江苏省苏州市吴江区震泽中学2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析_第1页
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文档简介

江苏省苏州市吴江区震泽中学2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知条件,条件表示焦点在x轴上的椭圆,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.若随机事件满足,,,则事件与的关系是()A.互斥 B.相互独立C.互为对立 D.互斥且独立3.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为()A. B.C. D.4.已知p、q是两个命题,若“(¬p)∨q”是假命题,则()A.p、q都是假命题 B.p、q都是真命题C.p是假命题q是真命题 D.p是真命题q是假命题5.()A. B.C. D.6.焦点在轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是()A. B.C. D.7.已知,,则()A. B.C. D.8.等差数列x,,,…的第四项为()A.5 B.6C.7 D.89.已知向量,若,则()A. B.5C.4 D.10.下列命题是真命题的个数为()①不等式的解集为②不等式的解集为R③设,则④命题“若,则或”为真命题A1 B.2C.3 D.411.若函数,则单调增区间为()A. B.C. D.12.已知数列中,前项和为,且点在直线上,则=A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.椭圆的右焦点为,过原点的直线与椭圆交于两点、,则的面积的最大值为___________.14.某人实施一项投资计划,从2021年起,每年1月1日,把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元,预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元;若投资年收益是10%,一年结算一次,当年的投资收益自动转入下一年的投资本金,若2031年1月1日结束投资计划,则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.(参考数据:,,)15.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动,如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点,从A测得点M的仰角,点C的仰角,测得,,已知另一座山高米,则山高_______米.16.平面内n条直线两两相交,且任意三条直线不过同一点,将其交点个数记为,若规定,则,,_________,_________,(用含n的式子表示)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知是函数的一个极值点.(1)求实数的值;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.18.(12分)如图所示,在直四棱柱中,底面ABCD是菱形,点E,F分别在棱,上,且,(1)证明:点在平面BEF内;(2)若,,,求直线与平面BEF所成角的正弦值19.(12分)在矩形中,是的中点,是上,,且,如图,将沿折起至:(1)指出二面角的平面角,并说明理由;(2)若,求证:平面平面;(3)若是线段的中点,求证:直线平面;20.(12分)已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点,椭圆C的离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P,若椭圆C上有两个点A,B使得的平分线垂直于坐标轴,且点B与点A的横坐标之差为,求直线AP的方程.21.(12分)某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是、、、.(1)估计该班本次测试的平均分;(2)在、中按分层抽样的方法抽取个数据,再从这个数据中任抽取个,求抽出个中至少有个成绩在中的概率.22.(10分)已知是椭圆的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点(1)若为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得,且的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据条件,求得a的范围,根据充分、必要条件的定义,即可得答案.【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆,所以,解得或,所以条件是条件q:或的充分不必要条件.故选:A2、B【解析】利用独立事件,互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解:因为,,又因为,所以有,所以事件与相互独立,不互斥也不对立故选:B.3、D【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为,即得直线的斜率为,再根据双曲线的渐近线的方程为,可得,即可求出,得到双曲线的方程【详解】由题可知,抛物线焦点为,所以直线的方程为,即直线的斜率为,又双曲线的渐近线的方程为,所以,,因为,解得故选:【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题4、D【解析】由已知可得¬p,q都是假命题,从而可分析判断各选项【详解】∵“(¬p)∨q”是假命题,∴¬p,q都是假命题,∴p真,q假,故选:D.5、B【解析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.【详解】故选:B.6、A【解析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.【详解】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上,又焦点到准线的距离为,故抛物线的标准方程是.故选:A.7、C【解析】利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】因为,,所以,故选:C.8、A【解析】根据等差数列的定义求出x,求出公差,即可求出第四项.【详解】由题可知,等差数列公差d=(x+2)-x=2,故3x+6=x+2+2,故x=-1,故第四项为-1+(4-1)×2=5.故选:A.9、B【解析】根据向量垂直列方程,化简求得.【详解】由于,所以.故选:B10、B【解析】举反例判断A,解一元二次不等式确定B,由导数的运算法则求导判断C,利用逆否命题判断D【详解】显然不是的解,A错;,B正确;,,C错;命题“若,则或”的逆否命题是:若且,则,是真命题,原命题也是真命题,D正确真命题个数2.故选:B11、C【解析】求出导函数,令解不等式即可得答案.【详解】解:因为函数,所以,令,得,所以的单调增区间为,故选:C.12、C【解析】点在一次函数上的图象上,,数列为等差数列,其中首项为,公差为,,数列的前项和,,故选C考点:1、等差数列;2、数列求和二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】分析可知点、关于原点对称,可知当、为椭圆短轴的端点时,的面积取得最大值.【详解】椭圆中,,,则,则,由题意可知,、关于原点对称,当、为椭圆短轴的端点时,的面积取得最大值,且最大值为.故答案为:.14、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入,利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知,2021年的投入在结算时的收入为,2022年的投入在结算时的收入为,,2030年的投入在结算时的收入为,则结算时的总投资及收益为:①,则②,由①-②得,,则,故答案为:2415、【解析】利用正弦定理可求出各个三角形的边长,进而求出山高.【详解】解:在中,,,,可得在中,,所以由正弦定理可得:即,得在直角中,所以故答案为:.16、①.6;②..【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点,因此,同理,由此得到第条直线与前条直线相交有个交点,所以,即所以故答案为:6;三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)3(2),【解析】(1)先求出函数的导数,根据极值点可得导数的零点,从而可求实数的值;(2)由(1)可得函数的单调性,从而可求最值.【小问1详解】,是的一个极值点,.,,此时,令,解剧或,令,解得,故为的极值点,故.【小问2详解】由(1)可得在上单调递增,在上单调递减,故在上为增函数,在上为减函数,.又18、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)设、、、AC与BD的交点为O,由直四棱柱的性质构建空间直角坐标系,确定、的坐标可得,即可证结论.(2)由题设,求出、、的坐标,进而求得面BEF的法向量,利用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面BEF所成角的正弦值【小问1详解】由题意,,设,,,设AC与BD的交点为O,以O为坐标原点,分别以BD,AC所在直线为x,y轴建立如下空间直角坐标系,则,,,,所以,,得,即,因此点在平面BEF内【小问2详解】由(1)及题设,,,,,所以,,设为平面BEF的法向量,则,令,即设直线与平面BEF所成角为,则19、(1)为二面角的平面角,理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】(1)根据,结合二面角定义得到答案.(2)证明平面得到,得到平面,得到证明.(3)延长,交于点,连接,证明即可.【小问1详解】连接,则,,故为二面角的平面角.【小问2详解】,,,故平面,平面,故,又,,故平面,平面,故平面平面.【小问3详解】延长,交于点,连接,易知,故故是的中点,是线段的中点,故,平面,且平面,故直线平面.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由题意可得关于参数的方程,解之即可得到结果;(Ⅱ)设直线AP的斜率为k,联立方程结合韦达定理可得A点坐标,同理可得B点坐标,结合横坐标之差为,可得直线方程.【详解】(Ⅰ)由抛物线方程可得焦点为,则椭圆C的一个顶点为,即.由,解得.∴椭圆C的标准方程是;(Ⅱ)由题可知点,设直线AP的斜率为k,由题意知,直线BP的斜率为,设,,直线AP的方程为,即.联立方程组消去y得.∵P,A为直线AP与椭圆C的交点,∴,即.把换成,得.∴,解得,当时,直线BP的方程为,经验证与椭圆C相切,不符合题意;当时,直线BP的方程为,符合题意.∴直线AP得方程为.【点睛】关键点点睛:两条直线关于直线对称,两直线的倾斜角互补,斜率互为相反数.21、(1);(2).【解析】(1)将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积,再将所得结果全部相加可得的值;(2)分析可知,所抽取的个数据中,成绩在内的有个,分别记为、、、,成绩在内的有个,分别记为、,列举出所有的基本事件,并确定所求事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解:由频率分布直方图可得.【小问2详解】解:因为数学成绩在、内的频率分别为、,所以,所抽取的个数据中,成绩在内的有个,分别记为、、、,成绩在内的有个,分别记为、,从这个数据中,任取抽取个,所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共个,其中,事件“抽出个中至少有个成绩在中”所包含的基本事件有:、、、、、、、、,共个,故所求概率为.22、(1);(2),a的取值范围为.【解析】(1)先连结,由为等边三角形,得到,,;再由椭圆定义,

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