，已知，，则可以推出，反之不成立.【详解】已知，，则可以推出，已知，，则不可以推出.故是的充分不必要条件.故选：A.12、D【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方程联立，求出以及的值，然后通过抛物线的定义将化简，最后得出结果【详解】因为直线交抛物线于不同的两点，所以直线的斜率存在，设过抛物线的焦点的直线方程为，由可得，，因为抛物线的准线方程为，所以根据抛物线的定义可知，，所以，综上所述，故选D【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质，考查了计算能力，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得.【详解】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.故答案为：14、【解析】由可知公比，所以直接利用等比数列前项和公式化简，即可求出【详解】解：因为，所以，所以，所以，化简得，因为等比数列的各项为正数，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题15、【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆与圆两式相减得，公共弦所在直线方程为：圆，圆心为到公共弦的距离为：公共弦长故答案为：16、【解析】首先判定点在曲线上，然后利用导数的几何意义求得答案.【详解】由题意可知点在曲线上，而，故曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程：，即，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.【小问1详解】由题意知的离心率为，整理得，又因为经过点，所以，解得，所以，因此，的方程为.小问2详解】由已知可得，当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，此时有或.当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，，，，由得，所以，，所以，用替换可得.所以，综上所述，的取值范围为.18、（1）（2）【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.【小问1详解】解：把右焦点代入直线，得，设，，的中点为，则，，相减得，即，即，即.又，，则.又，解得，，故椭圆的方程为.【小问2详解】联立消去，可得，解得或，故交点为，.所以.因为，所以可设直线的方程为，，，联立消去，得到，因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，解得，且，又，则.故四边形的面积为，故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值.【小问1详解】∵PD⊥平面ABCD，，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小问2详解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD与平面MND所成的角即为l与平面MND所成的角由（1）知，设平面MND的一个法向量，则，取，则，于是是平面MND的一个法向量，因为，设l与平面MND所成角为，则20、(1).(2).【解析】分析：（1）先根据求出k的值，再利用平行线间的距离公式求与的距离.(2)先根据求出k的值，再解方程组得与的交点的坐标.详解：（1）若，则由，即，解得或.当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合，故舍去；当时，直线：，直线：，所以.（2）若，则由，得.所以两直线方程为：，：，联立方程组，解得，所以与的交点的坐标为.点睛：（1）本题主要考查直线的位置关系和距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)直线与直线平行，则且两直线不重合.直线与直线垂直，则.21、（1）（2）证明见解析，定点坐标为(8,0).【解析】（1）根据抛物线的定义，即可求出结果；（2）由题意直线方程可设为，将其与抛物线方程联立，再将转化为，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.【小问1详解】解：抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点，设抛物线的方程为，到焦点的距离为6，即有点到准线的距离为6，即解得，即抛物线的标准方程为；【小