三角函数极值问题的探讨

三角函数极值问题的探讨【摘要】极值是定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点.极值是自然科学、工程技术以及生产活动、生活实践中常常遇到的问题,类型是多种多样的,其中三角函数的极值却占着重要的地位,因为它不但能解决三角函数的极值问题,而且许多其它函数极值问题通过变换往往可化为这一类型.本文仅就三角函数极值问题进行讨论.【关键字】三角函数;极值；解法目录TOC\o"1-1"\h\z\u摘要 1引言 2一、正弦（或余弦）的线性函数的极值. 2二、正余弦线性函数的极值 3三、正、余弦二次奇次函数的极值 5四、正弦二次函数的极值 7五、某些特殊类型三角函数极值问题 10结束语 12参考文献 13引言三角函数极值问题是函数极值问题的一个重要部分，也是中学数学的重要内容之一.他在实际生活中具有广泛的应用.解答三角函数式极值问题，不仅用到三角函数的特性，如有界性，以及三角函数恒等变形等知识，而且与代数中的基本不等式，二次三项式的配方法、一元二次方程的判别式及有关几何知识紧密联系.因此，解三角函数式的极值问题需灵活综合运用多方面的知识.下面就几种三角函数的极值问题进行讨论.一、正弦（或余弦）的线性函数的极值.根据正弦（或余弦）函数的有界性，有1.当即时，此时；当即时，此时.2.当即时，此时；当即时，此时.形如函,，的三角函数式都可以通过恒等变形，转化为这种类型求解.特别型，通过构造分母的办法进行转化这时问题转化为求的极值例1、求函数的最大值和最小值.解：当时，；当时，.说明：经过恒等变形，所求函数的极值取决于分母的极值，而得极值的求法属于第一类型.二、正余弦线性函数的极值.其中根据正弦函数的有界性，可得当时，；当时，.其中例2、求函数，的最大值和最小值.解：当时，；当或时，说明：通过和差化积将函数变形为然后利用余弦函数的有界性求出最大值.但在求最小值时，由于函数的解析式是偶次方，恒有，因此当时，函数得最小值零.例3、在定圆内的所有内接等腰三角形中，怎样的三角形其底边和底边上的高之和为最大.解:如图，设定圆的半径为，其内接等腰的底边为,高为，并设，则，,，，底边与高之和为当且仅当时，，此时可算出底边,高例4、在单位圆内，扇形的顶角在内变动，是该扇形的内接正方形（如图），试求的最小值.（1993年四川省高中联赛题）解：如图设,,则诸点坐标为，，,，由此，得其中当时，有.三、正、余弦二次奇次函数的极值.因为当时，；当时，；其中.说明：函数，，这些类型的三角函数经变化，均可化为的形式求解.例5：求函数的最小值，并导出使函数取最小值的的集合.(1991年高考文理第三(21)题)解：利用三角函数的恒等变形，可得其中当时，例6：求三角函数的最小值，其中为非零参数.解：把原式改写成下列形式因此，要求原三角函数的最小值，只需求出上式最后三项取最小值时的值，并令即可求得.说明:在本例若令，得，此时还可以算出参数之值.四、正弦二次函数的极值.令，则正弦二次函数便转化为二次函数在闭区间上的极值问题.这个二次函数在开区间有最小值；当时，即时，，且在区间减小，在区间增大，因此：（1）当即时，函数在闭区间上单调递增，这时，当即时，；当即时，.（2）当即时，函数在闭区间上有顶点，即当时，；此时，函数的最大值是或时，函数值中的较大者，即.（3）当即时，函数在闭区间上单调递减.当即时，；当即时，.其中（1），（2），（3）中的除上述三种基本类型外，正切、余切，正割、余割的有理函数都可以通过万能置换公式转化为代数函数，从而可以利用代数方法求出极值.另外，对于正弦、余弦的二次奇次函数除用上述类型三中的方法外，也可以用下面的方法求出极值.化原式为：，移项，整理并以除之，得，由于为实数，故必有解次不等式，得，；.在解三角函数极值问题时，要注意在函数定义域内求解.此外，要灵活运用三角恒等变形的方法和技巧，并注意代数知识和方法在解决极值问题中的应用.例7：已知函数的最大值为8，最小值为6，求，之值.解：令，则原函数转化为闭区间上的二次函数.对实参数进行讨论；当时，当时，；当时，.联立解得，与矛盾.当时，当时，；当时，.由此解得.当时，类似（2）可解得,当时，与（1）相同，不可能综上，适合题意的解为或.例8：设是定义在上的奇函数，且在上为减函数，问是否存在实数，使得对所有的实数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.解：为奇函数，，又在上为减函数，由可得，即.令当即时，，，.当即时，，，.当，即时，，.综上，时，对任意均成立.例9：求函数的最小值.解：又，，.等号成立当且仅当，即时成立，当时，.说明：本例题利用基本不等式.，求出了函数的最小值，但却求不出它的最大值.应用不等式求函数的极值时应引起注意.如果要求函数的最大值时，可采用变量代换的方法，令，则，函数可化为，显然，当时，的值最大.因此，时，即当时，值最大，其最大值为.当然也可以用上述方法求出函数的最小值.五、某些特殊类型三角函数极值问题.有些三角函数极值问题，只需将三角函数式略加变形，经配方或利用基本不等式等知识就能使问题顺利得解，下举数例.例10、过直角坐标第一象限内一点，作直线与的正半轴分别相交于和，问直线与轴所成锐角为何值时，直线与两坐标轴所围成的的面积为最小，并求此最小值解：如图，作轴，则，上式经配方，得当且仅当时，有.例11、如图，在一张半径为的圆桌的中央的上空挂一盏电灯，怎样选择灯的高度，才能使桌子边缘处最亮（已知桌子边缘处的亮度与的正弦成正比，而和这一点到光源的距离的平方成反比）.分析设比例系数为，则桌子边缘上一点处的照度为.再把用来表示，此时照度便为的函数，从而归结为求三角函数式的极值.解：设桌子边缘一点处的照度为（为常数）.当且仅当，即时，，这时.故将灯挂在桌子正中央上方处时，桌子边缘亮度最大.例13、设圆满足：（1）截轴所得的弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长比为，在满足条件（1），（2）的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程.（1997年全国理科高考题）解:设圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为.根据题意，可得，.显然要求到达最小值，只要在约束条件下，求的最小值即可.为此，可用“数形结合法”解题.令，，则．视为点与点连线的斜率，而点为单位圆上的点，，从而解出或，所求圆的方程为或.结束语三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中，三角函数也是常用的工具.而且三角函数的极值问题也是高考的命题之一，而且在很多的物理学中常常要运用三角函数极值的原理来进行求解，因此学好三角函数的极值的求法是非常有用的，它不仅可以为我们的高考解决题目还可以解决我们实际问题，为我们的生活提供方便.参考文献[1]段肃昌.几类常见三角函数式极值的求法[J].数学教学研究,1995,(01)[2]谭坤宁.利用辅助角求三角函数极值例析[J].中学理科,1998,(08)[3]蒋鹏敏.求三角函数极值的方法[J].天津教育,