广东省广州市荔湾区育才中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）若是二次根式，则x的取值范围是（）

A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≠2

2．（3分）下列计算正确的是（）

A．＝±15B．＝

C．＝D．＝﹣3

3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A．3，4，5B．4，5，6C．5，10，12D．6，7，8

4．（3分）若x2﹣6x+9与互为相反数，则x+y的值为（）

A．3B．6C．9D．27

5．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4．对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO．则BE的长度为（）

A．4B．6C．2D．4

6．（3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC＝60°，FO＝FC，则下列结论：

①AE＝CF；

②四边形BFDE是菱形；

③BF垂直平分线段OC；

④BE＝3AE．其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（3分）如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，G是AD上的任一点，则S△BEF和S△GFC分别等于S的（）

A．和B．和C．和D．和

8．（3分）观察图中的尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）

A．AD＝BD

B．直线CD是线段AB的垂直平分线

C．∠CAD＝∠CBD

D．四边形ADBC的面积为ABCD

9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，EF、BG分别是△ABC的中位线和中线，则下列说法不正确的是（）

A．AG＝EFB．BG＝EFC．CG＝BGD．AE＝CF

10．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（）个．

①EF⊥AC；

②四边形ADFE是菱形；

③AD＝4AG；

④△DBF≌△EFA．

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．（4分）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝260°，那么∠B＝°．

12．（4分）化简计算：＝；＝；的算术平方根是．

13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是．

14．（4分）比较大小：．（填“＞”“＜”或“＝”）

15．（4分）如图，在数轴上点P表示的实数是．

16．（4分）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点E坐标为（0，﹣），点P是对角线OC上一个动点．则EP+BP的最短距离是．

17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝6，OC＝，则直角边BC的长为．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．（6分）计算：．

19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝+1．

20．（6分）已知三角形两边长为3，5，要使这个三角形是直角三角形，求出第三边的长．

21．（8分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）连接AD，若∠B＝38°，求∠CAD的度数．

22．（8分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．

（1）求证：∠C＝90°；

（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的长．

23．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．

24．（10分）【教材重现】如下是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF，求证：CE＝DF．

请根据上述内容，结合图①，写出完整的证明过程．

证明：

【变式探究】如图②，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，AC⊥DE交AC于点F，交BC于点E，BC＝CD＝3，CE＝1，点G是线段AF上的一个动点，连接DG、EG．当四边形GECD的面积是4时，线段AG的长度为．

25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是CD上的一动点（P与D、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CB于点E．

（1）连接AE，当△APE与△ABE全等时，求DP的长；

（2）若设DP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥DB，求出此时DP的长．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：由题意得：3x﹣6≥0，

解得：x≥2，

故选：B．

2．解：A、原式＝15，故A错误．

B、原式＝，故B正确．

C、原式＝，故C错误．

D、原式＝3，故D错误．

故选：B．

3．解：32+42＝52，故选项A符合题意；

42+52≠62，故选项B不符合题意；

52+102≠122，故选项C符不合题意；

62+72≠82，故选项D不符合题意；

故选：A．

4．解：根据题意得（x2﹣6x+9）+＝0，

所以（x﹣3）2+＝0，

所以x﹣3＝0，2x﹣y﹣3＝0，

所以x＝3，y＝3，

所以x+y＝6．

故选：B．

5．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴BC＝4，

在Rt△BOC中，

BO2+CO2＝BC2，

即2BO2＝42，

解得BO＝2，

∵CE＝CO，

∴OE＝4，

在Rt△BOE中，

BE＝＝＝2．

故选：C．

6．解：在矩形ABCD中，CD∥AB，

∴∠FCO＝∠EAO，

∵O是AC的中点，

∴OA＝OC，

在△FOC和△EOA中，

，

∴△FOC≌△EOA（ASA），

∴AE＝CF，

故①选项正确；

在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，

∵AE＝CF，

∴BE＝DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵∠BOC＝60°，OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵△FOC≌△EOA，

∴∠FCO＝∠OAB＝30°，OF＝OE，

∵FO＝FC，

∴∠FOC＝30°，

∴∠BOF＝90°，

∵OF＝OE，

∴OB垂直平分线段EF，

∴BE＝BF，

∴四边形BEDF是菱形，

故②选项正确；

∵OB＝OC，∠BOC＝60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴BO＝CB，

∵FO＝FC，

∴FB垂直平分线段OC，

故③选项正确；

∵∠BOE＝90°，∠OBE＝30°，

∴BE＝2OE，

∵△FOC≌△EOA，

∴AE＝CF，OE＝OF，

∵FO＝FC，

∴AE＝OE，

∴BE＝2AE，

故④选项不正确，

综上所述，正确的有①②③，

故选：C．

7．解：△BEF的底为BC的一半，高也为平行四边形高的一半；

△FGE的底为BC的一半，高等于平行四边形的高．

∴可得S△BEF和S△GFC分别等于S的和．

故选：B．

8．解：由作图知，CD垂直平分AB，

∴AD＝BD，AC＝BC，

∵CD＝CD，

∴△ACD≌△BCD（SSS），

∴∠CAD＝∠CBD，

∵CD⊥AB，

∴四边形ADBC的面积为ABCD，

故选项A，B，C正确；D错误，

故选：D．

9．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，EF、BG分别是△ABC的中位线和中线，

∴BG＝AC，EF＝AC，AG＝GC＝AC，

∴AG＝EF，BG＝EF，CG＝BG，

∴选项A、B、C说法正确，不符合题意；

∵BA和BC不一定相等，

∴AE和CF不一定相等，

∴选项D说法错误，符合题意；

故选：D．

10．解：①如图，连接CF，

∵∠ACB＝90°，F为AB中点，

∴CF＝AB＝AF，

∴点F在AC的垂直平分线上，

∵△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE，

∴点E在AC的垂直平分线上，

∴EF⊥AC，①正确；

②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，

∴DF⊥AB，∴AD＞DF，

∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；

③∵△ABD是等边三角形，

∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠DAB＝∠ABC＝60°，

∴AD∥BC，

∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，

∴EF∥AD，

∴AD∥EF，

∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，

∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，

∴EF＝2AF＝AB，

∴AD＝EF，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∴AG＝AF＝AB＝AD，

∴AD＝4AG，③正确；

④∵四边形ADFE是平行四边形，

∴AE＝DF，AD＝FE，

∵AD＝BD，

∴BD＝FE，

又∵AF＝FB，

∴△DBF≌△EFA（SSS），④正确；

正确的结论有3个，

故选：C．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，

∵∠A+∠C＝260°，

∴∠C＝130°，

∵∠A+∠B＝180°，

∴∠B＝50°，

故答案为：50．

12．解：＝＝4；

＝|﹣3|＝3；

＝4，4的算术平方根是2．

故答案为：；3；2．

13．解：∵AB与y轴平行，

∴A、B两点的横坐标相同，

又AB＝9，

∴B点纵坐标为：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，

∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣10）；

故答案为：（2，8）或（2，﹣10）．

14．解：∵（）2＝＝，（）2＝，

∴＞，

故答案为：＞．

15．解：根据勾股定理得＝＝，

∴点P表示的实数为2﹣．

故答案为：2﹣．

16．解：连接ED，交OC于P，如图，

∵点B的对称点是点D，

∴DP＝BP，

ED即为EP+BP的最小值，

∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，

∴点D的坐标为（1，），

∵点E的坐标为（0，﹣），

∴ED＝＝，

即EP+BP的最小值为：．

故答案为：．

17．解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，

∵∠ACB＝90°，

∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，

∴四边形ACFM是矩形，

∴AM＝CF，AC＝MF＝6，

∵四边形ABDE为正方形，

∴∠AOB＝90°，OA＝OB，

∴∠AOM+∠BOF＝90°，

又∵∠AMO＝90°，

∴∠AOM+∠OAM＝90°，

∴∠BOF＝∠OAM，

在△AOM和△OBF中，

，

∴△AOM≌△OBF（AAS），

∴AM＝OF，OM＝FB，

∴OF＝CF，

∵∠CFO＝90°，

∴△CFO是等腰直角三角形，

∵OC＝7，由勾股定理得：CF＝OF＝7，

∴BF＝OM＝OF﹣FM＝7﹣6＝1，

∴BC＝7+1＝8．

故答案为：8．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．解：原式＝1+﹣2﹣1﹣×

＝1+﹣2﹣1﹣×3

＝1+﹣2﹣1﹣

＝﹣2．

19．解：原式＝

＝

＝，

当时，原式＝．

20．解：设第三边为x，可使已知的三角形构成直角三角形，

当5为斜边时，有52＝32+x2，

解得x＝4，（负值舍去），

当x为斜边时，有x2＝32+52，

解得x＝（负值舍去），

则第三边的长为4或者，

答：第三边的长为4或者．

21．解：（1）如图，点D为所求作的点．

（2）∵由（1）作法可知AD＝BD，

∴∠DAB＝∠B＝38°，

又∵∠C＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∴∠CAB＝90°﹣∠B，

即∠CAB＝90°﹣38°＝52°，

∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝52°﹣38°＝14°．

22．（1）证明：连接BE，

∵AB边上的垂直平分线为DE，

∴AE＝BE，

∵CB2＝AE2﹣CE2，

∴CB2＝BE2﹣CE2，

∴CB2+CE2＝BE2，

∴∠C＝90°；

（2）解：设CE＝x，则AE＝BE，

在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2，

∴（4﹣x）2﹣x2＝32，

解得：x＝，

∴CE的长为．

23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，

∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，

∴OB＝＝＝3，

∴BD＝2OB＝6，

∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，

即×6×4＝13×AE，

解得：AE＝12．

24．证明：【教材量现】如图①，∵四边形ABCD是正方形，