山东省德州市乐陵市第一中学2023年数学高二上期末监测试题含解析

山东省德州市乐陵市第一中学2023年数学高二上期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.2．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（）A.直方图中a的值为0.40B.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54D.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为183．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.486．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A. B.C. D.7．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（）A. B.C. D.8．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A. B.C. D.9．已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.10．下列直线中，与直线垂直的是（）A. B.C. D.11．已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（）A. B.C.4 D.812．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（）.A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.14．已知圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则圆心的轨迹方程为______，若点，，则周长的最小值为______15．若双曲线的渐近线为，则其离心率的值为_______.16．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，且直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，，.（1）求的通项公式；（2）设的前项和，求的值.18．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.①证明：动直线恒过轴上一定点；②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，且，侧棱，，M是PC的中点，设，，（1）试用，，表示向量；（2）求BM的长20．（12分）已知函数，求函数在上的最大值与最小值.21．（12分）已知椭圆C：的左右焦为，，点是该椭圆上任意一点，当轴时，，（1）求椭圆C的标准方程；（2）记，求实数m的最大值22．（10分）已知函数，当时，函数有极值1.（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.所以，为假，故A错误；为真，故B正确；为假，故C错误；为假，故D错误.故选：B2、D【解析】根据频率之和为求得，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，解得，A选项正确.众数为，B选项正确.成绩低于秒的频率为，人数为，所以C选项正确.成绩高于的频率为，人数为人，D选项错误.故选：D3、D【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可【详解】解：由题意可得，整理得，当时，不等式化简为恒成立，所以，当时，不等式化简为恒成立，所以，综上，，所以实数的取值范围是，故选：D4、B【解析】根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解.【详解】根据直三棱柱的特征，补全可得如图所示的正方体，易知，为直线与所成角，连接，则为等边三角形，所以，所以直线与所成角的大小为.故选：B5、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C6、B【解析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，则线段垂直于轴且的中点在轴，从而点关于轴对称的点的坐标为.故选：B.7、B【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，设，则根据抛物线的定义可得，，，的面积为，故选：.8、A【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；9、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B10、C【解析】，，若，则，项，符合条件，故选11、D【解析】先求抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，由弦长公式可求的最小值.【详解】因为直线为抛物线的准线，故即，故抛物线方程为：.设直线，则，，而，当且仅当等号成立，故的最小值为8，故选：D.12、A【解析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.【详解】因为在直线上，故存在实数使得，.若，则，所以，解得，因此点的坐标为.故选：A.【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或##或【解析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.【详解】，且，设，，解得，或.故答案为：或.14、①.②.【解析】设，圆半径为，进而根据题意得，，进而得其轨迹方程为双曲线，再根据双曲线的定义，将周长转化为求的最小值，进而求解.【详解】解：如图1，因为圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，所以，，所以中点，则，，所以，故设，圆半径为，则，，，所以，即所以圆心的轨迹方程为，表示双曲线，焦点为，，如图2，连接，由双曲线的定义得，即，所以周长为，因为，所以周长的最小值为故答案为：；.15、【解析】利用渐近线斜率为和双曲线的关系可构造关于的齐次方程，进而求得结果.【详解】由渐近线方程可知：，即，，，（负值舍掉）.故答案为：.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于的齐次方程.16、##0.25【解析】求出点A，B坐标，设出直线l的方程，联立直线l与椭圆方程，借助韦达定理即可计算作答.【详解】依题意，点，直线AB斜率为，因直线l直线AB，则设直线l方程为：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，设，则，有，因此，，所以的值为.故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，数列的通项为；（2）数列的前项和，由，化简得，即，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）（2）①证明见解析；②【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.【小问1详解】根据题意得，，，又，三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：【小问2详解】①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；因为，所以设直线：，直线：；由，解得，所以，同理，.当时，，所以直线的方程为：，整理得，此时直线过定点；当时，直线的方程为：，此时直线过定点，故直线恒过定点.②根据题意得，，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的面积的最大值为：.【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19、（1）；（2）.【解析】（1）将，代入中化简即可得到答案；（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.【小问1详解】是PC的中点，，，，，结合，，，得.【小问2详解】∵底面ABCD是边长为1的菱形，且，侧棱，，，，，.，.由（1）知，，，即BM的长等于.20、最大值为，最小值为【解析】利用导数可求得的单调性，进而可得极值，比较极值和端点值的大小即可求解.【详解】由可得：，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，，又因为，，所以，综上所述：函数在上的最大值为，最小值为.21、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆的定义及勾股定理可求解；（2）问题转化为在轴截距的问题，临界条件为直线与椭圆相切，求解即可.【小问1详解】因为，，所以，∴，所以椭圆标准方程为：【小问2详解】要求的最值，即求直线在轴截距的最值，可知当直线与椭圆相切时，m取得最值.联立方程：，整理得，解得所以实数m的