江苏省徐州市睢宁县2023-2024学年高二上学期10月学情调研数学试卷（含解析）

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数学试卷

一、单选题

1．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

2．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（）

A．B．C．D．

3．已知椭圆，其上顶点为，左右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

4．已知直线被圆截得的弦长为2，则（）

A．B．C．2D．

5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）

A．16B．18C．21D．26

6．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（）．

A．B．

C．D．

7．已知双曲线：的实轴长为，则的离心率为（）

A．B．C．D．

8．若关于的不等式的解集为区间，且，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（）

A．B．C．D．

10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则（）

A．B．离心率

C．短轴长为2，长轴长为4D．面积的最大值为1

11．若圆和圆的交点为、，则（）

A．公共弦所在直线的方程为B．线段的中垂线方程为

C．公共弦的长为D．与和都相切的两条直线交于点

12．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下列结论正确的是（）

A．椭圆的方程为B．

C．D．或

三、填空题

13．双曲线的焦点到渐近线的距离等于.

14．已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中为切点，若的最大值为，则的值为．

15．已知为双曲线的左焦点，直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．

16．曼哈顿距离是由19世纪著名的德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基所创的词汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和.例如在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为.已知动点在圆上，点，则两点的曼哈顿距离的最大值为.

四、解答题

17．若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程．

18．已知点，两条直线，，

(1)设点到直线的距离分别为，求；

(2)过点作直线分别交于，使为线段的中点，求直线的方程．

19．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.

20．双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为．

(1)求双曲线方程；

(2)过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长．

21．已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：、、三点共线.

22．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．

（1）求圆和椭圆的方程．

（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．睢宁县2023-2024学年高二上学期10月学情调研

数学试卷解析

一、单选题

1．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由题意得，解不等式组可得的取值范围．

【详解】由题意得，解得

故选：A

2．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果.

【详解】因为，所以，直线的方程为，即，

设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，

此时直线的方程为，联立，解得，

因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.

故选：C.

3．已知椭圆，其上顶点为，左右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解.

【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左右焦点分别为，为等边三角形，

则椭圆的离心率为.

故选：A.

4．已知直线被圆截得的弦长为2，则（）

A．B．C．2D．

【答案】B

【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于的等式，则可解得的值.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆心C到直线l的距离为，

由题意可知，，

解之得，即.

故选：B.

5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）

A．16B．18C．21D．26

【答案】D

【分析】如图，根据题意和双曲线的定义直接得出结果.

【详解】如图所示，由双曲线的定义知，

，(1)

，(2)

又，(3)

所以由(1)，(2)，(3)得，

故的周长为.

故选：D.

6．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（）．

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】将问题转化为圆与圆相交，根据圆与圆位置关系判断即可求实数的取值范围.

【详解】解：如果圆上总存在两个点到原点的距离为2

则圆和圆相交，

又圆的圆心为，半径为

两圆圆心距，

由得，

解得，即．

故选：D．

7．已知双曲线：的实轴长为，则的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】由判断的焦点在轴上，则根据实轴长可得或，根据双曲线的标准方程可得，即可求得离心率

【详解】由，知的焦点在轴上，

因为的实轴长为，所以，解得或，

又因为是双曲线，所以，所以，

则双曲线：，

则的离心率为，

故选：A.

8．若关于的不等式的解集为区间，且，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】令，，作出其图象，不等式的解，由图象分析可得参数满足的条件，从而求得结果．

【详解】令，，其示意图如图，直线过定点，，

若，要满足，则，此时.从而；

若，要满足，则.则，由于直线过定点，因此不存在，从而不存在，

所以，

故选：A．

二、多选题

9．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（）

A．B．C．D．

【答案】BC

【分析】根据的关系求得正确答案.

【详解】由于，所以，

依题意，所以，

所以.

故选：BC

10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则（）

A．B．离心率

C．短轴长为2，长轴长为4D．面积的最大值为1

【答案】AD

【分析】根据题意，求出，然后利用椭圆的定义，逐个选项进行计算并判断答案.

【详解】椭圆

由题意，得，，，

则，故A正确，

因为，，，所以，，故B错误，

由已知得，长轴长为，短轴长为，故C错误，

对于D，当且仅当点在椭圆的短轴端点处有最大值，此时，，故D正确；

故选：AD

11．若圆和圆的交点为、，则（）

A．公共弦所在直线的方程为

B．线段的中垂线方程为

C．公共弦的长为

D．与和都相切的两条直线交于点

【答案】ABD

【分析】将两圆方程作差可得出公共弦的方程，可判断A选项；分析可知直线垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；利用三角形相似求出两圆公切线的交点的坐标，可判断D选项.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

则，所以，，

所以，圆、相交，

对于A选项，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，A对；

对于B选项，由圆的几何性质可知，直线垂直平分线段，

所以，线段的中垂线所在直线的方程为，B对；

对于C选项，圆心到直线的距离为，

所以，，C错；

对于D选项，设两切线交于点，由圆的对称性可知，点在直线上，

设两切线分别切圆于、两点，分别切圆于点、，

连接、，由切线的几何性质可知，，

又因为，故，

设点，则，所以，，解得，即点，

因此，与和都相切的两条直线交于点，D对.

故选：ABD.

12．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下列结论正确的是（）

A．椭圆的方程为B．

C．D．或

【答案】ABC

【分析】根据题意，待定系数求得椭圆的方程为，进而结合直线与椭圆的位置关系依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由题意，得解得故椭圆的方程为，A项正确；由于，故B项正确；

因为直线的斜率，又在轴上的截距为，所以的方程为．由

得．因为直线与椭圆交于，两个不同的点，所以，

解得，故C项正确，D项错误．

故选：ABC

三、填空题

13．双曲线的焦点到渐近线的距离等于.

【答案】2.

【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程，进而求出焦点到渐近线的距离即可.

【详解】由题意，，渐近线方程为：，焦点到渐近线的距离为：.

故答案为：2.

14．已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中为切点，若的最大值为，则的值为．

【答案】

【分析】根据直角三角形边与角的关系分析得到当最小时，最大，再根据当时，最小即可求解.

【详解】由题可知，，所以的最大值为，

在直角中，,，

所以当最小时，最大，此时，

所以，

当时，最小，等于圆心到直线的距离，

所以，解得，

故答案为:.

15．已知为双曲线的左焦点，直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．

【答案】

【分析】连接，利用由双曲线的定义和求出，根据双曲线的性质得到，整理化简即可求出离心率的取值范围.

【详解】

连接，可得四边形为平行四边形，即有.

由双曲线的定义可得.因为，所以，可得.

由双曲线的性质可得，即有，由可得，解得，又,即有，则离心率的取值范围是．

故答案为：．

16．曼哈顿距离是由19世纪著名的德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基所创的词汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和.例如在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为.已知动点在圆上，点，则两点的曼哈顿距离的最大值为.

【答案】/

【分析】设点，根据曼哈顿距离公式结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】解：设点，则两点的曼哈顿距离，

当且仅当时取等号，

所以两点的曼哈顿距离的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程．

【答案】

【分析】由条件圆C与x轴的交点分别为，可得圆心在直线上，然后结合圆心在直线上可得圆心坐标，然后可得半径，然后可得答案.

【详解】因为圆C与x轴的交点分别为，，所以圆心在直线上，

又因为圆C的圆心在直线上，所以圆心坐标为

所以半径为

所以圆C的方程为

18．已知点，两条直线，，

(1)设点到直线的距离分别为，求；

(2)过点作直线分别交于，使为线段的中点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点到直线的距离公式求解即可；

（2）根据题意，直线的斜率存在，设方程为，再分别联立方程求得，，进而根据中点坐标公式解方程即可.

【详解】（1）解：因为点，两条直线，

所以，点到直线的距离，

点到直线的距离分别为，

所以

（2）解：当过点的直线的斜率不存在时，方程为，

此时与的交点分别为，显然不满足为线段的中点，

所以，直线的斜率存在，设方程为

因为点作直线分别交于，

所以，且，

所以，联立方程得，即，

联立方程得，即，

因为为线段的中点，

所以，，解得，

所以，所求直线方程为，即.

19．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由数量积关系建立关于的方程，再由点在椭圆上，联立关于的方程组求解即可；

（2）由（1）知轴，由对称性可得点坐标，再联立直线与椭圆的方程，解出坐标，进而求得面积.

【详解】（1），

则，解得.

由解得，

故椭圆的方程为.

（2）由（1）可知，直线的方程为，根据对称性可知.

直线的方程为，

联立方程组整理得，

解得或，则.

.

20．双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为．

(1)求双曲线方程；

(2)过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长．

【答案】(1)

(2)6

【分析】(1)利用双曲线的一条渐近线方程为,过焦点且垂直于轴的弦长为6,建立方程,即可求双曲线方程;

(2)设直线方程,联立方程,由韦达定理及弦长公式即可求的长.

【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以,

双曲线的上焦点为，在中令得，所以，

∴,

∴双曲线方程为;

（2）过双曲线的下焦点且倾角为的直线斜率为，直线方程为,

代入双曲线方程可得，，

设，故，

故的长为6.

21．已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过